CM algèbre

Quelques repères historiques
Enseignement de l’algèbre
• Algèbre vient de « Al jabr » (compensation,
restauration, etc)
• Opération 3x -5 = 7x
3x -5 +5 = 7x + 5
wa’l- muqabalah (le balancement)
3x + 28 = 130
3x +28 = 102 +28
3x = 102
Vient de Al Khwarizmi (IX siècle 820) :
Al Khwarizmi
(IX siècle 820)
• Vivait à Bagdad
• « Passeur de savoir », système de
numération indien
• équations du second degré
Dans le secondaire,
c’est quoi?
Viète (1540-1603)
• Ajoute le symbolisme
Désigne les inconnues pas des voyelles
et les paramètres par des consommes
(Étude du texte de Viète)
Introduction de l’algèbre
Vergnaud
•
• Algèbre linéaire ? Non
• Algèbre élémentaire ?
– Lettre
– mais aussi relatifs
•
"Par "introduction à l'algèbre", on peut entendre plusieurs choses
distinctes :
– mise en équation de problèmes arithmétiques simples et résolution
par l’algèbre;
– règles élémentaires de traitement et de transformation des
équations ;
– première explicitation des concepts de fonction et de variable ;
– mise en évidence de certaines propriétés structurales des ensembles
de nombres, notamment l'ensemble des relatifs et de l'ensemble des
rationnels ;
– Etc…
Il est raisonnable de penser que c'est un savant équilibre de ces
différentes composantes conceptuelles et des situations qui leur
donnent du sens qui peut permettre aux élèves de comprendre en
profondeur la fonction, la structure et le fonctionnement du
raisonnement algébrique. Mais quel équilibre ?"
Nombres relatifs
G. Vergnaud (1988)
• Rupture par rapport aux nombres entiers
• Utilisés pour signifier des gains et pertes
(chinois, indiens) et pour résoudre des
équations
• Statut de nombres pas questionné, puis sujet
de polémiques
• La multiplication des relatifs pose problème et
n’est tranchée qu’en 1867 par Hankel
«! L'algèbre constitue pour les élèves une
rupture épistémologique importante d'avec
l'arithmétique. Cette rupture mérite une
analyse détaillée, car beaucoup d’élèves
n'entrent pas facilement dans le jeu des
manipulations symboliques.!»
À quelles occasions les élèves
rencontrent-ils la lettre en
mathématiques ?
–
–
–
–
–
–
–
5 m, 3 dm, 4 kg
Soit le point A
Formules A = Lx l
A =5x + 3y
f(x) = ax +b
vecteur AB, 4 AB
f’ = 3f
Continuités et ruptures
• Dans les objets manipulés
– Lettres
– Signe égal
– Signes d’opération
• Modes de résolution
• Modes de contrôle
Statut de la lettre
•
•
•
•
•
•
•
Abréviation
Unité de mesure
Pour désigner (un point)
Indéterminée
Inconnue
Variable
Paramètre
Signe égal
• A l'entrée du collège le signe = désigne le
résultat d'une opération
Ex d’erreurs classiques
• 3 ! 2 = 6 + 7 = 13
• Pour traduire "le quart de 16" = 4 un élève
répondra 1/4 = 4
• En 4ème difficulté à envisager que le
résultat d’un calcul donne 3x + 4 d’où 7x
Autre exemple
•
•
Le périmètre d'un carré de côté c est traduit par P = 4c.
P désigne une grandeur et le signe = sert à désigner un objet, à le
« nominaliser » pour pouvoir en parler ; dans ce cas le signe
= appartient au métalangage de l’algèbre ; il n’est pas utilisé pour
construire un énoncé algébrique
• P= 4c indique l’action à faire : pour calculer le périmètre on fait 4
fois c. c désigne à la fois l’objet et sa longueur (par exemple 5cm)
• Dans calcule P pour c = 5m le signe = sert à faire une assignation de
l’objet 5 à la variable c.
• la lettre m désigne une unité
• On obtient alors P = 20m où P ne désigne plus la formule 4c, mais une
longueur particulière.
• Résolution
arithmétique
On garde le sens du
problème
Les opérations ont un
sens, on peut
contrôler à chaque
étape
Chaque problème est
singulier
• Résolution
algébrique
On perd le sens du
problème, on ne le
retrouve qu’à la fin
On fait des
manipulations
algébriques, on
contrôle les calculs
On peut résoudre des
types de problèmes
Problème
• Une bouteille et son bouchon pèsent
110 g.
• La bouteille pèse 100 g de plus que le
bouchon.
• Combien pèse le bouchon ?
Aspect procédural ou
structural
• 2n+1 sert à la fois à calculer des
nombres en donnant une valeur à n
• 2n + 1 sert à désigner un nombre impair
lorsque n est entier
• Ex (n+1)2 - n2 = 2n + 1
Vrai ou faux ? 2 + 3x = 5x
Statut de la lettre
Question
• a) Ecrire l'aire du rectangle en fonction de x
3
•
•
x
4
• b) Pour quelle valeur de x l'aire vaut 24?
Réponse
• a) A(x) = 3(x + 4) x est ici une variable
• b) 3(x + 4 ) = 24
x est ici une inconnue d'une équation.
•
•
•
•
•
•
•
- c’est pareil car 2+3=5 et le prof a dit que 3x c’est 3 multiplié par x,
et on multiplie des deux cas
- c’est faux, car il faudrait des parenthèses, c’est (2+3)x qui est égal à
5x
- est-ce que les règles pour les nombres sont aussi valables pour les
lettres ? dans ce cas, je change d’avis, c’est faux
- si on remplace x par 1 c’est vrai
- c’est normal, quand on multiplie par 1, ça ne change rien
- si on remplace x par 2, c’est faux
- on ne peut pas savoir, c’est tantôt rai, tantôt faux
- ce n’est pas toujours vrai
- si, c’est toujours vrai, à condition de prendre 1 pour x.
Quantificateurs (oubliés)
• L’égalité 3x + 12 = 24 détermine le nombre x
on sous-entend
« existe t-il un nombre x tel que …? »
• Quand on remplace 3(x + 4) par 3x +12,
on utilise implicitement l'identité
" x, 3(x + 4) = 3x + 12 (x est variable)
Outil/objet
• Dans l’enseignement, l’algèbre est à la fois
travaillé comme un outil
– Pour résoudre des problèmes
– Pour modéliser
– Pour prouver
Comme un objet
-travail sur le traitement des expressions
algébriques, équivalence