chapitre 4 application a l`etude de quelques mouvements simples

Introduction à la mécanique newtonienne
CHAPITRE 4
APPLICATION A L’ETUDE
DE QUELQUES MOUVEMENTS SIMPLES
Tir d’un projectile
1. SYSTEME COMPOSE
Le système étudié lors d’un mouvement n’est pas nécessairement constitué d’un seul objet.
Par exemple, lors du tir d’un projectile, on peut considérer l’ensemble {projectile + arme} comme le système.
2. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT ET
CONSEQUENCES
En première approximation, lors du tir d’un projectile, on peut considérer que le système, défini
précédemment, n’est soumis qu’à des forces qui se compensent. On peut donc le considérer comme pseudoisolé, et sa quantité de mouvement est constante au long du tir :
𝑝⃗𝑡𝑜𝑡 𝑎𝑝𝑟è𝑠 = 𝑝⃗𝑡𝑜𝑡 𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡
Le système étant immobile avant le tir, sa quantité de mouvement est nulle : 𝑝⃗𝑡𝑜𝑡
= ⃗0⃗
𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡
On a donc : 𝑝⃗𝑡𝑜𝑡 𝑎𝑝𝑟è𝑠 = 𝑝⃗𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙𝑒 𝑎𝑝𝑟è𝑠 + 𝑝⃗𝑎𝑟𝑚𝑒 𝑎𝑝𝑟è𝑠 = 𝑚𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙𝑒 𝑣⃗𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙𝑒 𝑎𝑝𝑟è𝑠 +
𝑚𝑎𝑟𝑚𝑒 𝑣⃗𝑎𝑟𝑚𝑒 𝑎𝑝𝑟è𝑠 = ⃗0⃗.
𝑚𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙𝑒
𝑣⃗𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙𝑒 𝑎𝑝𝑟è𝑠
𝑚𝑎𝑟𝑚𝑒
Si le projectile part vers l’avant, l’arme a un mouvement vers l’arrière.
Toute personne qui a déjà fait du tir a ressenti les effets de ce mouvement de recul.
⇒ 𝑣⃗𝑎𝑟𝑚𝑒 𝑎𝑝𝑟è𝑠 = −
Lancer d’un projectile
1. MOUVEMENT DE CHUTE LIBRE
En première approximation, lorsqu’on étudie le mouvement d’un projectile après son lancer, on néglige toutes
les forces extérieures qui s’exercent sur le projectile autres que son poids.
On dit alors que le projectile a un mouvement de chute libre.
Rq :
Bien que l’environnement soit à 3 dimensions, le mouvement de chute libre se fait toujours dans un plan. 2
coordonnées (x et z) suffisent donc à l’étudier.
On a donc la situation suivante :
 système : projectile de masse m
 référentiel : terrestre, supposé galiléen
 bilan des forces : poids du projectile 𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑔⃗
2. IMPORTANCE DES CONDITIONS INITIALES
Au cours de sa chute libre, le projectile peut monter et/ou descendre, verticalement ou également en partie
horizontalement.
z
La trajectoire qu’il va avoir dépend avant tout des conditions initiales,
𝑣0
⃗⃗⃗⃗⃗
c'est-à-dire la position depuis laquelle il a été lancé, ainsi que la vitesse
(direction, sens et valeur) avec laquelle il a été lancé.

