Variables aléatoires discrètes

Chapitre 21
Variables aléatoires discrètes
On se place dans ce chapitre sur un espace probabilisé
21.1
Ω, P(Ω), P
.
Définition
Dénition ( VAR nie )
Une variable aléatoire réelle discrète X (VAR) est une application de Ω dans R telle que
1. pour tout intervalle I de R, {ω ∈ Ω tel que X(ω) ∈ I} ⊂ P(Ω)
2. X(Ω) comporte un nombre ni de valeurs.
Notations :
(X = x) pour {ω ∈ Ω tel que X(ω) = x}.
(a < X) pour {ω ∈ Ω tel que a < X(ω)}.
(X ≤ b) pour {ω ∈ Ω tel que X(ω) ≤ b}.
On notera l'événement
On notera l'événement
On notera l'événement
Exemple
On lance une pièce 10 fois de suite et on note X la VAR égale au nombre
de fois où pile a été obtenue.
(X = 3) est l'événement "3 piles et 7 faces ont été obtenus".
(X < 5) est l'événement "strictement moins de 5 piles ont été obtenus".
((X ≥ 3) ∩ (X ≤ 5)) = (3 ≤ X ≤ 5) = ((X = 3) ∪ (X = 4) ∪ (X = 5)).
Proposition (Opérations de VAR)
Soient X, Y deux VAR sur (Ω, A) et λ un nombre réel.
Alors X + Y, λX, XY, max(X, Y ), min(X, Y ) sont des VAR sur (Ω, A).
Exemple
21.2
On choisit 5 cartes simultanément dans un jeu de 32 cartes.
R est la VAR égale au nombre de rois, D de dames, V de valets et A d'as
dans la main obtenue.
Comme un as vaut 5 points, un roi 4 points, une dame 3 points et un valet
1 point, posons P la VAR égale au nombre de points de la main.
On obtient P = 5 × A + 4 × R + 3 × D + 1 × V .
Loi et fonction de répartition d'une VAR
443
CHAPITRE 21.
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
. Probabilité PX
Th.
X une var discrète sur (Ω, P(Ω), P ).
PX : P ((X(Ω)) → [0; 1], A 7→ P (X ∈ A)
(X(Ω), P ((X(Ω))).
PX est appelée loi de X .
Soit
est une probabilité sur l'espace probabilisé
Déterminer la loi de probabilité de
Important:
X
revient à déterminer l'ensemble
des couples composés des valeurs prises par X et de ses probabilités
correspondantes.
Valeurs prises par
X
:
Pour bien démarrer, il faut cerner les valeurs prises par
X
autrement dit
X(Ω)
en s'appuyant
sur l'énoncé de l'exercice et en justiant par des phrases.
Puis pour toute valeur
• (X = x)
X(Ω),
on écrit
(décomposition en événements)
• P (X = x) =...
Th.
de
signie que... (phrases)
• (X = x) =...
Exemple
x
(calcul de la probabilité)
Dans l'exemple précédent, le jeu de 32 cartes comporte 4 rois, nous
pourrons donc avoir au plus 4 rois dans la main de 5 cartes et au minimum
0.
Donc les valeurs prises par R sont 0, 1, 2, 3 et 4 autement dit R(Ω) = [[0; 4]].
. Formule des probabilités totales
Pour un S.C.E. formé des événements (X = xk ), avec xk ∈ X(Ω)
P (B) = P (B ∩ (X = x1 )) + · · · + P (B ∩ (X = xn ))
Et si de plus
∀xk ∈ X(Ω), P (X = xk ) 6= 0,
alors
P (B) = PX=x1 (B)P (X = x1 ) + · · · + PX=xn (B)P (X = xn )
Dénition ( Fonction de répartition )
Soit X une var discrète sur (Ω, P(Ω), P ).
On appelle fonction de répartition de X la fonction numérique réelle F dénie par
F :



