Ensembles, applications

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
2013/2014
Fondements 3 – Ensembles, applications
Exercice 1 – Soit A, B ⊂ E, et A ∗ B = ∁E A ∩ ∁E B. Exprimer ∁E A, A ∪ B et A ∩ B à l’aide de l’opération ∗.
Exercice 2 – Montrer que X ⊂ Y si et seulement s’il existe Z tel que Z ∩ X ⊂ Z ∩ Y et Z ∪ X ⊂ Z ∪ Y .
Exercice 3 – Montrer que :
a) X \ (Y ∪ Z) = (X \ Y ) ∩ (X \ Z);
c) X \ (Y \ Z) = (X \ Y ) ∪ (X ∩ Z);
b) X \ (Y ∩ Z) = (X \ Y ) ∪ (X \ Z);
d) (X \ Y ) \ Z = X \ (Y ∪ Z).
Exercice 4 – Soit k un entier au moins égal à 2, et soit A1 , . . . , Ak des parties d’un ensemble. Montrer :
A1 ∪ · · · ∪ Ak = (A1 − A2 ) ∪ (A2 − A3 ) ∪ · · · ∪ (Ak−1 − Ak ) ∪ (Ak − A1 ) ∪ (A1 ∩ · · · ∩ Ak ).
Exercice 5 –
1. Soit E un ensemble, et A1 , A2 , B1 et B2 des sous-ensembles de E. Montrer que :
(A1 ∪ A2 ) ∩ (A1 ∪ B2 ) ∩ (A2 ∪ B1 ) ∩ (B1 ∪ B2 ) = (A1 ∩ B1 ) ∪ (A2 ∩ B2 ).
2. Plus généralement, soit E un ensemble, n un entier naturel non nul, et A1 , . . . , An , et B1 , . . . , Bn des sous-ensembles
de E. Montrer que :