Dans le cas général d’un projectile lancé depuis une altitude h avec un
vecteur vitesse quelconque, on peut écrire :
h
0
𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 ( ) 𝑒𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺
𝑣0 (
)
ℎ
𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼
x
Rq :
Lorsque le vecteur vitesse initial est horizontal, on a ⃗⃗⃗⃗⃗(
𝑣 𝑣0)
Lorsque le vecteur vitesse initial est vertical, on a
0 0
0
𝑣0 (±𝑣
⃗⃗⃗⃗⃗
)
0
3. PREMIERE APPROCHE ENERGETIQUE
Une étude énergétique d’un mouvement de chute libre permet d’associer la vitesse du projectile à son
altitude. La seule force agissant sur le projectile au cours de sa chute libre est son poids. Il y a donc
conservation de l’énergie mécanique du projectile :
Introduction à la mécanique newtonienne
𝐸𝑚 (𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑙𝑒) = 𝑐𝑠𝑡𝑒
En étudiant le mouvement du projectile entre deux points A et B, on peut donc écrire :
1
1
𝐸𝑚 (𝐴) = 𝐸𝑚 (𝐵) ⇒ 𝐸𝑐 (𝐴) + 𝐸𝑝𝑝 (𝐴) = 𝐸𝑐 (𝐵) + 𝐸𝑝𝑝 (𝐵) ⇒ 𝑚𝑣𝐴 2 + 𝑚𝑔𝑧𝐴 = 𝑚𝑣𝐵 2 + 𝑚𝑔𝑧𝐵
2
2
Une étude énergétique d’un mouvement de chute libre permet donc d’associer la vitesse du projectile à son
altitude.
4. EQUATIONS HORAIRES

Le principe fondamental de la dynamique (2eme loi de Newton) permet de modéliser l’évolution
temporelle du projectile :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐹𝐷 ∶ ∑ 𝐹
⃗ ⇒ 𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑎⃗ ⇒ 𝑚𝑔⃗ = 𝑚𝑎⃗ ⇒ 𝑔⃗ = 𝑎⃗
𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑎
𝟎
⃗⃗ (−𝒈
On a donc, dans le repère défini précédemment (2.) : 𝒂
)

Par définition, 𝑎⃗ =
𝑑
𝑑𝑡
𝑣⃗(𝑡) ⇒
𝑑
𝑣 (𝑡) = 𝑎𝑥 = 0
𝑑𝑡 𝑥
{𝑑
𝑣 (𝑡) = 𝑎𝑧 = −𝑔
𝑑𝑡 𝑧
𝑣𝑥 (𝑡) = 𝐶1
⇒{
𝑣𝑧 (𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝐶2
L’expression des constantes C1 et C2 dépend des conditions initiales :
𝑣𝑥 (0) = 𝐶1 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑣𝑧 (0) = −𝑔 × 0 + 𝐶2 = 𝐶2 = 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶
⃗⃗(𝒕) (−𝒈𝒕+𝒗
On a donc : 𝒗
)
𝟎 𝒔𝒊𝒏𝜶
𝑑

