I- INTRODUCTION 1) Définition x on a exp (x) > 0.

COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
I-
Ex de fct réciproques : carré et racine carrée (sur +
) ; sinus et arcsinus… INTRODUCTION
1) Définition
Dans le cours précédent nous avons montré que la fonction « ln » était dérivable et
strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Comme l’image de ]0 ; +∞[ par la fonction « ln » est
]-∞ ; +∞[, alors la fonction « ln » admet une fonction réciproque définie sur ]-∞ ; +∞[.
Définition : la fonction exponentielle définie sur , notée exp, est la fonction
réciproque de la fonction « ln » définie sur 0 ; ∞ .
Illustration :
Conséquence immédiate : pour tout réel
0 et pour tout réel
on a,
ln y = x équivaut à y = exp(x).
Exemple : ln 1
0
1
exp 0
Idem avec racine et carré : ²
Autres conséquences :
√
→ Les fonctions ln et exp étant deux fonctions réciproques on peut écrire :
o
Pour tout réel x, ln (exp (x)) = x.
o
Pour tout réel x > 0, exp (ln x) = x.
→ La fonction exp est définie sur
.
Sur la calculatrice, généralement : même touche pour des fonctions réciproques (sin et arcsin ; …). → Pour tout réel x on a exp (x) > 0.
Remarques :
o
Sur les calculatrices les images de la fonction exponentielle sont obtenues à l’aide
de la touche « e » (ou « ex »…), suivi du réel dont on veut l’image.
A l’aide de la calculatrice on peut donner une valeur approchée à 10-3 près de
exp(1) :
exp 1
2,718
Exemple 1 : à l’aide de la calculatrice, calculer : exp 2 et exp 10.
o
exp 2
o
exp 10
7,389.
22026.
Mathématiques – Tnle STI o
1 COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
Remarque : le plus souvent nous obtiendrons des valeurs approchées avec la calculatrice.
Puisque la fct ln transforme un « produit en somme », on peut penser que l’exp transforme une « somme en produit »… 2) Propriétés algébriques
Propriété fondamentale : soit x et y deux réels, et n un entier relatif. Nous avons :
exp
exp
exp
Démonstration :
Propriété 2 (admise) : soit x un réel. Nous avons :
1
exp
Propriété 3 (admise) : soit x et y deux réels. Nous avons :
exp
exp
exp
exp
Propriété 4 (admise) : soit x un réel, et n un entier relatif. Nous avons :
exp
exp
3) Notation
Pour tout entier n dans , exp
exp
1
exp 1
.
On notera e le réel exp 1 ; nous avons alors, pour tout
, exp
Par convention, pour tout réel x, on note
.
au lieu de exp
.
Avec cette notation, les propriétés algébriques de la fonction exponentielle se traduisent
comme les règles de calculs sur les exposants déjà connues.
1 ; 1
; ; ; Exemple 1 :
o
Pour tout réel x,
o
Pour tout réel x,
.
.
Mathématiques – Tnle STI Règles de calcul : soit x et y deux réels, et n un entier relatif. Nous avons :
2 COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
o
Pour tout réel x,
0.
Exemple 2 : résoudre l’équation (E) suivante après avoir déterminé son ensemble de
résolution.
Soit (E) l’équation ln
5
L’ensemble de résolution de (E) est 0 ; ∞ .
Comme 5
5
1
5
ln
, l’équation équivaut à ln
ln
ln
.
On en déduit que l’ensemble des solutions de (E) est :
II-
ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE
1) Conséquences de la définition
Théorème 1 (admis) : la fonction exponentielle est définie sur
nous avons
et pour tout x de
0.
2) Sens de variation de la fonction exponentielle
Théorème 2 : la fonction exponentielle est dérivable sur
et la fonction dérivée est
égale à la fonction elle-même.
Démonstration : soit la fonction f définie sur
on sait que, pour tout x de
d’où :
,
par
.
ln
.
ln
1.
exp
ln exp
1
exp
exp
exp
exp
1
exp
exp
Théorème 3 : la fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Mathématiques – Tnle STI Appliquons le théorème sur la dérivée des fonctions composées.
3 COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
Démonstration : d’après le théorème 2 la fonction exponentielle est dérivable sur
d’après le théorème 1 sa fonction dérivée est strictement positive sur
Tableau de variation : soit la fonction f définie sur
-∞
x
par
et
.
.
0
+∞
1
4) Limites en +∞ et en 0 de la fonction exponentielle
Théorème : soit la fonction exponentielle définie sur . Nous avons :
∞ lim
lim
0 Démonstration :
o
En -∞ : utilisons la limite de la fonction ln en 0.
