Exercices Groupes, Anneaux et Corps

Lycée Jean Bart MPSI Année 2016-2017 3 janvier 2017
Exercices Groupes, Anneaux et Corps
Groupes
Exercice . Exercice . Exercice . 1
Montrer que
2
Montrer que
3
On note
loi ◦ (composition) ?
égal à
K
n (n
(
R∗+ , ×
)
est un groupe. Peut-on remplacer
(F (R, R) , +)
K=R
ou
R∗+
par
R∗− ?
est un groupe. A-t-on toujours un groupe si on remplace la loi + par la
C, et Kn [X] l'ensemble des polynômes à coecients dans K de degré inférieur ou
(Kn [X] , +) est un groupe abélien. L'ensemble des polynômes à coecients dans
entier naturel). Montrer que
de degré exactement
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
Exercice
.
.
.
.
.
.
4
un sous-groupe de
5
6
7
n
est-il un groupe ?
On note
D
l'ensemble des nombres décimaux :
D=
(R, +).
Montrer que
8
(U, ×)
est un sous-groupe de
Montrer que
(D, +)
est
(C∗ , ×).
Soit
n
un entier naturel non-nul. Montrer que
Soit
E
un ensemble. L'ensemble
P (E)
{ n
}
|n
∈
Z,
k
∈
N
.
10k
(Un , ×)
est un sous-groupe de
est-il un groupe muni de la lci
∪?
(U, ×).
De la lci
∩?
Décrire tous les groupes possibles possédant 1, 2, 3 ou 4 éléments. Déduire de ces descriptions que
tout groupe ni de cardinal inférieur ou égal à 4 est abélien.
C.
9
(Groupe des similitudes).
On rappelle que l'on note :
CC
l'ensemble des applications de
1) Vérier que la composition usuelle (notée ◦) est une loi de composition interne sur
2)
(
CC , ◦
)
C
dans
CC .
est-il un groupe ?
3) Pour tout
a ∈ C∗ ,
a) Calculer :
et pour tout
b∈ C
on dénit l'application
par :
fa,b (z) = az + b.
fa′ ,b′ ◦ fa,b .
b) Montrer que
({fa,b ; a ∈ C∗ , b ∈ C} , ◦)
Exercice . 10
Soient
f1 , f2 , f3
et
f4
G = {f1 , f2 , f3 , f4 }
est un groupe. Ce groupe est-il abélien ?
les fonctions de
R∗
1
f2 (x) =
x
f1 (x) = x
1) Montrer que
fa,b : C −→ C
dans
R∗
dénies par :
f3 (x) = −x
muni de la composition
◦
f4 (x) = −
1
x
est un groupe abélien.
2) Déterminer l'ensemble de ses sous-groupes.
Exercice . 11
1) Montrer que
2) Le groupe
On pose
(G, ⋆)
(G, ⋆)
Exercice . 12
G = R∗ × R
et
⋆
la lci sur
G
dénie par :
(x, y) ⋆ (x′ , y ′ ) = (xx′ , xy ′ + y).
est un groupe.
est-il abélien ?
La gure ci-dessous représente le carré
ABCD,
inscrit dans le cercle unité, les points
A, B , C
et
D
étant les images des racines quatrièmes de l'unité.
On dit qu'une transformation du plan
du carré
ABCD
laisse le carré ABCD invariant
par cette transformation est le carré
1) Enumérez les huit isométries laissant le carré
ABCD
ABCD
si l'image
lui-même.
invariant. On note
D4
l'en-
semble de ces isométries.
2) Montrez que
(D4 , ◦)
le groupe D4 est un groupe dié-
est un groupe, non-abélien (
dral ).
Exercice . 13
Soit
G
de
G.
Que devient
Z (G)
centre de G et on note Z (G) l'ensemble des éléments de G qui
G, soit : Z (G) = {a ∈ G | ∀ g ∈ G, ag = ga }. Montrer que Z (G) est un sous-groupe
un groupe. On appelle
commutent avec tous les éléments de
lorsque
G
est abélien ?