R→R

 x 7→ P (X 6 x)
On considère le jeu suivant : le joueur paie 3 euros pour jouer. Ensuite, il lance trois
pièces équilibrées. Pour chaque "Pile" qu'il obtient, il gagne 2 euros
On désigne par X le nombre de "Pile" obtenus et par Y le gain (algébrique) du joueur.
1. Quelles sont les valeurs de X ?
Test 546
2. Exprimer Y en fonction de X .
3. Quelles sont les valeurs de Y ?
4. Déterminer la loi de X .
5. Déterminer la loi de Y .
6. Déterminer les fonctions de répartitions de X et de Y .
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Page 444
21.3.
Th.
ESPÉRANCE
. Propriétés de la fonction de répartition
Soient
X
une var discrète sur
(Ω, P(Ω))
et
F
sa fonction de répartition.
∀x ∈ R, F (x) ∈ [0; 1]
1.
2. La fonction
F
est croissante sur
lim F (x) = 0
3.
x→−∞
∀a, b ∈ R,
4.
avec
et
R.
lim F (x) = 1
x→+∞
a < b,
on a
P (a < X 6 b) = F (b) − F (a)
On lance une fois un dé à 6 faces et on note X la VAR égale à la face obtenue.
1. Déterminer la loi de X .
Test 547
2. Etablir sa fonction de répartition.
3. Tracer la représentation graphique de la fonction de répartition.
Th.
. De la fonction de répartition d'une VAR discrète à sa loi
Soit
X une VAR
∀k ∈ N,
discrète à valeurs dans
N.
Alors
P (X = k) = F (k) − F (k − 1)
. Caractérisation d'une loi
Th.
Soit
n ∈ N∗.
{(xi , pi ), i ∈ [[1; n]]}
(Ω, P (Ω)) si
Un ensemble
isable ni
1.
card (Ω) ≥ n
2.
∀i ∈ [[1; n]], pi > 0
n
X
3.
pi
dénit une loi de probabilité sur un espace probabil-
vaut 1.
i=1
21.3
Espérance
Dénition ( Espérance )
Soit X une var discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ) de loi {(xk , pk ), k ∈ {1; ..; n}}.
On appelle espérance mathématique (ou moyenne) de X le nombre noté E(X) déni par
E(X) = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn
I E(X)
est une moyenne des valeurs de
Test 548
Th.
X
pondérée par les probabilités correspondantes.
On considère une urne contenant 1 boule rouge, 2 boules noires et 2 boules jaunes. On
eectue des tirages successifs sans remise jusqu'a ce qu'il ne reste plus dans l'urne que
deux couleurs diérentes. On note X la var "nombre de tirage eectués".
Déterminer la loi de X. Calculer son espérance.
. linéarité de l'espérance
1. Soit
X
une VAR et
a, b
deux nombres réels alors on a
E(aX + b) = aE(X) + b
2. Soient
X, Y 2
VAR alors on a la formule
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
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CHAPITRE 21.
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
Une urne contient 2 blanches et 8 noires. On tire successivement 2 boules. Soit B le
nombre de blanches et N le nombre de noires obtenues.
1. On suppose que les tirages sont sans remise.
(a) Déterminer la loi de B puis calculer E(B).
Test 549
(b) Trouver une relation liant B et N .
(c) En déduire la loi de N et son espérance.
2. Refaire la question précédente lorsque les tirages sont avec remise.
Test 550
Andy est un ivrogne : quand il n'a pas bu la veille, il s'enivre le jour même ; et s'il a bu
la veille, il y a une chance sur trois pour qu'il reste sobre. On relève son état d'ivresse
pendant 400 jours sachant qu'au jour 0 il était ivre. On note X le nombre de jours où il
était sobre, et Xi la variable qui vaut 1 si Andy est sobre le i-ème jour et 0 sinon.
1. Exprimer X en fonction des Xi
1
1
2. Soit pi = P (Xi = 1). Montrer la relation pi = − pi−1 + .
3
3
3. En déduire la loi des Xi puis calculer E(X).
Dénition ( VAR centrée )
1. Dire que X est centrée signie que E(X) = 0
2. La variable X − E(X) est appelée VAR centrée associée à X
21.4
Moments d'une VAR discrète
Dénition ( Moment d'ordre r )
Soit X une VAR discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ).
Soit r un entier naturel.
On appelle moment d'ordre r de X le nombre :
mr (X) = E (X r )
Dénition ( Variance )
Soit X une VAR discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ). On appelle variance de X le nombre :
2
V (X) = E (X − E(X))
(Moyenne quadratique des écarts à la moyenne)
Th.
. Calcul de la variance
Soit
