matrices - dm n 2 - LPO de Chirongui

MATRICES - DM N◦ 2
Exercice 1 :


1 1 0
On considère la matrice A =  0 1 1 .
0 0 1
1. Calculer A2 et A3 .
2. Montrer
entier n, on peut écrire
que pour tout 
1 an bn
An =  0 1 an . On précisera les relations de récurrence vérifiées par les suites (an )
0 0 1
et (bn ).
3. Exprimer an et bn en fonction de n.
4. En déduire l’expression de An en fonction de n.
Exercice 2 :
Mélanie, élève de terminale, est souvent en retard en cours. Au début de l’année, elle était à l’heure,
puis on suppose que :
• si elle est à l’heure un jour, elle sera à l’heure le lendemain avec une probabilité de 0,3.
• si elle est en retard un jour, elle sera en retard le lendemain avec une probabilité de 0,5.
pn
Pour tout entier n, on note Un =
, où pn et qn sont les probabilités que Mélanie soit
qn
respectivement
et en retard au bout de n jours.
à l’heure
1
.
Ainsi, U0 =
0
1. (a) Justifier que pour tout entier naturel n :
pn+1 = 0, 3pn + 0, 5qn
et qn+1 = 0, 7pn + 0, 5qn .
(b) Déterminer la matrice carrée A d’ordre 2 telle que pour tout entier naturel n,
Un+1 = A × Un .
(c) Montrer que pour tout entier n ≥ 0, Un = An × U0 .
2. Quelle est la probabilité que Mélanie soit à l’heure le 2e jour ? le 10e jour ? le 15e jour ?
(Utiliser la calculatrice pour calculer les puissances de A, voir le livre pour plus de détail)
3. (a) Démontrer que pour tout entier naturel n :
! 5
5
−1 n
12
12
n
×
A =
+
7
7
5
12
12
7
12
−5
12
−7
12
5
12
(b) En déduire Un en fonction de n.
4. A long terme, quelle est la probabilité que Mélanie soit à l’heure ?
1
!