Logarithme népérien Exponentielle

Dérivation de ln u avec u >0 :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et sur lequel u(x) > 0.
u'
sur I.
On a :
(ln u)’ =
u
Propriétés de la fonction logarithme népérien :
Soit a et b appartenant à ]0 ; +∞ [. On a :
ln
+ ln (b)
ln
(a × b) = ln (a)
1
( ) = - ln (b)
b
a
b
ln ( ) = ln (a) - ln (b)
1
ln(an) = n ln a pour n∈ " et ln ( n a ) = ln(a n ) =
1
n
ln a pour n∈" * .
Equation et inéquation :
Soit a et b appartenant à ]0 ; +∞ [.
a = b ⇔ ln (a) = ln (b)
a < b ⇔ ln (a) < ln (b) (ou a ≤ b ⇔ ln (a) ≤ ln (b))
a > b ⇔ ln (a) > ln (b) (ou a ≥ b ⇔ ln (a) ≥ ln (b))
Exemple :
Résoudre ln (2x - 1) = 2 ln (x).
On doit avoir 2x – 1 > 0 et x > 0, donc x> 1 .
2
Pour x> 1 , ln (2x - 1) = 2 ln (x) = ln (x2) donc x2 = 2x -1 et x2 – 2x +1 =0.
2
On peut résoudre l’équation du second degré ou remarquer que :
x2 – 2x +1 = (x - 1)2 = 0 et que x = 1 ( > 1 ). S={1}.
2
II. Fonction exponentielle
La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞ [.
Si à x dans ]0 ; +∞ [, on associe un unique y = ln x sur ] −∞ ; +∞ [, on
peut aussi, ici, associer à cet y dans ] −∞ ; +∞ [, un unique x dans ]0; +∞ [.
Cette fonction appelée bijection réciproque de la fonction ln est la
fonction exponentielle.
exp : "
→ ]0 ; +∞ [
y = ln x ! x = exp (y)
Propriétés découlant de la définition : ( ! au domaine de départ)
Pour tout x dans ]0 ; +∞ [, exp (ln x ) = x
Pour tout x dans " , ln (exp(x )) = x
ln (1) = 0 donc exp(0) = 1. ln e =1 donc exp (1) = e.
Variation et limites :
La fonction exp est strictement croissante sur " et exp’ = exp.
et lim exp( x ) = +∞ .
lim exp( x ) = 0
x→−∞
x→+∞
Approximation affine de h ! exp( h) pour h proche de 0 :
Au voisinage de 0 pour f, exp(x) ≈ exp’(0) x + exp(0) = x + 1 (équation
de sa tangente en 0). Son approximation affine est h ! h + 1 .
Par exemple : exp (0,05) est proche de 0,05 +1 = 1,05
Notation :
La relation ln(an) = n ln a est aussi valable pour n∈ " .
Pour a = e, ln(en) = n ln e = n = ln (exp(n))
On pose donc : exp (x) = ex pour x dans " en étendant l’égalité sur " .
Représentation graphique :
• En bleu :
Représentation graphique de la
fonction exponentielle.
• En vert :
Représentation graphique de sa
tangente au point d’abscisse 1,
d’équation y = x +1.
Dérivation de eu avec u dérivable :
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
On a :
(eu)’ = u’ eu sur I.
Propriétés de la fonction exponentielle :
Soit a et b appartenant à " . On a :
ea+b = ea
×
eb
;
e-b =
1
eb
;
ea-b =
ea
eb
.
Equation et inéquation :
Soit a et b appartenant à " .
a = b ⇔ ea = eb
a < b ⇔ ea < eb (ou a ≤ b ⇔ ea ≤ eb )
a > b ⇔ ea > eb (ou a ≥ b ⇔ ea) ≥ eb )
Editeur : MemoPage.com SA © / Auteur : Pierre Larivière / 2008
• En vert :
Représentation graphique de sa
tangente au point d’abscisse 1,
d’équation y = x -1.
• En bleu :
Représentation graphique de la
fonction ln.
Représentation graphique :
Approximation affine de h ! ln(1 + h ) pour h proche de 0 :
On pose f(x) = ln x.
Au voisinage de 1 pour f, f(x) ≈ f’(1) (x – 1) + f(1) = x – 1 (équation de
sa tangente en 1), donc pour x = 1+h et h proche de 0, on a : f(1+h) ≈ h.
Par exemple : ln (1,05) = ln (1 + 0,05) est proche de 0,05.
On note e le nombre réel tel que ln e = 1.
lim ln x = − ∞
x→−∞
sur ]0 ; +∞ [.
et
lim ln x = + ∞ .
x→+∞
x
Variation et limites :
1
ln’(x) = > 0 sur ]0 ; +∞ [, donc la fonction ln est strictement croissante
x
La primitive qui prend la valeur 0 en 1 est la fonction logarithme
népérien, notée « ln ».
1
La fonction ln est définie sur ]0 ; +∞ [, ln’(x) = et ln (1) =0.
Définition :
La fonction x !
1
x
admet des primitives sur ]0 ; +∞ [.
I. Logarithme népérien
Logarithme népérien
Exponentielle