X
une VAR discrète nie sur
1. Formule de Huygens :
2. Soient
Test 551
a
et
b
(Ω, P(Ω), P ).
V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 .
deux nombres réels, on a
V (aX + b) = a2 V (X).
On lance n fois consécutives une pièce. La probabilité d'obtenir "pile" est p et celle
d'obtenir "face" est q = 1 − p.
Pour tout entier naturel k, supérieur ou égal à 2, on dit que le kième lancer est un
changement s'il amène un résultat diérent de celui du (k − 1)ième lancer.
On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant les n
premiers lancers.
1. Donner la loi de X2 .
2. Donner la loi de X3 .
3. Vérier que E(X3 ) = 4pq et que V (X3 ) = 2pq(3 − 8pq).
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Page 446
21.5.
INÉGALITÉS AVEC
E(X)
ET
V (X).
Dénition ( Ecart-Type )
Soit X une VAR discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ). On appelle écart-type de X le nombre :
p
σ(X) =
V (X)
Dénition ( VAR réduite )
Soit X une var discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ).
1. Dire que X est réduite signie que σ(X) = 1
2. Si σ(X) 6= 0 alors la VAR X ∗ =
X − E(X)
est appelée la VAR centrée réduite associée à
σ(X)
X.
Exemple
: Une urne contient
2
boules blanches et
4
boules noires.
On tire les boules une à une sans les remettre jusqu'à obtenir la première boule blanche. Soit
B
le nombre de
tirages nécessaires.
Expliciter la loi de
B,
son espérance et sa variance.
◦
La première boule blanche peut être obtenue au tirage n
1,2,3,4 ou 5 mais pas au tirage 6 car cela impliquerait
que les 5 boules précédentes sont noires, ce qui n'est pas possible donc
B(Ω) = [[1, 5]].
Bi : " piocher
Pour calculer les probabilités correspondantes, on introduit les évènements
i-ième
2
,
6
P (B = 1)
=
P (B1 ) =
P (B = 2)
=
P (B1 ∩ B2 ) = P (B1 )PB1 (B2 ) =
P (B = 3)
=
P (B1 ∩ B2 ∩ B3 ) = P (B1 )PB1 (B2 )PB1 ∩B2 (B3 ) =
P (B = 4)
=
P (B = 5)
2
4
4
× =
6
5
15
4
3
2
1
× × =
6
5
4
5
P (B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 ) = P (B1 )PB1 (B2 )PB1 ∩B2 (B3 )PB1 ∩B2 ∩B3 (B4 )
=
4
3
2
2
2
× × × =
6
5
4
3
15
P (B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 ∩ B5 )
=
P (B1 )PB1 (B2 )PB1 ∩B2 (B3 )PB1 ∩B2 ∩B3 (B4 )PB1 ∩B2 ∩B3 ∩B4 (B5 )
=
3
2
1
2
1
4
× × × × =
6
5
4
3
2
15
=
21.5
une boule blanche au
tirage "
E(B)
=
E(B 2 )
=
V (B)
=
2
4
1
2
1
7
+2×
+3× +4×
+5×
=
6
15
5
15
15
3
2
4
1
2
1
+ 32 × + 42 ×
+ 52 ×
=7
12 × + 22 ×
6
15
5
15
15
14
E(B 2 ) − [E(B)]2 =
9
1×
Inégalités avec
E(X)
et
V (X).
Proposition (Positivité de l'espérance)
Soit X une VAR discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ).
Si X est positive alors
1. E(X) ≥ 0.
2. E(X) = 0 si et seulement si P (X = 0) = 1.
Proposition (Croissance de l'espérance)
Soient X et Y deux VAR discrètes nies sur (Ω, P(Ω), P ).
X ≤ Y ⇒ E(X) ≤ E(Y )
Page 447
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CHAPITRE 21.
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
. Inégalité de Markov
Th.
X une
∀a > 0,
Soit
(Ω, P(Ω), P )
VAR nie sur un espace probabilisé
P (X ≥ a) ≤
E(X)
a
. Inégalités de Bienaymé-Tchebychev
Th.
Soit
X
une VAR nie sur un espace probabilisé
(Ω, P(Ω), P ).
P (|X − E(X)| ≥ a) ≤
21.6
VAR
Exemple
Soit
à valeurs positives. Alors
∀a > 0,
on a
V ar(X)
a2
f (X)
: Soit X une VAR nie telle que
f : x 7→ x2 − 5
1.
Alors
X(Ω) = [[−3; 4]]
et de loi :
x
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
P (X = x)
1
32
3
32
5
32
7
32
4
32
6
32
2
32
4
32
et on pose
Y = f (X).
Y (Ω) = {−5; −4; −1; 4; 11}.
2. Par le théorème de transfert,
E(Y ) =
3. Calculons
1
3
5
7
4
6
2
4
f (−3) +
f (−2) +
f (−1) +
f (0) +
f (1) +
f (2) +
f (3) +
f (4)
32
32
32
32
32
32
32
32
P (Y = −1).
P (Y = −1)
=
P (f (X) = −1)
P (Y = −1)
=
P (Y = −1)
=
P X 2 − 5 = −1
P X2 = 4
P (Y = −1)
=
P ((X = 2) ∪ (X = −2))
P (Y = −1)
=
P (X = 2) + P (X = −2)
P (Y = −1)
=
P (Y = −1)
=
par incompatibilité,
6
3
+
32
32
9
32
Dénition ( VAR f(X) )
Soit X une var sur (Ω, P(Ω), P ) et f une fonction numérique d'une variable réelle. On note f (X)
l'application dénie par

