Introduction 201-NYCALGÈBRE LINÉAIREET GÉOMÉTRIE

201-NYCALGÈBRE LINÉAIREET
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE
Introduction
Algèbre VS Géométrie
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Le plan
L’espace
Algèbre
ette session, nous étudierons en parallèle l’algèbre et la géométri
Dans l’imaginaire collectif, la signification de l’algèbre varie
beaucoup.
Dans le cadre de ce cours, l’algèbre est ce que certains nomment
l’algèbre moderne.
D’un point de vue de l’algèbre moderne, l’algèbre est
l’étude des ensembles munie d’une ou plusieurs opérations.
Ça vaut la peine de clarifier un peu ça.
Opération
Définition: Une opération interne sur un ensemble A est
une règle qui associe à chaque couple
d’éléments de A un autre élément de A.
Définition:
Une opération externe d’un ensemble B sur un
ensemble A est une règle qui associe à chaque
couple d’un élément de B et d’un élément de A
un autre élément de A.
On connaît deux opérations internes sur l’ensemble
des nombres réels , soit l’addition et la
multiplication.
Addition
Multiplication
Propriétés de la somme
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Propriétés du produit
•
Commutativité
•
Associativité
•
Existence d’un neutre
•
Existence d’un inverse
Sauf si
Propriété liant les deux
Distributivité
Axiomatisation
•
•
Nombre très limité de postulats
nommés «axiomes».
Tous les résultats sont déduits de
ces axiomes et des règles de la
logique.
Euclide, -325 à -265
Géométrie euclidienne
Historiquement, la géométrie et l’algèbre ont été développées de manière
indépendante.
Al-Khwarizmi (783 à 850)
Euclide (-325 à -265)
Mais les travaux de mathématiciens arabes du Moyen Âge suivis de ceux
de
Descartes ont fait en sorte que la géométrie et l’algèbre se sont enrichies
mutuellement.
René Descartes (1596 à
Espace euclidien
Cette session, on va travailler dans des espaces euclidiens.
Hum!?!
On n’est pas tout à fait prêt pour une définition rigoureuse d’un tel
espace.
Je pensais que c’était toujours vrai ça!
On peut temporairement dire qu’un espace euclidien est un espace
dans lequel la géométrie classique fonctionne bien.
Par exemple, on veut que la somme des angles internes d’un triangle
soit
180 degrés.
En fait, les espaces qu’on va considérer sont la droite, le plan et
l’espace.
Pour en savoir plus sur la géométrie non euclidienne, voir la
petite BD (Géométricon) sur mon site.