Nombres complexes, trigonométrie

Nombres complexes, trigonométrie
Fiche de cours
On appelle alors Un l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.
On a Un ⊂ U et
M ODULE
▷P ROPRIÉTÉS(Propriétés liées au module) :
¯ ¯
¯ ¯ |z 1 |
Û |z| = |z̄|, |z 1 z 2 | = |z 1 |.|z 2 | et ¯ zz 12 ¯ = |z
si z 2 ̸= 0.
2|
Û |Re(z)| É |z| avec égalité ssi z est réel.
Û |Im(z)| É |z| avec égalité ssi z est imaginaire pur.
Û Inégalité triangulaire : |z 1 + z 2 | É |z 1 | + |z 2 |
Û Seconde inégalité triangulaire :||z 1 | − |z 2 || É |z 1 ± z 2 |.
Û Cas d’égalité |z 1 + z 2 | = |z 1 | + |z 2 | ssi il existe λ ∈ R+ tel que
z 1 = λz 2 ou z 2 = λz 1 .
Û généralisation : |z 1 +. . .+z n | = |z 1 |+. . .+|z n | ssi il existe z ∈ C
et λ1 , . . . , λn ∈ R+ tels que z i = λi z pour tout i .
Un = {e
2i kπ
n
, k ∈ Z} = {e
2i kπ
n
, k ∈ J0 ; n − 1K}.
▷P ROPRIÉTÉS(Racines de l’unité) :
Û Si on note ω = e 2i π/n , alors Un = {1, ω, ω2 , · · · , ωn−1 }.
Û Dans la proposition précédente, on peut remplacer
J0 ; n − 1K par n’importe quelle suite de n entiers consécutifs.
Û La somme des racines n-ièmes de l’unité vaut 0.
Û Si z 0 est une racine n-ième d’un nombre complexe a non
nul, alors on obtient toutes les racines n-ièmes de a en multipliant z 0 par les n racines n-ièmes de l’unité.
A RGUMENT
I NTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE
▷D ÉFINITION(Complexes unitaires) : on note U l’ensemble des
complexes de module 1. Cet ensemble est un sous-groupe multiplicatif de C. On note e i θ = cos θ + i sin θ pour θ ∈ R.
On munit le plan euclidien d’un repère orthonormé (O,⃗ı,⃗ȷ). À
tout nombre complexe z = a + i b, associe le point M de coordonnées (a, b) (z est l’affixe de M ). Cela permet d’identifier
l’ensemble des complexes au plan euclidien. De même on peut
associer le vecteur de coordonnées (a, b) au complexe z = a+i b
(on dira que z est l’affixe du vecteur).
▷P ROPOSITION(Propriété principale) : l’application
{
(R, +)
θ
→ (U, ×)
7→ e i θ
▷P ROPOSITION(Complexes et géométrie) : Soit A, B et M des
points d’affixe respective a, b et z, alors
¯
¯
¯
¯ AM
Û |b − a| = AB et ¯ z − a ¯ = B
(z différent de b),
M
z −b
−−→
Û arg (a = (⃗ı, O
[2π] (a non nul),
) A)−
−→ −−→
z
−
a
Û arg
= (B M , AM ) [2π] (z différent de a et b).
z −b
est un morphisme de groupes, surjectif et dont le noyau est
l’ensemble des multiples entiers de 2π. Cela signifie que :
Û si |z| = 1, alors il existe θ ∈ R, z = e i θ ,
′
Û on a e i θ = e i θ ssi il existe k ∈ Z, θ ′ − θ = 2kπ,
′
′
Û on a e i (θ+θ ) = e i θ e i θ et e1i θ = e −i θ = e i θ .
▷D ÉFINITION(Argument) : on appelle argument d’une nombre
complexe non nul z, tout réel θ tel que e i θ = z . On note alors
|z|
arg z = θ [2π].
T RIGONOMÉTRIE
Formules à connaître sans hésitation :
▷P ROPRIÉTÉS(Propriétés de l’argument) : si z, z ′ sont non nuls
Û arg(zz ′ ) = arg z + arg z ′ [2π],
Û arg(1/z) = − arg z[2π].
cos(a + b)
=
cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b)
=
cos a cos b + sin a sin b
argument
sin(a + b)
=
sin a cos b + sin b cos a
les arguments sont définis modulo 2π. On fera par
exemple attention de ne pas écrire arg zz ′ = arg z + arg z ′ .
sin(a − b)
=
sin a cos b − sin b cos a
cos 2a
=
2 cos2 a − 1
=
R ACINES n
IÈMES
▷P ROPOSITION(Racines d’un complexe) : soit a ∈ C et n ∈ N∗ .
On appelle racine n-ième de a tout complexe z tel que z n = a.
Si une forme trigonométrique de a ̸= 0 est a = ρe i θ , alors les
racines n-ièmes de a sont les n nombres complexes 2 à 2 distincts
θ+2kπ
p
z k = n ρ e i n où k ∈ J0 ; n − 1K.
2
cos a
=
sin θ
=
cos θ
=
tan θ
=
tan(a + b)
=
sin 2a
=
2 sin a cos a
sin2 a
=
1 − cos 2a
2
avec t
=
tan θ
2
2
1 − 2 sin a
1 + cos 2a
2
2t
1+ t2
1− t2
1+ t2
2t
1− t2
tan a + tan b
1 − tan a tan b
▷P ROPOSITION(Racines de l’unité) : On appelle racine n-ième
de l’unité, tout complexe z tel que z n = 1. Il y en a exactement n.
1
Année 2016/2017
Nombres complexes, trigonométrie
Fiche de cours
Û Transformer des combinaisons linéaires sous la forme
E XEMPLES DE CE QU ’ IL FAUT SAVOIR FAIRE
a cos x + b sin x :
on a a cos p
x + b sin x = Re ((cos x + i sin x)(a − i b)). Avec R =
−i φ
|a − i b| = (a 2 + b 2 et
, cela donne a cos x +
) a − i b = Re
i (x−φ)
b sin x = Re Re
= R cos(x − φ). En pratique
Û Transformations très importantes à connaître :
(
)
1 + e i θ = e i θ/2 e −i θ/2 + e i θ/2 = 2 cos(θ/2)e i θ/2
(
)
1 − e i θ = e i θ/2 e −i θ/2 − e i θ/2 = −2i sin(θ/2)e i θ/2
ei a + eib = ei
a+b
2
a cos x + b sin x (
)
√
a
b
2
2
=
a +b √
cos x + √
sin x .
a2 + b2
a2 + b2
( a−b
)
b−a
a − b i a+b
e i 2 + e i 2 = 2 cos
e 2 .
2
Puisque
Û Linéariser des produits simples
=
=
=
cos a cos b − sin a sin b
cos a cos b + sin a sin b
2 sin a sin b
ce qui donne sin a sin b = 1
2 (cos(a − b) − cos(a + b)).
remarque : on peut également utiliser les formules d’Euler.
cos θ =
e
+e
2
−i θ
et sin θ =
e
iθ
−e
2i
Cn =
−i θ
=
n
∑
cos kθ et S n =
.
On a
Cn + i Sn =
n
∑
k=0
Si e
(e i θ )3 + 3(e i θ )2 e −i θ + 3e i θ (e −i θ )2 + (e −i θ )3
8
e 3i θ + 3e i θ + 3e −i θ + e −3i θ
8
cos 3θ + 3 cos θ
4
iθ
n
∑
sin kθ.
k=0
k=0
exemple : linéariser l’expression cos θ :
)3
(
e i θ + e −i θ
3
cos θ =
2
=
)2
b
On note, pour n ∈ N,
3
=
(
Û Déterminer des sommes de sinus ou cosinus : soit θ ∈ R.
Û Linéariser des puissances à l’aide des formules d’Euler :
iθ
)2
a
+ √
= 1,
a2 + b2
a2 + b2