f (X) :


Ω→R

 ω 7→ f (X(ω))
Test 552
Soient X une variable aléatoire réelle et g : R+ → R+ une fonction strictement croissante.
Montrer que
E (g(|X|))
∀a > 0, P (|X| > a) 6
g(a)
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Page 448
21.7.
LOI UNIFORME
. Loi d'une VAR f(X)
Th.
Soit
Y
X
1.
(Ω, P(Ω), P ), f une
(Ω, A, P ) telle que
une var sur
est une var sur
application dénie sur
X (Ω)
et
Y = f (X).
Y (Ω) = f (X(Ω))
2. pour tout
X
y ∈ Y (Ω), P (Y = y) =
P (X = x)
x∈f −1 ({y})
Th.
. Théorème de Transfert
Soit
X
une var nie sur
(Ω, P(Ω), P )
et
E(f (X)) =
f une fonction dénie
X
f (x)P (X = x)
sur
X (Ω)
alors,
x∈X(Ω)
21.7
Loi uniforme
Dénition ( Loi Uniforme )
Soit n ∈ N∗ ,
dire qu'une VAR X suit une loi uniforme sur [[1; n]] signie que
X(Ω) = [[1; n]]
∀k ∈ [[1; n]], P (X = k) =
1
n
On notera X ,→ U[[1;n]] .
Situation caractéristique :
Tous les éventualités sont équiprobables.
Point Méthode :
Considérons un dé à 6 faces équilibré.
Soit
X
la VAR égale à la face obtenue au cours d'un
lancer.
Rédaction :
On lance une fois un dé et les résultats obtenus, de
X,
1
k) = .
6
Donc
1
à
6,
sont tous équiprobables.
la VAR égale au résultat obtenu, suit une loi uniforme sur
[[1; 6]]
et
∀k ∈ [[1; 6]], P (X =
Proposition (Espérance et Variance)
Si X ,→ U[[1;n]] alors
E(X) =
21.8
n+1
n2 − 1
et V (X) =
2
12
Schéma de Bernoulli
Dénition ( Schéma de Bernoulli )
Soit p ∈]0; 1[. Dire qu'une VAR X suit un schéma de Bernoulli de paramètre p signie que
X(Ω) = {0; 1} et P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 − p
On notera X ,→ B(1; p).
Situation caractéristique :
Expérience répétée une fois avec 2 issues possibles, succès de probabilité
p
ou échec.
Point Méthode :
Timothé mange un morceau de galette des rois. Soit la VAR
Page 449
X
égale à
1
s'il a la fève et
0
sinon.
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CHAPITRE 21.
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
La probabilité d'avoir la fève est de
Rédaction :
1
.
8
Soit l'expérience "manger un morceau de galette des rois".
A cette expérience, 2 issues sont possibles :
X
1
,
8
•
soit Tim a la fève avec la probabilité
•
soit Tim ne l'a pas avec la probabilité
est la VAR égale à
Donc
X
1
7
.
8
0
si Tim a la fève et
sinon.
suit un schéma de Bernoulli de paramètre
1
,
8
ainsi
P (X = 0) =
7
8
et
P (X = 1) =
1
.
8
Proposition (Espérance et Variance)
Si X ,→ B(1, p) alors
E(X) = p et V (X) = p(1 − p)
21.9
Loi binomiale
Dénition ( Loi binomiale )
Soit n un entier naturel non nul et p ∈]0; 1[. Dire qu'une VAR X suit une loi binomiale de taille
n et de paramètre p signie que

n
 k

n−k
X(Ω) = [[0; n]] et ∀k ∈ [[0; n]], P (X = k) = 
 p (1 − p)
k

On notera X ,→ B(n; p).
Situation caractéristique
:
Expérience répétée
n
fois dans des conditions identiques et indépendantes avec, à
chaque fois, 2 issues possibles, succès de probabilité
p
ou échec.
Point Méthode :
On tire successivement et avec remise
11
boules dans une urne contenant 4 boules bleues et 2
boules rouges.
Soit la VAR
X
égale au nombre de boules bleues obtenues lors des
11
tirages.
Rédaction :
Soit l'expérience "tirer une boule dans l'urne".
A cette expérience, 2 issues sont possibles :
•
soit elle est bleue avec la probabilité
2
,
3
•
soit elle est rouge avec la probabilité
1
.
3
On la répète
X
11
fois dans des conditions identiques et indépendantes.
comptabilise le nombre de boules bleues obtenues.
Donc
2
X ,→ B 11;
.
3