Par définition, 𝑣⃗(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 (𝑡) ⇒ { 𝑑
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) = 𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑧(𝑡) = 𝑣𝑧 (𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑥(𝑡) = (𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑡 + 𝐶3
1
⇒{
𝑧(𝑡) = − 𝑔𝑡 2 + (𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼)𝑡 + 𝐶4
2
L’expression des constantes C3 et C4 dépend des conditions initiales :
𝑥(0) = (𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼)0 + 𝐶3 = 𝐶3 = 0
1
𝑧(0) = − 𝑔 × 02 + (𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼) × 0 + 𝐶4 = 𝐶4 = ℎ
2
(𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜶)𝒕
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(𝒕) ( 𝟏
On a donc : 𝑶𝑮
) Equations horaires
− 𝒈𝒕𝟐 +(𝒗𝟎 𝒔𝒊𝒏𝜶)𝒕+𝒉
𝑑𝑡
𝟐
5. EQUATION DE LA TRAJECTOIRE
L’élimination du paramètre temps dans les équations horaires permet d’obtenir l’équation de la trajectoire du
projectile :
2
𝑥
1
𝑥
𝑥
𝑥 = (𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑡 ⇒ 𝑡 =
⇒ 𝑧 = − 𝑔(
) + (𝑣0 𝑠𝑖𝑛𝛼)
+ℎ
𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
2 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑔
D’où l’équation de la trajectoire parabolique du projectile : 𝑧 = − 2 2 𝑥 2 + 𝑥𝑡𝑎𝑛𝛼 + ℎ
2𝑣0 𝑐𝑜𝑠 𝛼
L’analyse des équations horaires (position et vitesse) et de l’équation de la trajectoire permettent de dévoiler
tous les secrets du mouvement du projectile après son lancer.
Introduction à la mécanique newtonienne
Mise en orbite d’un projectile
Lorsque le projectile est lancé avec une vitesse trop importante, il peut finir par se trouver en orbite autour de
la Terre.
Rq :
Généralement, c’est une situation qui n’est pas fortuite, mais recherchée et/ou étudiée.
On ne peut alors plus considérer un référentiel terrestre comme galiléen. Il faut utiliser un autre référentiel,
plus adapté (géocentrique, héliocentrique, jupitérocentrique, … selon les cas)
1. APPROCHE HISTORIQUE EXPERIMENTALE : LOIS DE KEPLER
Solitaire sur une île déserte de la mer Baltique, l’astronome Johannes Kepler a pu établir au début du XVIIe
siècle trois lois expérimentales pour décrire le mouvement des planètes autour du Soleil.
a. Première loi de Kepler.
Dans un référentiel héliocentrique, les planètes décrivent des trajectoires elliptiques planes dont le centre S
du Soleil est l’un des foyers.
b. Deuxième loi de Kepler : Loi des Aires.
Pendant une durée donnée t, le rayon qui joint le centre S du Soleil au centre de la Terre balaie une aire A
constante, quelle que soit la position de la Terre sur son orbite.
Une étude systématique des orbites des autres
planètes l’amènera à généraliser la loi des aires
t
aux autres planètes et astres (comètes, …)
A
∆𝐴
tournant autour du Soleil. Le rapport dépend
∆𝑡
t A
alors de l’astre considéré.
A
Pendant une durée donnée t, le rayon qui
S
joint le centre S du Soleil au centre d’une
planète balaie une aire A constante, quelle
que soit la position de la planète sur son
A
orbite.
t
Rq :
Lorsque la distance d’une planète au centre
du Soleil est minimale ou maximale, celle-ci se trouve respectivement au périhélie P ou à l’aphélie A de son orbite.
La loi des aires permet d’affirmer que la vitesse de la planète est maximale en P et minimale en A.
c. Troisième loi de Kepler.
𝑇2
= 𝐾𝑠
𝑎3
T : période de révolution de la planète autour du Soleil.
(en secondes)
a : longueur du demi grand axe de la trajectoire elliptique de la planète.
(en mètres)
-19 2
-3
KS : constante ne dépendant pas de la planète considérée, mais uniquement du Soleil. KS = 2,97.10 s .m
Rq :
Les trois lois de Kepler ne s’appliquent pas qu’aux astres tournant autour du Soleil, mais également aux satellites
d’une planète, aux planètes d’autres systèmes planétaires, ou encore aux étoiles tournant autour d’un trou noir.
La constante K dépend alors de l’astre autour duquel on gravite.
2. APPROCHE THEORIQUE : INTERACTION GRAVITATIONNELLE
L’interaction gravitationnelle, ou encore gravitation universelle, est l’une des 4 interactions fondamentales qui
régissent notre Univers (interaction gravitationnelle, interaction électromagnétique, interaction forte,
interaction faible).
Elle régit les interactions entre deux corps pourvus d’une masse.
Contrairement aux trois autres interactions fondamentales, l’interaction gravitationnelle est de portée infinie
et toujours attractive.
Par contre, son intensité est beaucoup plus faible que celles des trois autres.
On peut donner une expression simple de la force d’interaction gravitationnelle dans le cadre des deux
approximations suivantes :
 Les deux systèmes en interaction ont une répartition de masse à symétrie sphérique. La masse
volumique de ces objets ne dépend que de la distance au centre.
 La taille des systèmes en interaction est faible devant la distance qui les sépare. On peut ainsi négliger
les dimensions de ces objets par rapport à leur éloignement.
On peut alors écrire :
𝑚𝐴 𝑚𝐵
𝐹𝐴→𝐵 = 𝐺
𝐴𝐵2
-11
3
-1 -2
G = 6,67.10 m .kg s : constante de gravitation.
P
Introduction à la mécanique newtonienne
Rq :
Rq :
Cette expression est parfaitement applicable à l’interaction entre les corps célestes, dans le cadre de la théorie de
la relativité générale.
Par contre, les approximations nécessaires à l’utilisation de cette expression simple ne sont plus vérifiées dans le
monde nanoscopique, où règne sans partage la mécanique quantique.
Mécanique quantique et relativité générale ne font pas (du moins pas encore) bon ménage.
A exerce une force sur B, mais B exerce aussi une force sur A telle que :
𝐹𝐵→𝐴 = −𝐹𝐴→𝐵
} ⇒ 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é𝑒𝑠
𝑚ê𝑚𝑒 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑑′𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛
On retrouve la troisième loi de Newton.
3. REPERE DE FRENET
Pour faciliter l’étude d’un mouvement circulaire, il peut être judicieux de changer d’approche. On ne prend
plus un repère fixe, mais un repère mobile, lié au système étudié. Un tel repère est appelé repère de Frenet.
a. Définition.
A un instant t donné, on peut définir, dans le plan de la trajectoire d'un objet, une base orthonormée (𝜏⃗, 𝑛⃗⃗)
p
telle que : S

