Fonctions, applications, injections, surjections et bijections

Fonctions, applications, injections, surjections et bijections
Commentaires : Les notions d’injectivité, surjectivité sont vue ici en début d’année. Elles
seront utilisées au second semestre en algèbre linéaire
Exercice 1. Tracer le graphe d’une fonction :
a- ni injective ni surjective
b- injective et non surjective
c- surjective et non bijective
d- injective et surjective
Exercice 2. Soient A, B et C trois ensembles, f une application de A vers B et g une
application de B vers C. Montrer que :
a- Si f et g sont injectives, alors g Error! f est injective. La réciproque est-elle vraie ?
b- Si f et g sont surjectives, alors g Error! f est surjective. La réciproque est-elle vraie ?
c- Si f et g sont bijectives, alors g Error! f est bijective. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 3. Soient P et D deux parties de  définies par :
P={z   / Im(z)>0} et D={z   / |z|<1}
zi
Montrer que l’application f définie par : z
est une bijection de P sur D. Déterminer
zi
l’application réciproque f –1.
Exercice 4. Soit f une application de E vers F. Soit A et B deux sous-ensembles de E.
1- Montrer que f(A  B) = f(A)  f(B).
2- A-t-on le même résultat avec l’intersection ? Quelle relation peut-on écrire ?
3- A-t-on f A = f ( A ) ?
 
Exercice 5. Soit A et B deux ensembles finis.
1- Montrer que s’il existe une injection de A vers B alors Card(A)  Card (B).
2- Montrer que s’il existe une surjection de A vers B alors Card(A)  Card (B).
3- Que peut-on conclure s’il existe une bijection de A vers B ? En déduire une
condition nécessaire pour pouvoir construire une bijection entre deux ensembles finis. Est-elle
suffisante ? Combien peut-on construire de bijections différentes entre deux ensembles de
cardinal égal à n ?
  
Exercice 6. 1- Soit f définie sur  par f(x)=sin(x). Donner f(A) pour A=   , 0  , pour
 2 
  2 


A=  ,  , pour A=   k, k  Z  .
2 3 
3

 1 3
Donner f-1(B) pour B=  2,  , pour B=   ,
 , pour B=*.
 2 2 
2- Mêmes questions pour g définie sur  par g(x)=
1
et A=[3,4], A=]-2,0[
x²  2
]0,1[,
1
1 

A={-5,-3,3}, A=* puis B=  ,1 , B=  3,  puis pour h définie sur  par h(z)=Re(z-1)
4
3 

avec B={3}, B=  2,  .
Exercice 7. Soit f l'application de  dans lui-même définie par f(n) = 3n2 − n + 7. Justifier
que f est bien à valeurs dans . f est-elle injective ? Surjective ?
Mêmes questions pour l'application g de  dans lui-même définie par g(n) = n2 − 2n + 2.
Exercice 8. Donner un exemple de fonctions f et g telles que :
 g f soit injective mais g non injective.
 g f soit surjective mais f non surjective.
Exercice 9. Pour chacune des applications suivantes, dire si elle est injective, surjective,
bijective.
R
N  N
Z  Z
R  R
R 
f1 
; f2 
; f3 
; f4 
3
4
n+1
n+1
x
x  3x 2  5
n
n
x
x
R  [-1,1]]
[0,2]  [-1,1]
[0,]  [-1,1]
[0,[  [-1,1]
f5 
; f6 
; f7 
; f8 
;
cos(x)
cos(x)
cos(x)
cos(x)
x
 x
 x
 x
C  R +
f9 
z+1
 z