Algèbre 1ère année

Algèbre 1ère année 1
Collège Sainte-Croix
Brice Canvel
[email protected]
Table des matières
I - Calcul littéral
a. Règles de base . . . . . .
b. Racines carrées . . . . .
c. Quotients . . . . . . . . .
d. Puissances . . . . . . . .
e. Identités remarquables .
f.
Racine n-ième . . . . . .
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2
2
2
3
3
4
4
II -Expressions algébriques
7
a. Développement d’une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
b. Factorisation d’une expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. Basé sur le livre Algèbre, E.W. Swokowski, J.A. Cole, Edition 2006
2
I-
Calcul littéral
a.
Règles de base
Propriété 1
Ordre des opérations algébriques
Dans une expression algébrique, la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.
t
E XEMPLE
3
2
2 −4
+
5
5
÷
35
=
Propriétés 2
5
+
µ
−4
3
÷
5
35
¶
Règles de signes
1. (−a) · b = a · (−b) = −ab
2. −(−a) = a
3. (−a) · (−b) = ab
−a
a
a
=
=−
4.
−b
b
b
b.
Racines carrées
Propriétés 3
Règles d’opérations pour les racines carrées
p
p p
1. ab = a b
p
r
a
a
2.
=p
b
b
tE XEMPLE
p
p
p
5×7 = 5× 7
p
r
3
3
2.
=p
5
5
1.

Attention :
p
p
p
a + b 6= a + b
p
a 2 + b 2 6= a + b
Algèbre 1ère année,
c.
c.
Quotients
Propriétés 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Quotients
Quotients
a c
= si ad = bc
b d
ad a
=
bd b
−a
a
a
=
=−
−b
b
b
a c a +c
+ =
b b
b
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
ac
a c
· =
b d bd
a d ad
a c
÷ = · =
b d b c
bc
tE XEMPLE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
d.
6
2
=
parce que 2 · 15 = 5 · 6
5 15
2·3 2
=
5·3 5
−2
2
2
=
=−
−5
5
5
2 9 2 + 9 11
+ =
=
5 5
5
5
2 4 2 · 3 + 5 · 4 26
+ =
=
5 3
5·3
15
2 7 2 · 7 14
· =
=
5 3 5 · 3 15
6
2 7 2 3
÷ = · =
5 3 5 7 35
Puissances
Définition 1
Puissances
Si n est un entier positif, la notation a n représente le produit d’un nombre réel a par lui-même n fois.
a n = |a · a ·{z
a · · · a}.
n facteurs a
tE XEMPLE
1. 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
1
15 1 1 1 1 1
= · · · · =
2.
2
2 2 2 2 2 32
3. (−3)3 = (−3) · (−3) · (−3) = −27
Définition 2
Exposants négatifs ou nuls
On définit les règles suivanes pour les exposants :
1. a 0 = 1
2. a −n =
1
an
Algèbre 1ère année,
3
e.
Propriétés 5
Identités remarquables
Règles de calcul des puissances
Soit a, b ∈ R et m, n ∈ Z. Alors :
1. a m a n = a m+n
2. (a m )n = a mn
3. (ab)n = a n b n
³ a ´n a n
= n
4.
b
b
am
1
5. n = a m−n = n−m
a
a
e.
Identités remarquables
Propriétés 6
Identités remarquables
1. (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
2. (a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
3. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2
4. (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. (a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
f.
Racine n-ième
Définition 3
Définition de
p
n
a
Soit n est un entier positif plus grand que 1, et a un nombre réel.
p
1. Si a = 0, alors n a = 0
p
2. Si a > 0, alors n a est le nombre réel positif b tel que b n = a
p
3. a) Si a < 0 et n est impair, alors n a est le nombre réel négatif b tel que b n = a
p
b) Si a < 0 et n est pair, alors n a n’est pas un nombre réel.
tpE XEMPLE
16 = 4, puisque 42 = 16
r
µ ¶5
1
1
1
5 1
2.
= , puisque
=
32 2
2
32
p
4
3. −16 n’est pas un nombre réel.
1.

p
n
a est appelé la racine n-ième de a.