o
 Le vecteur unitaire
 est tangent au cercle décrit par G et orienté dans le même
sens que sa trajectoire.


 Le vecteur unitaire n est perpendiculaire à  et dirigé vers le centre du cercle
𝑛⃗⃗
décrit par G.
b. Interaction gravitationnelle et repère de Frenet.
Dans le repère de Frenet, l’interaction gravitationnelle s’écrit :
𝐺𝑚𝐴 𝑚𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐺 =
𝑛⃗⃗
𝑟2
Ses coordonnées sont donc :
0
⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐺 (𝐺𝑚𝐴 𝑚𝐵 )
𝑟2
c. Vitesse et repère de Frenet.
Dans le repère de Frenet, le vecteur vitesse s’écrit :
𝑣⃗ = 𝑣𝜏⃗
Ses coordonnées sont donc :
𝑣
𝑣⃗ ( )
0
d. Accélération et repère de Frenet.
Dans le repère de Frenet, le vecteur accélération s’écrit :
𝑑𝑣
𝑣2
𝑎⃗ =
𝜏⃗ + 𝑛⃗⃗
𝑑𝑡
𝑟
Ses coordonnées sont donc :
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑎⃗ ( 𝑣 2 )
𝑟
4. MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME
En se plaçant dans le repère de Frenet, il est aisé de vérifier que le mouvement d’un objet de masse m autour
d’un astre de masse M est circulaire en première approximation (en négligeant toute action autre que celle de
l’astre) :
𝑑𝑣
𝑑𝑣
= 0 ⇒ 𝑣 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ∶ 𝑚𝑜𝑢𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒
0
𝑑𝑡
𝑃𝐹𝐷 ∶ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹𝐺 = 𝑚𝑎⃗ ⇒ (𝐺𝑚𝑀) = 𝑚 ( 𝑣 2 ) ⇒ { 𝑑𝑡
𝐺𝑀
𝑟2
𝑣2 =
⇒ 𝑟 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ∶ 𝑚𝑜𝑢𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
𝑟
𝑟
Le mouvement de l’objet est donc circulaire uniforme, de vitesse 𝑣 = √
Rq :
𝐺𝑀
𝑟
Cette relation permet de retrouver la troisième loi de Kepler :
𝑝é𝑟𝑖𝑚è𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑜𝑟𝑏𝑖𝑡𝑒
𝑣=
⏞
2𝜋𝑟
𝑇
⏟
𝐺𝑀
=√
𝑟
⇒
𝑇2
𝑟3
=
4𝜋2
𝐺𝑀
𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑟é𝑣𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛
C’est de cette façon qu’on a notamment pu déterminer la masse du Soleil.
𝜏⃗
Introduction à la mécanique newtonienne
Oscillateurs mécaniques
1. FORCE DE RAPPEL D’UN RESSORT
Lorsqu’un ressort est étiré ou comprimé, il exerce sur la masse accrochée à son extrémité une force de rappel
proportionnelle à son allongement x :
𝐹⃗ = −𝑘𝑥⃗
-1
La constante de proportionnalité k est appelée constante de raideur du ressort. Elle s’exprime en N.m .
Rq :
L’allongement d’un ressort est positif lorsqu’il est étiré, et négatif lorsqu’il est comprimé.
2. MOUVEMENT SINUSOÏDAL
Lorsqu’on lâche un ressort après l’avoir comprimé ou étiré, il se met à osciller autour de sa position d’équilibre
stable. Ce mouvement d’oscillations est périodique.
Le principe fondamental de la dynamique permet de modéliser l’évolution temporelle de ces oscillations.
Rq :
Dans l’étude qui suit, on néglige toute force autre que la force de rappel du ressort.
𝑃𝐹𝐷 ∶ 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ ⇒ −𝑘𝑥⃗ = 𝑚𝑎⃗
En projetant sur l’axe des oscillations, on obtient : −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎 = 𝑚
Rq :
𝑑2
𝑑𝑡 2
𝑥⇒
𝑑2
𝑑𝑡 2
𝑥+
𝑘
𝑚
𝑥=0
Une telle équation, mettant en jeu une inconnue et sa (ses) dérivée(s) est une équation différentielle.
Sa résolution sera vue en cours de mathématiques.