k 11−k
1
 11  2
∀k ∈ [[0; 11]], P (X = k) = 

3
3
k
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Page 450
21.9.
LOI BINOMIALE
Proposition (Espérance et Variance)
Si X suit la loi binomiale B(n, p) alors
E(X) = np et V (X) = np(1 − p)
Test 553
Test 554
Un test consiste à répondre à 5 questions. Pour chaque question 3 réponses sont proposées
dont une seule est juste. Un candidat répond au hasard. Chaque réponse juste rapporte
4 points ; chaque réponse fausse coûte 2 points.
Soient B le nombre de réponse bonnes, S la somme des points marqués par le candidat
et X = max(0; S).
Quelle est la loi suivie par B ? Etablir la loi de S . Etablir celle de X et calculer E(X).
Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement 5
boules avec remise.
S'il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3.
Soit X le nombre de boules blanches et Y le nombre de points obtenus.
1. Déterminer la loi de X, puis E(X) et V (X). Exprimer Y en fonction de X. En
déduire la loi de Y, puis E(Y ) et V (Y ).
2. Déterminer la loi de X, puis E(X) si l'on suppose que le jeu est sans remise.
Test 555
1. On pose 20 questions à un candidat. Pour chaque question, k réponses sont proposées dont une seule est la bonne. Le candidat choisit au hasard une des réponses.
On lui attribue un point par bonne réponse.
Soit X1 le nombre de points obtenus. Déterminez la loi de X1 .
2. Déterminez k pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.
Proposition (Somme de 2 VAR)
Soient X1 et X2 deux VAR indépendantes qui suivent respectivement les lois binomiales de
même paramètre p, B(n1 , p) et B(n2 , p)
alors X1 + X2 suit la loi binomiale B(n1 + n2 , p)
Une population de personnes présente une propriété donnée avec une proportion inconnue
p ∈ ]0, 1[.
On choisit un échantillon de n personnes et l'on pose Xi = 1 si le i-ème individu présente
la propriété étudiée, 0 sinon. On considère que les variables aléatoires Xi ainsi dénies
sont indépendantes et suivent toute une loi de Bernoulli de paramètre p.
a) Quelle est la loi suivie par
Test 556
Sn = X1 + · · · + Xn ?
b) Déterminer espérance et variance de Sn /n.
c) Soit ε > 0. Etablir
Sn
1
− p > ε 6
P n
4nε2
d) Pour ε = 0, 05, quelle valeur de n choisir pour que Sn /n soit voisin de p à ε près avec
une probabilité supérieure à 95 % ?
Page 451
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CHAPITRE 21.
21.10
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
Exercices
Exercice 1
D1
On dispose de deux dés : un dé cubique
D2
faces marquées 1 et un dé
comporte 1 face marquée 0, 3 faces marquées 2, 2
comportant 3 faces marquées 0, 2 faces marquées 1, 1 face marquée
2.
D1
1. On lance le dé
et on note
X1
le nombre obtenu. Déterminer la loi de
X1
et sa fonction
de répartition.
2. Mêmes questions pour
3. On lance
D1
et
D2
X2
le nombre obtenu en lançant le dé
D2 .
Z = X1 + X2
simultanément, déterminer la loi de
et de
R = X1 X2 .
Exercice 2
U1 et U2 , de six boules numérotées de 1 à 6 ainsi que d'un dé équiliU1 contient les boules numérotées 1 et 2, l'urne U2 contient les boules
On dispose de deux urnes
bré. Initialement, l'urne
numérotées
3, 4, 5
et
6.
On appelle échange l'expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d'urne la boule
portant le numéro obtenu avec le dé.
Pour
n
n ∈ N,
on note
Xn
la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans
U1
après
échanges successifs.
1. Les cinq premiers lancers du dé donnent :
Quel est le contenu de
2. Quelle est la loi de
X1
3. Déterminer la loi de
U1
1, 3, 2, 3, 5.
à l'issue du cinquième échange ?
? Calculer son espérance
E(X1 ).
X2 .
4. Quelles sont les valeurs possibles de
5. Montrer que pour tout entier
n
P (Xn+1 = 0) =
de
Xn
N
∗
?
, on a
1
P (Xn = 1)
6
∀k ∈ {1, .., 5}, P (Xn+1 = k) =
et
P (Xn+1 = 6) =
1
P (Xn = 5)
6
7−k
k+1
P (Xn = k − 1) +
P (Xn = k + 1)
6
6
Exercice 3
Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle
sur appel téléphonique.
Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans
le dépannage à la suite d'un appel est
p=
1
.
4
X le
E(X).
1. Un même client a appelé le service à 8 dates diérentes. Soit
ce client a subi. Dénir la loi de probabilité de
X.
2. On considère un ensemble de 8 clients diérents.
Calculer
nombre de retards que
Calculer
V (X).
2 d'entre eux sont mécontents parce
qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit
mécontents parmi les 4 contactés. Déterminer la loi de
M.
M le nombre
E(M ).
de clients
Calculer
Exercice 4
Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables
au toucher.