Définition 4
Exposants rationnels
p
m
Soit
un nombre rationnel, ou n est un entier positif plus grand que 1. Si a est un nombre réel tel que n a existe, alors :
n
p
1
1. a n = n a
p
m
n
2. a n = a m
m
1
1
3. a n = (a n )m = (a m ) n .
Algèbre 1ère année,
4
f.
Racine n-ième
Preuve :
1
an =x
n
⇔ a n = xn
n
⇔a=x
p
⇔x= n a

tE XEMPLE
1
1. x 3 =
p
3
x
p
p
5
5
2. x = ( x)3 = x 3
p
p
2
3
3
3. 125 3 = ( 125)2 = ( 53 )2 = 52 = 25
¶ 3 µr
¶3 Ã sµ ¶5 !3 µ ¶3
µ
2
2
8
32 5
5
5 32
=
=
=
.
4.
=
243
243
3
3
27
3
5
Propriétés 7
Propriétés de
p
n
p
p
1. ( n a)n = a si n a est un nombre réel
p
n
2.
a n = a si a ≥ 0
p
n
a n = a si a < 0 et n est impair
3.
p
n
a n = |a| si a < 0 et n est pair.
4.
tE XEMPLE
p
1. ( p5)2 = 5
3
( −8)3 = −8
p
2. p52 = 5
3 3
2 =2
p
3
3. p(−2)3 = −2
5
(−2)5 = −2
p
4. p(−3)2 = | − 3| = 3
4
(−2)4 = | − 2| = 2.
Propriétés 8
Règles d’opérations pour les racines n-ièmes
p
p
p
n
n
1.
ab = n a b
p
r
n
a
a
= p
2. n
n
b
b
p
p
m p
n
3.
a = mn a.
tE XEMPLE
p
p
p p
p
1. p50 = 2p
· 25 = 25 2p= 5 p
2
p
3
3
3
3
−108 = 3 −(27)(4) = −27 4 = −3 4
p
p
r
3
3
5
5
3 5
=p
=
2.
3
8
2
8
pp
p
p
6
2(3)
3
3.
64 =
64 = 26 = 2.
Propriétés 9
Rendre un dénominateur rationnel (a > 0)
p
p
p
p
n
n
n
n
k
n−k
a
a
= a k+n−k = a n = a
Algèbre 1ère année,
5
f.
Racine n-ième
tE XEMPLE
p
p
p
1
5
5
5
1
1. p = p p = p =
2
5
5
5 5
5
p
p
p
3 2
3
3 2
2
1
x
x
1 x
2. p
=
=
=
p
p
p
3
3
3 3 2
3
x
x
x
x
p
p
p
p
p
r
5
5
5
5
5
3
3
y
x
y
x y3
x
x
x
3. 5 2 = p
=
=
=
p
p
p
5
5
5
5
y
y
y2
y2 y3
y5
Algèbre 1ère année,
6
7
II -
Expressions algébriques
Cette section est tiré sur cours de Christophe Kibleur 2 .
Définition 5
Formes développées, formes factorisées
Parmi les expressions numériques, on distingue :
• celles formées comme une somme de différents termes : on parlera d’une forme développée de l’expression ;
• celles formées comme un produit de différents facteurs : on parlera d’une forme factorisée de l’expression.
tE XEMPLE
Expressions sous forme développée :
A(x) = 2x − 5
B(y) = x − 2 − 14x + 5
C(z) = 3z 2 − 4y + 1
D(α) = α3 + 6α − 4
Expressions sous forme factorisée :
E(x) = −5(x + 1)
F(y) = 2y(3 − y)
G(z) = (4z + 1)(z + 14 )
H(t ) = (2t − 3)2
a.
Développement d’une expression
Définition 6
Développer,réduire et ordonner
1. Développer une expression, c’est l’exprimer sous forme d’une somme (différence) de plusieurs termes.
2. Réduire une expression consiste à rassembler les termes d’une même puissance de la vaiable.
3. Ordonner une expression, c’est l’écrire par ordre de puissance décroissante de la variable.
Afin de développer une expression, puis de la réduire et l’ordonner, on utilisera l’une des deux méthodes suivantes.
