Lycée Thiers GROUPES - EXERCICES DE BASE (CORRECTION) Ex ¬ Tables de groupes finis (1) Table de la multiplication modulo 5 dans {1, 2, 3, 4} : y 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Comparons avec la table de l’addition modulo 4 dans {0, 1, 2, 3} , en disposant les éléments dans l’ordre 0, 1, 3, 2 : y 0 1 3 2 0 0 1 3 2 1 1 2 0 3 3 3 0 2 1 2 2 3 1 0 On constate que, au nom près des éléments, les règle de calul sont les mêmes. Autrement dit, ces tables sont « structurellement identiques », puisqu’elles correspondent l’une comme l’autre au modèle : y e a b c e e a b c a a c e b b b e c a c c b a e Il s’agit d’une loi de groupe abélien : on peut vérifier à la main (c’est fastidieux !) l’associativité, la commutativité, l’existence d’un élément neutre et l’existence, pour chaque élément, d’un symétrique. Lorsque les définitions appropriées auront été données, on dira que les groupes ({0, 1, 2, 3} , addition mod. 4) et {1, 2, 3, 4} , multiplication mod. 5 sont isomorphes. (2) Table de la multiplication mod. 4 dans {0, 1, 2, 3} : y 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Cette fois, il ne s’agit plus d’une loi de groupe. En effet, il y a bien un élément neutre (c’est 1) mais 0 et 2 n’ont pas de symétrique. (3) Dressons la table pour cette opération : GROUPES - EXERCICES DE BASE (CORRECTION) y e a b c e e a b c a a e c b b b c e a 2 c c b a e On sait que la loi ◦ est associative et que e = idR2 est neutre. Manifestement chaque élément possède un symétrique : lui-même. Il s’agit donc bien d’un groupe, qui est visiblement associatif. Remarque. Ce groupe K n’est pas isomorphe à celui rencontré à la question 1°. En effet, K ne possède aucun générateur (ce n’est pas un groupe cyclique), contrairement au groupe de la question 1° qui en possède deux. (4) La table d’une opération commutative présente une symétrie par rapport à sa diagonale. (5) Si (G, .) est un groupe et si a ∈ G, l’application G → G, x 7→ ax est un bijection. En effet, pour chaque y ∈ G, l’équation ax = y (d’inconnue x ∈ G) possède une solution unique, à savoir x = a−1 y. Par conséquent, chaque ligne de la table d’un groupe (fini) comporte les éléments de G, sans répétition ni omission. Idem pour les colonnes (en considérant la bijection G → G, x 7→ xa). (6) Si deux colonnes étaient identiques, alors chaque ligne comporteraient une répétition : c’est impossible d’après le point précédent. (7) L’opération proposée n’est pas associative, puisque x?y ?z=t?z=x tandis que x? y?z =x?t=z On n’a donc pas affaire à un groupe. Remarque. On verra plus tard qu’un groupe de cardinal premier est nécessairement cyclique donc abélien. Or cette opération n’est pas commutative. C’est une autre manière de voir les choses. Ex ­ Petit calculs dans S4 (1) On voit successivement que : 1 2 3 4 s = 2 3 4 1 et donc s =s 3 −1 1 2 3 4 s = 3 4 1 2 2 1 2 3 4 = 4 1 2 3 s4 = e (2) M est un sous-ensemble de S4 , stable par produit (à cause de s4 = e) et par passage à l’inverse (e et s2 sont leur propre inverse, s et s3 sont inverses l’un de l’autre). Ainsi, M est un sous-groupe de S4 . Remarque. On peut montrer que toute partie d’un groupe qui est non vide, finie et stable est un sous-groupe. Ceci simplifie le processus de vérification qu’une partie donnée d’un GROUPES - EXERCICES DE BASE (CORRECTION) 3 groupe est un sous-groupe : il n’est pas nécessaire de tester la stabilité par passage à l’inverse. (3) En posant 1 2 3 4 a = 2 1 4 3 on a : 1 2 3 4 b = 3 4 1 2 1 2 3 4 c = ab = 4 3 2 1 = ba Remarque. Les bijections a, b et c sont appelées des « double-transpositions ». Cette terminologie est