MPSI Année 2016-2017 Groupes, anneaux et corps 3/01/17
2
Exercice . 14
Montrer que
H⊂K
H et K
K ⊂ H.
Soient
ou
deux sous-groupes d'un groupe
(G, ⋆)
tels que
H ∪K
en soit aussi un sous-groupe.
Anneaux, corps
Exercice . Exercice . Exercice . Exercice
.
appelé anneau des entiers de Gauss
Exercice . Exercice . 15
(K [X] , +, ×)
On note
16
sous-anneau de
On note
C,
ou
et
K [X]
l'ensemble des polynômes à coecients dans
D
l'ensemble des nombres décimaux :
D=
(R, +, ×).
17
Montrer que
18
On pose
(F (R, R) , +, ×)
K [X]
par
Kn [X] ?
}
{ n
|n
∈
Z,
k
∈
N
.
10k
K.
Montrer que
Montrer que
D
est un
est un anneau commutatif. Est-il intègre ?
Z[i] = {a + ib | (a, b) ∈ Z2 }.
Montrer que
(Z [i] , +, ×)
il est
est un anneau commutatif (
). Est-ce un corps ?
Q[i] = {a + ib | (a, b) ∈ Q2 }. Montrer que (Q [i] , +, ×) est un corps.
√
(√ )
20
On note Q
2 l'ensemble des nombres réels pouvant s'écrire a + b 2 (avec a ∈ Q
(√ )
que Q
2 est un sous-corps de (R, +, ×).
19
Montrer
K = R
est un anneau commutatif. Est-ce encore vrai si l'on remplace
On pose
et
b ∈ Q).
Groupes, anneaux, corps (pour aller un peu plus loin)
Exercice . Exercice . 21
un sous-groupe de
appelle
Soit
f
Soient
n
et
p
deux entiers naturels non nuls. A quelle condition sur
n
et
p
le groupe
(Up , ×).
22
(Morphismes de groupes, noyaux, images, HP).
morphisme de groupes une application f : G −→ H telle que
∀ (g, g ′ ) ∈ G2 ,
Soient
(G, ∗G )
et
(H, ∗H )
(Un , ×)
est-il
deux groupes. On
f (g ∗G g ′ ) = f (g) ∗H f (g ′ )
un morphisme de groupes.
1) Montrer que
f (eG ) = eH
2) On dénit le
noyau de f ,
et on note
ker f
la partie de
G
constituée des antécédents de eH par
f. ∗
Explicitement :
ker f = {g ∈ G / f (g) = eH }
a) Montrer que
ker f
b) Montrer que
f
est un sous-groupe de
est injective SSI
3) On dénit l'image
de f ,
ker f = {eG }
et on note im
im
a) Montrer que im
b) Justier que
Exercice . f
23
f
G.
f
l'image directe de
G
par
f.
En d'autres termes :
f = f (G) = {h ∈ H / ∃ g ∈ G, f (g) = h}
est un sous-groupe de
est surjective SSI im
H.
f = H.
(Anneau des entiers de Gauss). On pose Z[i] = {a+ib | (a, b) ∈ Z2 } et Q[i] = {a+ib | (a, b) ∈ Q2 }.
Il a déjà été établi au cours des exercices précédents que le premier est un anneau commutatif, et le second un corps.
On dénit l'application
N : Z[i] −→ N
1) Montrer que pour tout
par :
∀z ∈ Z[i], N (z) = z z̄ .
(z, z ′ ) ∈ Z[i]2 , N (zz ′ ) = N (z)N (z ′ ).
2) En déduire l'équivalence suivante :
z
est inversible dans
3) Reconnaître alors l'ensemble des éléments inversibles de
Exercice . 24
∗
Soit
F
un sous-corps de
(Q, +, ×).
Z[i] ⇐⇒ N (z) = 1
Z[i]
et vérier qu'il s'agit bien d'un groupe.
Montrer que
F = Q.
. La notation ker vient de kernel (noyau en anglais) et/ou de kern (noyau en allemand).