Propriétés 10
Utilisation de la distributivité
a, b, c, d et k sont des nombres relatifs :
k(a + b) = ka + kb
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Ces formules sont à prendre au sens large, c’est à dire qu’une somme peut très bien cacher une différence.
On pensera par exemple qu’écrire "(2x − 3)", sous-entend écrire "(2x + (−3))".
Quelques exemples, les expressions A et B sont des applications directes des formules de distributivité, les autres sont des
applications de ces mêmes formules avec un mélange de signes "+" et "−"
2. http://melusine.eu.org/syracuse/texpng/cprl/kibleur/doc9/
Algèbre 1ère année,
a.
Développement d’une expression
tE XEMPLE
A(x) = −2(3x + 1)
A(x) = −2 × (3x) + (−2) × 1
A(x) = −6x − 2
B(x) = (2x + 3)(3x + 2)
B(x) = 2x × 3x + 2x × 2 + 3 × 3x + 3 × 2
B(x) = 6x 2 + 4x + 9x + 6
B(x) = 6x 2 + 13x + 6
C(x) = 4(3x − 2)
C(x) = 4 × 3x − 4 × 2
C(x) = 12x − 8
D(x) = (2 − 5x)(x − 3)
D(x) = 2 × x + 2 × (−3) + (−5x) × x + (−5x) × (−3)
D(x) = 2x − 6 − 5x 2 + 15
D(x) = −5x 2 + 2x − 9
E(x) = (x + 3)(x − 2)
E(x) = x 2 − 2x + 3x − 6
E(x) = x 2 + x − 6
F(x) = (−2x + 3)(x − 1)
F(x) = −2x 2 + 2x + 3x − 3
F(x) = −2x 2 + 5x − 3
Propriétés 11
Identités remarquables
a et b sont des nombres relatifs :
(a + b)2 = (a)2 + 2 × (a) × (b) + (b)2
(a − b)2 = (a)2 − 2 × (a) × (b) + (b)2
(a + b)(a − b) = (a)2 − (b)2

Ces trois formules sont données avec des parenthèses dans le développement, ce qui peut sembler un peu lourd à la
lecture. Cependant, leur utilité est bien réelle dès qu’il s’agit de remplacer a et b par des expressions plus complexes que
de simples nombres relatifs.
Il suffit de développer à l’aide de la seconde formule de distributivité en remarquant que pour tous relatifs a et b on
a :ab = ba. On obtient alors :
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = a 2 + ab + ba + b 2
(a + b)2 = a 2 + ab + ab + b 2
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2

(a − b)2 = (a − b)(a − b)
(a − b)2 = a 2 − ab − ba + b 2
(a − b)2 = a 2 − ab − ab + b 2
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − ab + ba − b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − ab + ab − b 2
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
Algèbre 1ère année,
8
a.
Développement d’une expression
9
tE XEMPLE
A(x) = (3x + 4)2
A(x) = (3x)2 + 2 × (3x) × 4 + (4)2
A(x) = 9x 2 + 24x + 16
B(x) = (2x − 3)2
B(x) = (2x)2 − 2 × (2x) × (3) + (3)2
B(x) = 4x 2 − 12x + 9
C(x) = (5x − 2)(5x + 2)
C(x) = (5x)2 − (2)2
C(x) = 25x 2 − 4
D(x) = (−2x − 4)2
D(x) = (−2x)2 − 2 × (−2x) × 4 + 42
D(x) = 4x 2 + 16x + 16
Certaines expressions sont plus complexes à développer car elles contiennent à la fois des distributivités et des identités remarquables, sous forme d’une somme ou d’une différence. On utilise alors les deux méthodes précédentes conjoitement.
Propriétés 12
Méthode
On développe donc chaque membre de la somme à l’aide soit :
– de la distributivité
– des identités remarquables.