On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée, on note sa couleur,
Lycée Châtelet Douai
Page 452
21.10.
et on la remet dans l'urne avec
c
> 1).
n tirages (n > 2).
Xi = 1 si on obtient une
EXERCICES
boules de la couleur de la boule tirée ( c
On répète cette épreuve, on réalise ainsi une succession de
(Xi )i∈N
On considère les variables aléatoires
ème
i
au
tirage et
Xi = 0 sinon.
2 6 p 6 n,
On dénit alors, pour
1. Donner la loi de
X1
X2
puis
3. Que représente la variable
4. Soit
p ∈ N∗ ,
la variable aléatoire
ainsi que
2. Déterminer la loi de
dénies par
Zp
par :
Zp = X1 + · · · + Xp .
E(X1 ).
E(X2 ).
Zp
Zp (Ω)
? Déterminer
déterminer très soigneusement
Xp
P(Zp =k) (Xp+1 = 1)
pour
k ∈ Zp (Ω).
P (Xp+1 = 1) =
est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre
(Pp ) : X1 , .., Xp
en posant
Z2 .
ainsi que la loi de
5. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que
6. En déduire que
boule blanche
suivent une loi de Bernoulli de paramètre
1
)
2
1
2
1 + cE(Zp )
2 + pc
(par récurrence
Exercice 5
Une urne contient 4 boules blanches et 4 noires. On eectue des tirages successifs sans remise.
Soit
X1
la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la
X2
boule blanche.
X1 .
1. Déterminer la loi de
2. Soit
1-ère
la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la
2-ième
boule blanche. Déter-
miner sa loi.
Exercice 6
Une urne contient 3 boules bleues, 2 vertes, 5 rouges.
N la VAR
E(N ) et V (N ).
1. On tire une à une, avec remise 3 boules de cette urne. Soit
boules bleues tirées. Quelle est la loi de
N
? Préciser
2. On tire simultanément 3 boules de cette urne. Soit
(a) Etablir la loi de
X
puis calculer
X
égale au nombre de
le nombre de boules bleues tirées.
E(X).
(b) Quelle est la probabilité de tirer 3 boules de la même couleur ?
(c) Quelle est la probabilité de tirer 1 boule de chaque couleur ?
(d) Quelle est la probabilité de tirer 2 boules au moins de la même couleur ?
Exercice 7
Deux urnes
U1
et
U2
contiennent respectivement 2 boules blanches et 1 noire, et 1 blanche et
3 noires. On eectue un premier tirage dans une urne choisie au hasard et on remet la boule
obtenue dans son urne d'origine.
ième tirage,
(resp. U2 ).
Au
si la boule obtenue est blanche (resp. noire), le
On considère la variable aléatoire
tirage et
Xi = 0
X1
puis de
P (Xi+1 = 0)
P (Xi+1 = 1).
Page 453
dénie par
tirage se fait dans
U1
Xi = 1 si l'on obtient une boule blanche au ième
sinon.
1. Donner la loi de
2. Calculer
Xi
(i + 1)ème
X2 .
en fonction de
P (Xi = 0)
et
P (Xi = 1).
Faire de même avec
Alain Couteèle et Mélissa Bailloeuil
CHAPITRE 21.
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
(P (Xi = 0))i∈N∗ est une suite arithmético-géométrique.
P (Xi = 0) en fonction de i puis celle de P (Xi = 1).
3. Montrer que la suite
l'expression de
4. Calculer
En déduire
lim P (Xi = 0).
i→+∞
Exercice 8
On réalise une suite de lancers d'une piéce équilibrée.
Pk
note X
Fk
On note
(resp.
) l'événement : on obtient pile (resp. face) au
On
la variable aléatoire qui prend la valeur
puis face dans cet ordre aux lancers
prenant la valeur
1. Calculer
0
k−1
et
k (k
k
k éme
lancer".
si l'on obtient pour la première fois pile
désignant un entier supérieur ou égal à 2),
X
si l'on obtient jamais une telle succession.
P (X = 2).
(X = 3) = P1 P2 F3 ∪ F1 P2 F3 ,
2. En remarquant que
calculer
P (X = 3).
3. Sur le modéle de la question précédente, écrire, pour tout entier
l'événement
(X = k)
4. Déterminer P (X
comme réunion de
= k)
pour tout entier
(k − 1)
k
k
supérieur ou égal à 3,
événements incompatibles.
supérieur ou égal à 2.
Exercice 9
Soit
X
une variable aléatoire binomiale de taille
Calculer l'espérance de la variable
n
et de paramètre
p ∈ ]0, 1[.
1
Y =
.
X +1
Exercice 10
Une urne contient
celle-ci et on note
n
X
boules blanches et
n
boules rouges. On tire simultanément
n
boules dans
le nombre de boules rouges obtenues lors de ce tirage.
1. Quelle est la loi de
X
?
2. On considère dans cette question une urne contenant
n−1
laquelle on eectue
tirages simultanés.
obtenues. Quelle est la loi de
n−1
X
3. En remarquant que
Y
n
On note
blanches,
Y
n−1
rouges et dans
le nombre de boules rouges
?
P (Y = j) = 1,
calculer l'espérance de X.
j=0
Exercice 11
Soit
X
une VAR à valeur dans
Calculer l'espérance de
[[0, n]]
telle qu'il existe
a ∈ R
vériant
P (X = k) = a
n
k
!
.
X.
Exercice 12
Dans une urne contenant
n boules blanches et n boules rouges, on prélève successivement et sans
X le nombre de tirages juste nécessaire à l'obtention de toutes les
remise les boules. On note
boules rouges.
X.

