5. Fonctions trigonométriques 5.1 Cercle trigonométrique

5. Fonctions trigonométriques
5.1 Cercle trigonométrique
1
+
M M
+
sin α
tan α
α
O
cos α
I
Quelques rappels géométriques :
• Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté comme indiqué.
est par définition la mesure de l’arc
• La mesure α ∈ [0; 2π[ (en radians) de l’angle IOM
de cercle 6.0ptIM.
• Si M(x; y) est un point de ce cercle associé à un angle α alors par définition x = cos α
et y = sin α.
sin α
• La tangente tan α =
peut s’interpréter comme la pente de la droite (OM), qui est
cos α
aussi la distance indiquée IM sur le dessin.
Définition.
• La fonction qui, à α ∈ R, associe cos α, est la fonction cosinus.
• La fonction qui, à α ∈ R, associe sin α, est la fonction sinus.
5.2 Dérivabilité
5.2.1 Résultats préparatoires
Lemme. Pour un petit angle α > 0, on a sin α α tan α.
39
24.88pt Preuve. On a clairement aire(OMI) aire(6.0pt
IOM) aire(OM I), ce qui se
traduit par
α
1. sin α
1. tan α
π.12 .
2
2π
2
Le résultat souhaité est obtenu par simplification évidente.
¤
Lemme. La fonction cosinus est continue en 0.
Preuve.
est inférieure ou égale à la longueur de l’arc 6.0ptIM.
La longueur de la corde [IM]√
2
2
Ainsi sin α + (1 − cos α) α, soit 2 − 2 cos α α. On passe au carré : 2 − 2 cos α α2 ,
α2
α2
ce qui donne cos α 1 −
. Finalement 1 −
cos α 1. Le théorème d’encadrement
2
2
¤
prouve alors que cos α tend vers 1 = cos 0 lorsque α tend vers 0+ .
sin α
= 1.
α→0 α
Lemme. On a lim
sin α
Preuve. Soit α > 0. On sait alors que sin α α tan α =
, ce qui donne d’une part
cos α
sin α
sin α
sin α
1 et d’autre part
cos α. Il vient donc cos α 1. Lorsque α tend vers 0+ ,
α
α
α
sin α
sin(−α)
sin α
le théorème d’encadrement montre lim+
= 1 car lim+ cos α = 1. Vu que
=
,
α→0
α→0
α
−α
α
¤
le résultat reste vrai en 0− .
Remarque. Ceci prouve au passage que la fonction sinus est dérivable en 0.
cos α − 1
= 0.
α→0
α
Lemme. On a lim
α2
cos α 1 (forumule qui reste inchangée si α < 0). Il
Preuve. On a vu pour α > 0 que 1 −
2
α
cos α − 1
suit − 0 et le théorème d’encadrement montre la limite nulle. Même méthode
2
α
avec α < 0, ce qui permet d’obtenir le résultat souhaité.
¤
Remarque. Ceci prouve au passage que la fonction cosinus est dérivable en 0.
5.2.2 Dérivées du sinus et du cosinus
Théorème. La fonction sin est dérivable sur R et sa dérivée est la fonction cos.
sin(x + h) − sin x
Preuve. Soit x ∈ R ; on écrit le taux d’accroissement du sinus en x :
=
h
cos h − 1
sin h
sin x cos h + sin h cos x − sin x
= sin x
+ cos x
. Nos résultats précédents montrent
h
h
h
alors que la limite de ce taux lorsque h tend vers 0 vaut sin x.0 + cos x.1 = cos x.
¤
Théorème. La fonction cos est dérivable sur R et sa dérivée est la fonction − sin.
π
Preuve. Il suffit de noter que cos x = sin
− x . Le théorème de dérivation d’une fonction
2
π
− x = − sin x.
¤
composée montre que cos est dérivable et que cos x = − cos
2
40
Théorème. Si u est une fonction dérivable alors cos u et sin u sont dérivables, avec :
(cos u) = −u sin u et (sin u) = u cos u .
Preuve. C’est une application directe du théorème de dérivation d’une composée.
¤
5.3 Propriétés
5.3.1 Étude
Théorème.
• La fonction sinus est impaire.
• La fonction cosinus est paire.
Preuve. Il suffit de noter que ces fonctions sont définies sur R et vérifient sin(−x) = − sin x et
cos(−x) = cos x de par leur définition géométrique.
¤
Définition. Une fonction f définie sur R est T -périodique si f (x + T ) = f (x) pour tout x ∈ R.
Théorème. Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques.
Preuve. Ceci découle de leur construction géométrique.
¤
Remarque. Initialement nous devions étudier sin et cos sur R. Leur périodicité permet de
ramener l’étude à l’intervalle (de la mesure principale) ] − π; π], puis leur parité permet de se
contenter de [0; π[. Sur cet intervalle réduit, on obtient facilement :
x
cos x
sin x
π
2
0
+
0
1
0
x
π
π
2
0
−
− sin x
−
cos x
0
5.3.2 Courbes
Sinus
1
− π2
0
−1
41
π
2
−
1
0
−π
0
π
π
−1
Cosinus
1
−π
− π2
0
π
π
2
−1
Sinusoïde A sin(ωt + ϕ)
A
−π
− π2
T
0
π
2
π
−A
Ici A est l’amplitude, ω la pulsation (i.e. vitesse angulaire), T la période et ϕ le déphasage
(décalage temporel horizontal).
2π
On a les relations ω =
= 2πf , où f est la fréquence.
T
Théorème. Une fonction f (t) = A cos ωt + B sin ωt est une sinusoïde.
√
A
A 2
B
cos ωt + sin ωt . On note alors que
+
C
C
C
2
B
B
A
et cos ϕ =
. On voit alors
= 1 et donc il existe un angle ϕ vérifiant sin ϕ =
C
C
C
apparaître la formule sommatoire du sinus : f (t) = C(sin ϕ cos ωt + cos ϕ sin ωt) qui donne
f (t) = C sin(ωt + ϕ).
¤
Preuve. Soit C =
A2 + B 2 . On a : f (t) = C
42