ds eco 2 decembre
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Devoir surveillé MATHEMATIQUES ECO2 Durée : 4 heures Aucun instrument de calcul n’est autorisé Aucun document n’est autorisé Les étudiants sont invités à soigner la présentation de leur copie EXERCICE 1 : Algèbre Les deux parties sont indépendantes PARTIE A : algèbre dans Soit f l’endomorphisme de 3 3 dont la matrice, relativement à la base canonique B e1 , e2 , e3 0 4 2 de , est A 2 0 2 4 8 0 1) Déterminer une base et la dimension du noyau de f . 2) L’endomorphisme f est-il un automorphisme de 3 ? Justifier votre réponse 3) Déterminer une base de l’image de f 3 4) Montrer que C f f e1 , f e1 , e1 est une base de 5) 6) 7) 8) 3 Donner la matrice A ' de l’endomorphisme relativement à la base C Donner la matrice de passage P de la base B à la base C Rappeler le lien matriciel entre les matrices A, A ' , P, P 1 Donner l’instruction Scilab que vous devez taper sur la console pour obtenir l’affichage de la matrice A Partie B : algèbre dans ¡ 2 [X ] A tout élément P de ¡ 2 [X ]on fait correspondre le polynôme j (P)tel que : j (P) = (X 2 - 1) P "+ 2 X P ' 1) Montrer que l’on définit ainsi un endomorphisme j de ¡ 2 [X ] 2) Ecrire la matrice M de j dans la base canonique (1, X , X 2 ) de ¡ 3) Déterminer une base de l’image de j 4) Déterminer une base du noyau de j On note id l’identité dans ¡ 2 [X ]et on considère un réel l 2 [X ] a) Montrer que (j - l id )est bijectif sauf pour un nombre fini de valeurs de l que l’on précisera b) On appelle d la plus grande des valeurs trouvées en 4)a). Déterminer le noyau de (j - d id ) EXERCICE 2 : Analyse (LYON 2000) On considère la fonction f : ]- 1, + ¥ [® ¡ définie, pour tout x Î ]- 1, + ¥ [, par : si x = 0, 1 ïìï ï f (x) = í ln (1 + x) ïï si x Î ]- 1, 0[È ]0, + ¥ [, x ïîï 1) Montrer que f est continue sur ]- 1, + ¥ [ 2) Montrer que f est de classe C 1 sur ]- 1,0[et sur ]0,+ ¥ [ 3) Montrer que la fonction f est dérivable en 0 et préciser f '(0) 4) Pour tout réel x Î ]- 1,0[È ]0, + ¥ [, calculer f '(x) æ 1ö 5) Montrer que f '(x)tend vers çç- ÷ lorsque x tend vers 0 ÷ çè 2 ÷ ø 6) En déduire que la fonction f est de classe C 1 sur ]- 1, + ¥ [ x - ln (x + 1)£ 0 x+ 1 8) En déduire le tableau des variations de la fonction f (on précisera les limites de la fonction f en (- 1)et en + ¥ ) 2x ù 1 é 9) Montrer que, pour tout x Î ú- , + ¥ ê, l’intégrale ò f (t ) dt existe x ú êë û 2 7) Montrer que " x Î ]- 1, + ¥ [, ù 1 On considère la fonction F définie, pour tout x Î ú- , + ¥ ú û 2 é ê, par F (x) = êë ù 1 10) Montrer que la fonction F est dérivable sur ú- , + ¥ ú û 2 ù 1 é croissante sur ú- , + ¥ ê ú êë û 2 ò x 2x f (t ) dt é êet que la fonction F est êë 11) Montrer que " x Î ]0, + ¥ [, F (x)³ x f (2 x) 12) En déduire la limite en + ¥ de la fonction F 13) Montrer que l’intégrale ò - - 1 1 2 f (t ) dt est convergente æ 1ö 14) En déduire que la fonction F admet une limite finie en çç- ÷ .On ne cherchera pas à ÷ çè 2 ÷ ø calculer cette limite EXERCICE 3 : Probabilités (LYON 1997) On dispose d'un dé équilibré à 6 faces et d'une pièce truquée telle que la probabilité d’apparition de «pile» soit égale à p Î ]0,1[. On pourra noter q = 1- p Soit N un entier naturel non nul fixé. On effectue N lancers du dé ; si n est le nombre de "6" obtenus, on lance alors n fois la pièce. On définit trois variables aléatoires X , Y , Z de la manière suivante : Z indique le nombre de "6" obtenus aux lancers du dé X indique le nombre de "piles" obtenus aux lancers de la pièce Y indique le nombre de "faces" obtenues aux lancers de la pièce Ainsi X + Y = Z et si Z prend la valeur 0, alors X et Y prennent la valeur 0. 1) Préciser la loi de Z , son espérance et sa variance. 2) Recopier et compléter le script suivant pour qu’il simule la loi de Z , calcule et affiche la valeur prise par la variable aléatoire X : 3) Pour k Î ¥ , n Î ¥ , déterminer la probabilité conditionnelle P(Z = n) (X = k ) On distinguera les cas k £ n et k > n 4) Montrer, pour tout couple d'entiers naturels (k , n): N- n n ænöæ ö æ1 ö ÷ççN ö ÷ p k (1- p)n- k æ ÷ çç5 ÷ ç Si 0 £ k £ n £ N alors P (X = k Ç Z = n)= çç ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç n ø ÷ ÷ èçç6 ø ÷ çè6 ø çèk øè ÷ ÷ Si n > N ou k > n alors P (X = k Ç Z = n)= 0 5) Calculer la probabilité P (X = 0) 6) Montrer pour tout couple d'entiers naturels (k , n) tel que 0 £ k £ n £ N : ænöæ ö çç ÷ ççN ÷ ÷ ÷ç n ø÷= ÷ çèk øè ÷ ÷ æN öæ ÷ççN - k ö÷ ÷.En déduire la probabilité P (X = k ) çç ÷ ÷ç n - k ø÷ ÷ ÷ èç k øè 7) Montrer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres N et p 6 Quelle est la loi de la variable aléatoire Y ? 8) Est-ce que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes ? Déterminer la loi du couple (X , Y ) 9) En comparant les variances de Z et de X + Y , déterminer la covariance du couple (X , Y )