On fera particulièrement attention à développer chaque membre entre crochets (ou parenthèses). Ensuite, une fois les crochets
calculés et réduits, on prendra garde aux éventuels crochets précédes d’un signe "−". Pour retirer un crochet précédé d’un signe
"−", on écrit l’opposé de chaque terme à l’intérieur du crochet.
tE XEMPLE
A(x) = 4(2x + 5) + (x − 3)(5x − 7)
A(x) = [4(2x + 5)] + [(x − 3)(5x − 7)] On place les crochets autour de chaque terme.
A(x) = [4 × (2x) + 4£ × 5] + [x × (5x) + x ×
¤ (−7) + (−3) × (5x) + (−3) × (−7)]
A(x) = [8x + 20] + £5x 2 − 7x − 15x¤+ 21
A(x) = [8x + 20] + 5x 2 − 22x + 21
On réduit chaque crochet.
A(x) = 8x + 20 + 5x 2 − 22x + 21 On ordonne.
A(x) = 5x 2 − 14x + 41
2
B(x) = (2x
£ − 3) 2−¤ (4x + 1)(x − 3)
B(x) = £(2x − 3) − [(4x + 1)(x − 3)]
¤
B(x) = £(2x)2 − 2 × (2x)
×£(3) + (3)2 − [(4x)¤× x + (4x) × (−3) + 1 × x + 1 × (−3)]
¤
B(x) = £4x 2 − 12x + 9¤ − £4x 2 − 12x + x −
Un crochet est précédé d’un signe "−"
¤3
on applique la méthode.
B(x) = 4x 2 − 12x + 9 - 4x 2 − 11x − 3
B(x) = 4x 2 − 12x + 9 - 4x 2 + 11x + 3
B(x) = −x + 12
C(x) = (x − 3)(x + 5) − (−3x + 2)(x − 5)
C(x) = £[(x − 3)(x + 5)] − [(−3x
¤ £ + 2)(x − 5)]
¤
C(x) = £x 2 + 5x − 3x¤− 15£ − −3x 2 + 15x +
2x − 10
¤
C(x) = x 2 + 2x − 15 - −3x 2 + 17x − 10
C(x) = x 2 + 2x − 15 + 3x 2 - 17x + 10
C(x) = 4x 2 − 15x − 5
Ici encore.
Algèbre 1ère année,
b.
b.
Factorisation d’une expression
10
Factorisation d’une expression
Définition 7
Factoriser
Factoriser, c’est écrire une somme (différence) sous forme d’un produit.
On peut factoriser une expression avec deux techniques différentes.
Propriétés 13
Utilisation d’un facteur commun
Cette technique consiste à mettre en évidence un facteur commun dans la somme (différence). On décompose en produit chaque
terme de façon à trouver un facteur en commun le plus grand possible.
On utilise alors la première relation de distributivité à l’envers : k a + k b = k (a + b), en prenant soin de noter que k est une
expression numérique et pas nécessairement un nombre.
tE XEMPLE
A(x) = 15x − 12
A(x) = 3 × 5x − 3 × 4
A(x) = 3 (5x − 4)
B(x) = 5x − 5
B(x) = 5 × x − 5 × 1
B(x) = 5 (x − 1)
Le nombre 3 est le facteur commun.
Le nombre 5 est le facteur commun : ne pas oublier le "×1" !
C(x) = 6x 2 + 10x
C(x) = 2x × 3x + 2x × 5
C(x) = 2x (3x + 5)
2x est ici le facteur commun.
D(x) = (3x + 2)(4x − 1) + (3x + 2)(−6x + 8)
D(x) = (3x + 2) × (4x − 1) + (3x + 2) × (−6x + 8)
D(x) = (3x + 2) [(4x − 1) + (−6x + 8)]
c’est ici (3x + 2).
D(x) = (3x + 2) [4x − 1 − 6x + 8]
D(x) = (3x + 2) (−2x + 7)
E(x) = (3x − 4)2 − (2x − 5)(3x − 4)
(3x − 4) est le facteur commun.
E(x) = (3x − 4) × (3x − 4) + (2x − 5) × (3x − 4)
£
¤
E(x) = (3x − 4) (3x − 4) - (2x − 5)
Attention aux changements de signes.