 

2n
X  k − 1   2n 

=

k=n
n−1
n
a) Déterminer la loi de
b) En déduire que
c) Calculer l'espérance de
Lycée Châtelet Douai
X.
Page 454
21.11.
21.11
EXERCICES COMPLÉMENTAIRES
Exercices Complémentaires
Exercice 1
Lors d'un concours d'équitation, un cavalier eectue un parcours de 2000 mètres à la vitesse
de 10 kilomètres par heure. Il doit franchir 10 obstacles, indépendants les uns des autres. La
probabilité de franchir un obstacle sans faute est de
1. On note
X
3
.
5
la variable aléatoire qui désigne le nombre d'obstacles franchis sans fautes par
le cavalier. Déterminer la loi de
X,
ainsi que son espérance.
2. On suppose que si un obstacle est franchi sans faute, le cavalier ne perd pas de temps, dans
le cas contraire, le cavalier perd une minute. Soit
en minutes du parcours. Exprimer
T
T
en fonction de
la variable aléatoire égale à la durée
X,
en déduire la durée moyenne d'un
parcours.
Exercice 2
Une urne contient
4
boules numérotées de 1 à
4.
On tire successivement 2 boules. Le tirage se
fait avec remise. On considère les variables aléatoires suivantes :
• P
la VAR égale au numéro de la première boule tirée.
• D
la VAR égale au numéro de la seconde boule tirée.
1. Donner les lois respectives de P et D.
2. Soit
X1
la VAR égale au plus petit numéro tiré. Autrement dit
X1 = min(P, D)
Calculer
3. Soit
X2
P (X1 = 4).
Etablir la loi de
X1 .
Calculer
E(X1 ).
la VAR égale au plus grand numéro tiré. Autrement dit
X1 = max(P, D)
Calculer
P (X2 = 4).
Etablir la loi de
X2 .
Calculer
E(X2 ).
Exercice 3
On dispose d'un paquet de
Un joueur
B
A
6
cartes. Ces cartes sont numérotées de
propose à un joueur
à chaque partie :
B
B
tire une carte au hasard, montre le nombre
carte dans le paquet. Puis
A
1
à
6.
le jeu suivant, moyennant une mise de 1 euro que lui verse
β
qu'elle porte et remet la
tire une carte au hasard; quand celle-ci porte le nombre
•
Si
α < β,
alors
A
donne à
B
la somme
(β − α)
•
Si
α > β,
alors
B
donne à
A
la somme de 1 euro :
•
Si
α = β,
alors
B
a simplement perdu 1 euro, le montant de la mise.
euros :
B
B
a donc gagné
2. Soit
X
E(X).
a donc perdu 2 euros.
B
suivant les
B.
Donner la loi de
X.
Le jeu avantage-t-il l'un des joueurs ?
4. Calculer la variance de
Page 455
euros.
(α, β).
la V.A. représentant les gains de
3. Calculer
:
(β − α − 1)
1. Dresser le tableau à double entrée donnant les gains (positifs ou négatifs) de
diérentes valeurs du couple
α
X.
Alain Couteèle et Mélissa Bailloeuil
CHAPITRE 21.
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
Exercice 4
Une urne contient
2
boules blanches et
8
Soit
Xn
2
Yn
Exprimer
Xn .
Yn le nombre de points
E(Xn ) et V (Xn ).
Xn . En déduire E(Yn ) et V (Yn ).
boules
3.
points, sinon il en perd
le nombre de boules blanches et
Déterminer la loi de
n
boules noires. Un joueur tire successivement
avec remise. S'il tire une boule blanche, il gagne
obtenus.
Calculer
en fonction de
Exercice 5
U
On considère deux urnes notées respectivement
l'urne
l'urne
U
V
V.
et
On suppose que :
contient deux boules noires et deux boules blanches;
contient deux boules noires, deux boules blanches et deux boules vertes.
(E)
1. On considère l'expérience suivante
U,
dans l'urne
: "on tire au hasard et simultanément deux boules