naturelle : a échange 1 et 2 et échange également 3 et 4. Analogue pour b et c. (4) K est un sous-ensemble de S4 , stable par produit (car a2 = b2 = c2 = e, ab = ba = c, ac = ca = b, bc = cb = a) et par passage à l’inverse (e est son propre inverse et chacun des trois autres est son propre inverse). Les groupes K et M sont structurellement différents : aucun générateur dans K, contre deux dans M (à savoir s et s3 ). On retrouve la situation décrite à la question 3° de l’exercice 1. Ex ® Un groupe non abélien de cardinal 6 (1) f et g sont des involutions, donc des bijections. (2) Un sous-groupe de S (E) contenant f et g doit nécessairement contenir e = idE , f et g mais aussi (en raison de la stabilité par produit) : 1 1−x x−1 g ◦ f : E → E, x 7→ x x f ◦ g ◦ f : E → E, x 7→ x−1 Il n’est pas nécessaire de prolonger davantage la liste, l’ensemble A = e, g, f, f g, g f, f g f est un groupe dont voici la table : f ◦ g : E → E, x 7→ y e f g fg gf fgf e e f g fg gf fgf f f e gf fgf g fg g g fg e f fgf gf fg fg g fgf gf e f gf gf fgf f e fg g fgf fgf gf fg g f e Remarque. On n’a pas noté la loi ◦ explicitement, pour alléger l’écriture. Ex ¯ L’hypothèse ∀x ∈ G, x2 = 1 signifie que chaque élément est son propre inverse. Donc, pour tout x, y ∈ G2 : xy = x−1 y−1 = yx −1 = yx. Ainsi G est abélien. GROUPES - EXERCICES DE BASE (CORRECTION) 4 Ex ° (1) La condition Z (G) = G signifie que le groupe (G, .) est abélien. On peut considérer que le centre d’un groupe donne une “mesure” de son défaut de commutativité : “plus le centre est petit, moins le groupe est commutatif”. Un groupe dont le centre est réduit à l’élément neutre est fortement non commutatif ! (2) Il est clair que 1 ∈ Z (G) . Si (a, b) ∈ Z (G)2 , alors pour tout g ∈ G : (ab) g = a bg = a gb = ag b = ga b = g (ab) et donc ab ∈ Z (G) . Enfin, si a ∈ Z (G) , alors pour tout g ∈ G : −1 −1 a−1 g = g−1 a = ag−1 = ga−1 ce qui montre que a−1 ∈ Z (G) . Ainsi Z (G) est un sous-groupe de (G, .) . (3) Notons A l’ensemble des applications affines non constantes de R dans R. Il est clair que A ⊂ S (R) . Vérifions que A est un sous-groupe de S (R) . L’application idR est de la forme t 7→ at+b avec (a, b) = (1, 0) ; elle appartient donc à A. Si f : R → R, t 7→ at+b et g : R → R, t 7→ ct + d avec (a, b, c, d) ∈ R4 , a , 0 et c , 0, alors : ∀t ∈ R, f ◦ g (t) = a (ct + d) + b = act + (ad + b) et comme ac , 0, on constate que f ◦ g ∈ A. Enfin, si (a, b) ∈ R? × R, alors la bijection t b réciproque de f : R → R, t 7→ at + b est f −1 : R → R, t 7→ − . Visiblement f −1 ∈ A. a a Finalement, A est un sous-groupe de (S (R) , ◦) et donc un groupe pour la loi ◦. Ce groupe n’est pas abélien, comme on le voit avec le contre-exemple suivant : u : t 7→ t + 1 et v : t 7→ 2t u ◦ v : t 7→ 2t + 1 et v ◦ u : t 7→ 2t + 2 Déterminons maintenant le centre de A. Soit f : t 7→ at + b un élément de Z (A) . Alors, pour tout g ∈ A, f ◦ g = g ◦ f. Autrement dit, pour tout (c, d) ∈ R? × R : ∀t ∈ R, a (ct + d) + b = c (at + b) + d c’est-à-dire ad + b = bc + d, ou encore bc + (1 − a) d − b = 0. Ceci impose a = 1 et b = 0, donc f = idR . En conclusion : Z (A) = {idR } Ex ± Supposons que H 1 K, ce qui se traduit par : ∃h ∈ H tel que h < K. Montrons qu’alors K ⊂ H. Pour tout k ∈ K, comme h ∈ H ∪ K et k ∈ H ∪ K, alors hk ∈ H ∪ K (puisque par hypothèse H ∪ K est stable par produit). Donc hk ∈ H ou hk ∈ K. Si hk ∈ K, alors h = (hk) k−1 ∈ K (stabilité de K par produit) : absurde ! Donc hk ∈ H et donc k = h−1 (hk) ∈ H. Ainsi K ⊂ H. Ce résultat est à retenir : l’union de deux sous-groupes n’est pas un sous-groupe, sauf si l’un d’eux contient l’autre.