1.39

39. a) On pose que le projectile est encastré et se déplace avec le bloc avant que ce dernier ne se déplace de manière
significative. La quantité de mouvement du système projectile-bloc est donc conservée durant la collision. Soit
m la masse du projectile, M la masse du bloc, v0 la vitesse initiale du projectile et v la vitesse finale du bloc et
du projectile. La conservation de la quantité de mouvement donne mv0 (m M)v, donc
v=
mv0
(0,050 kg)(150 m/s)
=
= 1,85 m/s.
m+M
0,050 kg + 4,0 kg
Lorsque le bloc est à sa position initiale, la force gravitationnelle et celle du ressort sont en équilibre, et le
ressort est alors étiré de Mg/k. Après la collision, toutefois, le bloc oscille en décrivant un mouvement
harmonique simple autour du point où la force du ressort et la force gravitationnelle sont en équilibre par
rapport à l’ensemble bloc-projectile encastré. À ce point, le ressort est étiré d’une distance = (M + m)g/k,
ce qui diffère quelque peu de l’étirement initial. L’énergie mécanique est conservée durant l’oscillation. À la
position initiale, immédiatement après l’encastrement du projectile, l’énergie cinétique est 12 (M + m)v 2 et
l’énergie potentielle élastique est 12 k(M g/k)2 . On suppose que l’énergie potentielle gravitationnelle est nulle à
ce point. Lorsque le bloc et le projectile atteignent le point le plus élevé de leur mouvement, l’énergie
cinétique est nulle. Le bloc se trouve alors à une distance ym au-dessus du point d’équilibre entre la force
gravitationnelle et celle du ressort. Notez que ym est l’amplitude du mouvement. Le ressort est comprimé de ym ,
et l’énergie potentielle élastique est donc 12 k(ym − )2 . L’énergie potentielle gravitationnelle est
(M m)gym. Le principe de conservation de l’énergie mécanique permet d’obtenir
2
1
1
1
Mg
2
= k(ym − )2 + (M + m)gym .
(M + m)v + k
2
2
k
2
On insère = (M + m)g/k. Avec un peu d’algèbre pour isoler ym, on obtient
(m + M )v 2
mg 2
ym =
− 2 (2M + m)
k
k
(0,050 kg + 4,0 kg)(1,85 m/s)2
(0,050 kg)(9,8 m/s2 )2
=
[2(4,0 kg) + 0,050 kg]
−
500 N/m
(500 N/m)2
= 0,166 m.
b) L’énergie initiale du projectile est E0 = 12 mv02 = 12 (0,050 kg)(150 m/s)2 = 563 J. L’énergie cinétique du système bloc-projectile, immédiatement après la collision, est
E=
1
1
(m + M )v 2 = (0,050 kg + 4,0 kg)(1,85 m/s)2 = 6,94 J.
2
2
Puisque le bloc ne se déplace pas de manière significative durant la collision, les énergies potentielles
gravitationnelle et élastique ne changent pas. Donc, E est l’énergie du mouvement harmonique simple. Le
rapport est E/E0 = (6,94 J)/(563 J) = 0,012 3, ou 1,23 %.