on note leur couleur, puis on les remet dans l'urne
U ".
(a) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.
n∈N
Soit
n ≥ 2.
tel que
n
On répète
fois l'expérience
(E)
et on note
N
la variable
aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu deux boules de même couleur lors
de ces
n
tirages dans l'urne
(b) Donner la loi de
N
U.
en explicitant
P (N = k)
k
pour
appartenant aux valeurs prises
N.
par
E(N )
(c) Préciser la valeur de l'espérance
de
n
(d) Quelle est la probabilité que, sur ces
N
ainsi que de sa variance
V (N ).
tirages, on ait obtenu au moins une fois deux
boules de même couleur ?
(F)
2. On considère une autre expérience
dans l'urne
U.
U.
: "on tire au hasard et simultanément deux boules
Si les deux boules sont de même couleur, on enlève ces deux boules de l'urne
Si elles ont des couleurs diérentes, on repose les deux boules dans l'urne
recommence l'expérience jusqu'à ce que l'urne
X
On note
U
le nombre de tirages nécessaires pour que l'urne
U,
a = P (A).
l'événement : "au premier tirage dans l'urne
on note
a
sa probabilité, c'est-à-dire
(a) Calculer
P (X = 1), P (X = 2)
(b) Montrer que, pour tout entier
3. On considère deux réels
(un )n≥2
r, s
et
U
puis on
soit vide".
U
soit vide. On désigne par
A
les deux boules sont de même couleur" et
P (X = 3).
n≥2
:
P (X = n) = a(1 − a)n−2 .
distincts et non nuls ainsi qu'un réel
λ.
On considère la suite
dénie par :
u2 = 0,
un+1 = λrn−2 + sun .
∀n ≥ 2,
Montrer par récurrence que :
∀n ≥ 2,
un =
4. On considère une nouvelle expérience
boules dans l'urne
V.
de l'urne
V.
(G)
λ
rn−2 − sn−2
r−s
:
"on tire au hasard et simultanément deux
Si les deux boules sont de même couleur, on enlève ces deux boules
Si elles sont de couleurs diérentes, on repose les deux boules dans l'urne
puis on recommence l'expérience jusqu'à ce que l'urne
On note
Y
V,
b = P (B).
b
sa probabilité, c'est-à -dire
(a) Calculer la probabilité
(b) Calculer
P (Y = 2)
et
V
soit vide".
le nombre de tirages nécessaires pour que l'urne
l'événement : "au premier tirage dans l'urne
on note
V
V
soit vide. On désigne par
B
les deux boules sont de même couleur" et
b.
P (Y = 3).
(c) A l'aide du système complet d'événements
(B, B),
démontrer que, pour tout
n≥2
:
P (Y = n + 1) = bP (X = n) + (1 − b)P (Y = n)
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Page 456
21.11.
EXERCICES COMPLÉMENTAIRES
(d) A l'aide de la question 3, montrer que :
∀n ≥ 2,
P (Y = n) =
ab
(1 − a)n−2 − (1 − b)n−2
b−a
Exercice 6
+∞ X
n
xk
est valable pour x ∈] − 1, 1[
(1 − x)k+1
k
n=k
Soit p un nombre réel tel que 0 < p < 2/3. Dans un pays, la probabilité qn
n
exactement n enfants est de p /2 quand n > 1; par ailleurs, la probabilité, à
d'avoir un garçon est de 1/2.
On admet que l'égalité
1. Calculer la probabilité
Calculer la probabilité
2. Soient
n ∈ N∗
et
xn =
k ∈ N∗ .
k ∈ N.
qu'une famille ait
chaque naissance,
q qu'une famille ait au moins un enfant.
q0 qu'une famille n'ait aucun enfant.
k ∈ [[0, n]].
On considère une famille de
n
enfants ;
calculer la probabilité pour que cette famille ait exactement
3. Soit
et
k
garçons.
Calculer la probabilité pour qu'une famille ait exactement
k
garçons.
4. Calculer la probabilité pour qu'une famille n'ait aucun garçon.
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