a
= cos φ

 √ 2
a
+ b2
il existe φ ∈ R tel que
. On termine
b

= sin φ
 √
a2 + b2
alors grâce à la formule cos(x − φ).
√
exemple : on veut linéariser sin a sin b. On voit que ce terme
apparaît dans cos(a + b). On écrit alors
cos(a + b)
cos(a − b)
cos(a − b) − cos(a + b)
(
e i kθ =
)k
n (
∑
eiθ .
k=0
̸= 1, alors on obtient
Cn + i Sn =
1 − e i (n+1)θ
1 − eiθ
=
(
)
e i (n+1)θ/2 −2i sin((n + 1)θ/2)
,
−2i sin(θ/2)
e i θ/2
ce qui donne, après simplifications,
cos
Cn =
Û Additionner des sinus ou cosinus
(n + 1)θ
(n + 1)θ
nθ
nθ
sin
sin
sin
2
2
2
2
et S n =
.
θ
θ
sin
sin
2
2
Les valeurs ne sont pas à connaître mais la méthode doit
être entièrement maitrisée.
exemple : on veut additionner cos p + cos q. On utilise
p+q (
p−q
q−p )
p − q i p+q
e i p + e i q = e i 2 e i 2 + e i 2 = 2 cos
e 2 ,
2
puis on prend la partie réelle, ce qui donne :
cos p + cos q = 2 cos
p +q
p −q
cos
.
2
2
On peut également utiliser cos(a + b) et cos(a − b) avec p =
p −q
p +q
a + b et q = a − b, ce qui revient à a = 2 et b = 2 .
Û Développer en puissances de sinus ou cosinus
exemple : exprimer sin 3θ en fonction de sin θ. Puisque
sin 3θ = Im(e 3i θ ),
e 3i θ
=
(e i θ )3 = (cos θ + i sin θ)3
=
cos3 θ + 3i sin θ cos2 θ − 3 cos θ sin2 θ − i sin3 θ
=
cos3 θ − 3 cos θ(1 − cos2 θ)
+i (3 sin θ cos2 θ − sin3 θ)
et cos 3θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ et sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin3 θ.
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Année 2016/2017