∞
lim ln
On pose
; on a alors ln
lim ln
o
∞
lim
et lim
lim
0
En +∞ : utilisons la limite de la fonction ln en +∞.
∞
lim ln
On pose
; on a alors ln
et … Tableau de variation :
-∞
0 +∞
∞ Mathématiques – Tnle STI x
4 COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
5) Courbe représentative de la fonction exponentielle
Comportement asymptotique : le théorème précédent nous indique :
0 lim
Ainsi, la courbe représentative dans le plan muni d’un repère
de la fonction exp
; ,
admet l’axe des abscisses comme asymptote horizontale en -∞.
Représentation graphique : soit C la courbe représentative de la fonction exponentielle
dans le plan est muni d’un repère
; , . On prendra 2 cm pour unité graphique.
h
Tableau de valeur (à faire) :
x
6) Lien entre les courbes représentatives de fonctions ln et exp
Théorème : le plan muni d’un repère orthonormal
; , . La courbe représentative de la
fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction ln sont symétriques
par rapport à la droite d’équation y = x.
III- ÉGALITÉS ET INÉGALITÉS
Propriété 1 : pour tous réels a et b de ,
équivaut à
.
Démonstration :
alors → Si
alors (strictement croissant).
car si nous avions
Propriété 2 : pour tous réels a et b de ,
ce qui est absurde.
équivaut à
.
Démonstration :
→ Si
alors → Si
absurde.
alors (un nombre n’a qu’une seule image par une fonction).
sinon,
ce qui est
Mathématiques – Tnle STI → Si
5 COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
Application 1 : résolution d’équations.
o
Exemple 1 : résoudre dans
4
l’équation
4
ln 4
ln
4
4.
o
Exemple 2 : résoudre dans
2
5
l’équation 2
5
5
4
2
2
4
o
Exemple 3 : résoudre dans
exp
² 9
3 ; 3
1
ln exp
l’équation exp
² 9
ln 1
5
ln
5
2
²
1 5
ln
4 2
9
²
1
9
0
²
9
Application 2 : résolution d’inéquations.
o
IV-
Exemple : résoudre dans
l’inéquation :
2.
ln 2
2
2x ln 2
2
On en déduit que l’ensemble des solutions est :
ln 2 ; ∞ .
DÉRIVÉES ET PRIMITIVES
1) Dérivation
Propriété : soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction
définie et dérivable sur I et
Remarque : on peut aussi écrire
est
.
.
Mathématiques – Tnle STI Démonstration :
6 COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
2) Primitives
Exemple :
Propriété (admise) : soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction f
avec
.
Exemple : soit la fonction f définie sur par
Remarques :
Mathématiques – Tnle STI admet des primitives sur I de la forme
définie sur I par
7 COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
V-
FONCTIONS PUISSANCES
Introduction :
Définition : soit a et b deux réel tel que
Exemple : 4
0. Nous avons :
.
.
Propriété 1 (voir démo dans TP) : soit la fonction f définie sur 0 ; ∞ par
,
où α est un réel quelconque. Alors f est dérivable sur 0 ; ∞ et pour tout x de
.
0 ; ∞ :
Propriété 2 (voir démo dans TP) : la fonction
définie sur 0 ; ∞ et où n est un
entier naturel non nul, est la fonction réciproque de la fonction définie sur 0 ; ∞ par
. On note
CROISSANCES COMPARÉES
Propriété (admise) : soit α un nombre réel strictement positif et n un entier naturel.
Nous avons :
lim
∞ ; lim
ln
0 ; lim
0.
Mathématiques – Tnle STI VI-
√ (racine n-ième du réel positif x).
8 COURS N°8 : FONCTION EXPONENTIELLE
Remarques :
o
Pour des valeurs de x assez grandes, la fonction exponentielle croît beaucoup plus
vite qu’une fonction puissance ; ce qui justifie parfois l’expression du langage
courant « croissance exponentielle » pour une croissance rapide.
o
A contrario, la fonction ln croît beaucoup moins vite que la fonction puissance,
pour des valeurs de x assez grandes.
Exemple : déterminer la limite en +∞ de la fonction f définie sur
lim
lim 2
1
∞
lim
par
.
?
∞ lim
∞
Nous sommes donc en présence d’une forme indéterminée. Mais en +∞,
l’emporte
sur toute puissance de 2x+1, donc aussi de x. On a donc : lim
∞
Petites histoires :
Exponentielle et logarithme sont sur un bateau.
Tout d'un coup logarithme s'écrit : "On dérive ! Exponentielle réveille toi !"
Ce à quoi exponentielle répondit : "J'm'en fous... " et se rendormit.
Exponentiel et Logarithme vont au restaurant. Qui paye l'addition?
Mathématiques – Tnle STI Exponentielle car logarithme népérien
9