On peut montrer que la solution de cette équation peut s’écrire :
𝑥(𝑡) = 𝑋𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)
Xm est l’amplitude des oscillations
 est appelé pulsation (ou vitesse angulaire) des oscillations. 𝜔 =
Rq :
2𝜋
𝑇
𝑘
= √ , avec T la période des oscillations.
𝑚
La période des oscillations du ressort dépend de la constante de raideur du ressort et de la masse fixée à son
extrémité :
𝑚
𝑘
La vitesse de déplacement de la masse fixée à l’extrémité du ressort varie avec la même période que
sa position :
𝑑
𝑣(𝑡) = 𝑥(𝑡) = −𝜔𝑋𝑚 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
𝑇 = 2𝜋√

3. INTERPRETATION ENERGETIQUE
a. Energie potentielle élastique
Lorsqu’il est étiré ou comprimé, un ressort emmagasine de l’énergie potentielle élastique :
1
𝐸𝑝 𝑒𝑙 = 𝑘𝑥 2
2
b. Transfert d’énergie
1
1
1
1
2
2
𝐸𝑚 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 𝑒𝑙 = 𝑚𝑣 2 + 𝑘𝑥 2 = 𝑚(𝜔𝑋𝑚 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡)) + 𝑘(𝑋𝑚 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))
2
2
2
2
𝑘
1
1
2
2
2
2 (𝜔𝑡)
2 (𝜔𝑡))
𝜔 = ⇒ 𝐸𝑚 = 𝑘𝑋𝑚 (𝑠𝑖𝑛
+ 𝑐𝑜𝑠
= 𝑘𝑋𝑚
𝑚
2
2
Lorsqu’on néglige toute force autre que la force de rappel du ressort, l’énergie mécanique du ressort se
conserve au cours de ses oscillations.
Par contre, il y a transfert périodique d’énergie potentielle élastique en énergie cinétique et inversement.
Energie(s)
Introduction à la mécanique newtonienne
Epel
Ec
Em
temps
Rq :
𝑇
Si les oscillations se font avec une période T, les transferts d’énergie se font avec une période .
2
c. Mouvement pseudo-périodique
Dans le monde réel, les forces de frottement ne peuvent être entièrement éliminées. Il y a donc, tout au long
des oscillations, une perte constante d’énergie sous la forme d’un travail résistant des forces de frottement.
Cette énergie échauffe le milieu environnant. On parle de dissipation d’énergie par effet joule.
L’énergie mécanique n’est donc pas conservée, mais diminue constamment. Le mouvement n’est donc plus
périodique, mais pseudo-périodique : la période des oscillations reste la même, mais leur amplitude diminue
régulièrement.
Rq :
Lorsque les frottements sont trop importants, il n’y a plus d’oscillations. On parle alors de mouvement apériodique.
4. APPLICATION A LA MESURE D’UN TEMPS
Les ressorts sont à la base des montres que nous avons autour de notre poignet. Bien choisis, ils permettent,
grâce à leur oscillation régulière, la mesure du temps.
Rq :
Un autre dispositif oscillant permet également la mesure d’un temps. Il s’agit du pendule.
Dans ce cas, la période des oscillations dépend essentiellement de sa longueur l : 𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