! 
n
[
[
\
[

Bj 
Ai ∪ 
(Ai ∩ Bi ) =
i=1
X∈P([[1,n]])
i∈X
j∈∁I (X)
Exercice 6 – Soit f ∈ F E .
1. Montrer que pour tout x ∈ E, x ∈ f −1 (f (x)). Donner un exemple pour lequel f −1 (f (x)) contient au moins deux
éléments.
2. Montrer que pour tout A ∈ P(E), A ⊂ f −1 (f (A)). Exemple d’inclusion stricte ?
3. Soit S = {X ∈ P(E) | f −1 (f (X)) = X}. Soit A ∈ P(E) et A′ = f −1 (f (A)). Montrer que A′ ∈ S. Montrer que A′
est le plus petit ensemble de S contenant A.
4. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) f est injective ;
(ii) ∀x ∈ E, {x} ∈ S ;
(iii) S = P(E) ;
(iv) le seul élément X de P(E) vérifiant f −1 (f (X)) = E est E lui-même.
Exercice 7 – Soit f : E → F , et f˜ l’application de P(E) dans P(F ) qui à un sous-ensemble A de E associe son image
f (A) par f . Soit fˆ l’application de P(F ) dans P(E) qui à un sous-ensemble A′ de P(F ) associe son image réciproque
f −1 (A′ ). Montrer que :
1. f est injective ssi f˜ est injective ssi fˆ est surjective.
2. f est surjective ssi f˜ est surjective ssi fˆ est injective.
1
Exercice 8 – Soit A, B, C, D des ensembles. Construire une bijection entre C A×B et (C A )B et une injection de C A × DB
dans (C × D)A×B .
Exercice 9 – Construire une surjection de N sur lui-même pour laquelle chaque entier possède exactement p antécédents
(p > 1 fixé). En construire une pour laquelle chaque entier possède une infinité d’antécédents.
Exercice 10 – Soit f une injection de N dans N telle que pour tout n > 0, f (n) 6 n. Montrer que f = idN . Même
question en supposant que f est une surjection vérifiant f (n) > n pour tout n ∈ N.
Exercice 11 – Soit f une bijection de N dans N. Montrer que pour tout M > 0, il existe N tel que pour tout n > N ,
f (n) > M . Cette propriété revient à dire que la limite de f (n) lorsque n tend vers l’infini est +∞. Cette propriété est-elle
vérifiée pour une injection ? une surjection ?
Exercice 12 – Soit E un ensemble, et f : E → E telle que f ◦ f ◦ f = f . Montrer que f est injective si et seulement si f
est surjective.
Exercice 13 – Soit E un ensemble, et p : E → E telle que p ◦ p = p. Montrer si p est surjective ou injective, alors p = idE .
Exercice 14 –
1. Soit E, F, G trois ensembles tels que E 6= ∅, et soit f : F → G. Montrer que f est injective si et seulement si
∀g, h ∈ F E , (f ◦ g = f ◦ h =⇒ g = h).
2. Soit F, G, H trois ensembles tels que |H| > 2, et soit f : F → G. Montrer que f est surjective si et seulement si
∀g, h ∈ H G , (g ◦ f = h ◦ f =⇒ g = h).
Exercice 15 – Soit E un ensemble, et A, B ∈ P(E). Soit f la fonction définie par :
f : P(E)
X
−→ P(A) × P(B)
7−→ (X ∩ A, X ∩ B).
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que f soit injective (resp. surjective, resp. bijective).
Exercice 16 – Soit E un ensemble non vide, et A, B ∈ P(E). Soit f la fonction définie par :
f : P(E)
X
−→ P(E) × P(E)
7−→ (X ∪ A, X ∪ B).
1. Montrer que f n’est pas surjective.
2. Montrer que f est injective si et seulement si A ∩ B = ∅.
Exercice 17 – Soit E un ensemble et f : E −→ E une bijection. La conjugaison par f est l’application :
Cf : E E −→ E E
ϕ 7−→ f ◦ ϕ ◦ f −1 .
1. Montrer que Cf est une bijection de E E dans lui-même.
2. Étant donné une deuxième bijection g de E dans E, simplifier Cf ◦ Cg .
3. Étant donné deux applications ϕ et ψ de E dans E, simplifier Cf (ϕ) ◦ Cf (ψ).
4. Soit I et S les sous-ensembles de E E constitués des injections et des surjections. Montrer que I et S sont invariants
par Cf .
5. Si ϕ est bijective, que dire de (Cf (ϕ))−1 ?
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Exercice 18 –
1. Soit A et B deux ensembles et f : A → B, g : B → A deux applications telles que g ◦ f est injective, et f ◦ g est
surjective. Montrer que f et g sont bijectives.
2. Soit A, B, C des ensembles, f : A → B, g : B → C, h : C → A, trois applications. On suppose que toutes les
applications h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ h et f ◦ h ◦ g sont chacune soit injective soit surjective. On suppose de plus qu’au moins
une de ces applications est injective, et au moins une est surjective. Montrer que f , g et h sont des bijections.
3. Généraliser à n ensembles A1 , . . . , An et n applications fi : Ai → Ai+1 , i ∈ [[1, n − 1]], et fn : An → A1 .
Exercice 19 –
On pose P = {z ∈ C | Im z > 0}, et D = {z ∈ C | |z| < 1}.
On note f l’application définie pour tout z 6= i par f (z) =
z−i
z+i .
1. Montrer que f réalise une bijection de P sur D.
2. Soit (a, b, c, d) ∈ R4 tels que ad − bc = 1. On considère l’application h définie dans C par h(z) =
az+b
cz+d .
(a) Montrer que pour tout z du domaine de définition D de h,
Im z
.
|cz + d|2
Im h(z) =
(b) En déduire que h est une bijection de P sur P .
Exercice 20 – Soit E, F , G, H quatre ensembles, et f , g, s, i quatres applications telles que ci-dessous :
s
E
f
G
!
(∃
?
h)
i
F
g
H
On suppose que g ◦ s = i ◦ f (on dit que le carré, ou le diagramme, est commutatif), et que s est surjective, et i est
injective.
Montrer qu’il existe une unique application h : F → G telle que f = h ◦ s et g = i ◦ h.
Exercice 21 – (Factorisation d’une application.)
1. Soit f : F −→ E et g : G −→ E deux applications. Montrer qu’il existe une application h : G −→ F telle que
g = f ◦ h si et seulement si g(G) ⊂ f (F ).
À quelle condition h est-elle unique ?
2. Soit f : E −→ F et g : E −→ G deux applications. Montrer qu’il existe une application h : F −→ G telle que
g = h ◦ f si et seulement si : ∀x, y ∈ E, (f (x) = f (y) =⇒ g(x) = g(y)).
À quelle condition h est-elle unique ?
Exercice 22 – Soit E un ensemble non vide, A et B deux parties de E, et f : P(E) −→ P(E) l’application définie par
f (X) = (A ∩ X) ∪ (B ∩ X), où X désigne le complémentaire de X dans E. Résoudre et discuter l’équation f (X) = ∅.
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