£
¤
E(x) = (3x − 4) 3x − 4 - 2x + 5
E(x) = (3x − 4) (x + 1)
F(x) = (2x − 3)2 − (2x − 3)
F(x) = (2x − 3) (2x − 3) − (2x − 3) × 1
Mettre en évidence le "×1".
F(x) = (2x − 3) [(2x − 3) − 1]
F(x) = (2x − 3) (2x − 4)
Algèbre 1ère année,
b.
Propriétés 14
Factorisation d’une expression
11
Utilisation des identités remarquables
Méthode :
D’abord on cherche à factoriser l’expression par l’une des méthodes précédentes, puis on procède comme suit :
On regarde combien l’expression comporte de termes.
1. Si il y en a trois, ils peuvent être de la forme :
a 2 + 2ab + b 2 , c’est à dire (a + b)2
ou a 2 − 2ab + b 2 , c’est à dire (a − b)2 .
Pour vérifier cela, on regarde si l’on trouve un premier terme au carré (ex :a 2 ), puis un deuxième terme au carré (ex :b 2 ). Puis on
vérifie que le terme restant est 2ab ou −2ab. On écrit le résultat : (a + b)2 ou (a − b)2 .
2. S’il y a deux termes, ils peuvent être de la forme : a 2 − b 2 , c’est à dire (a + b)(a − b). Pour cela, on vérifie que l’expression est bien
une différence de carrés.
tE XEMPLE
A(x) = 9x 2 + 42x + 49
A(x) = (3x)2 + 2 × (3x) × (7) + (7)2
A(x) = (3x + 7)2
De la forme (a + b)2 .
B(x) = 25x 2 − 60x + 36
B(x) = (5x)2 − 2 × (5x) × (6) + (6)2
B(x) = (5x − 6)2
De la forme (a − b)2 .
C(x) = 9x 2 − 64
C(x) = (3x)2 − (8)2
C(x) = (3x − 8)(3x + 8)
De la forme (a − b)(a + b).
Il arrive pourtant qu’un facteur commun ne saute pas aux yeux, tout comme une identité remarquable. Dans ce cas, on examine
chaque terme de la somme et on essaye de le factoriser.
tE XEMPLE
A(x) = (2x − 5)(7 + 3x) − (4x 2 − 20x + 25)
A(x) = (2x − 5)(7 + 3x) − ((2x)2 − 2 × 2x × 5 + 52 )
A(x) = (2x − 5)(7 + 3x) − (2x − 5)2
A(x) = (2x − 5) (7 + 3x) − (2x − 5) (2x − 5)
A(x) = (2x − 5) [(7 + 3x) − (2x − 5)]
A(x) = (2x − 5) [7 + 3x − 2x + 5]
A(x) = (2x − 5) (x + 12)
B(x) = (x − 3)(3x + 5) + (9x 2 + 30x + 25)
B(x) = (x − 3)(3x + 5) + ((3x)2 + 2 × 3x × 5 + 52 )
B(x) = (x − 3)(3x + 5) + (3x + 5)2
B(x) = (x − 3)(3x + 5) + (3x + 5)(3x + 5)
B(x) = (3x + 5) [(x − 3) + (3x + 5)]
B(x) = (3x + 5) [x − 3 + 3x + 5]
B(x) = (3x + 5) (4x + 2)
B(x) = 2 × (3x + 5) (2x + 1)
C(x) = 3(x + 3)(2x + 3) − (4x 2 − 9)
C(x) = 3(x + 3)(2x + 3) − ((2x)2 − 32 )
C(x) = 3(x + 3) (2x + 3) − (2x + 3) (2x − 3)
C(x) = (2x + 3) [3(x + 3) − (2x − 3)]
C(x) = (2x + 3) [3x + 9 − 2x + 3]
Algèbre 1ère année,
b.
Factorisation d’une expression
C(x) = (2x + 3) (x + 12)
D(x) = (2x − 1)2 − (3 − 5x)2
Type a 2 − b 2
D(x) = [(2x − 1) + (3 − 5x)] [(2x − 1) − (3 − 5x)]
D(x) = [2x − 1 + 3 − 5x] [2x − 1 − 3 + 5x]
D(x) = (−3x + 2)(7x − 4)
Algèbre 1ère année,
12