Trigonométrie (Méthodes et objectifs)

Trigonométrie (Méthodes et objectifs)
G. Petitjean
Lycée de Toucy
28 janvier 2009
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1
Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique
2
Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs
3
Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs
4
Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle
5
Résoudre des équations et des inéquations
6
Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires
7
Utiliser les formules de trigonométrie
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1
Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique
2
Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs
3
Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs
4
Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle
5
Résoudre des équations et des inéquations
6
Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires
7
Utiliser les formules de trigonométrie
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énoncé
Placer les points M,N,P,Q et R repérés respectivement sur le cercle
5π 11π 7π
17π
π
;
et
trigonométrique par ; − ;
3
6
4
2
3
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corrigé
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énoncé
Sur le cercle trigonométrique
, colorier l’arc décrit par le point M lorqu’une
#» # »
mesure x de i ; OM décrit l’intervalle indiqué.
π 5π
1
− ;
4 4
4π 13π
2
;
3
6
7π 5π
3
− ;
6 6
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corrigé
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énoncé
Sur le cercle trigonométrique , placer les points M repérés par x tels que :
π
1 3x =
+ 2kπ , k ∈ Z
2
π
2 4x =
+ 2kπ , k ∈ Z
2
2π
3 2x =
+ 2kπ , k ∈ Z
3
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corrigé 1/2
1
2
3
π
π 2kπ
3x = + 2kπ ⇐⇒ x = +
2
6
3
k et k + 3 donnent le même point sur le cercle, il suffit donc de
prendre k ∈ {−1; 0; 1} pour obtenir les points M solutions. Les 3
points solutions sont les sommets d’un triangle équilatéral.
π
π kπ
4x = + 2kπ ⇐⇒ x = +
2
8
2
k et k + 4 donnent le même point, il suffit donc de prendre
k ∈ {−2; −1; 0; 1} pour obtenir les points M solutions. Les 4 points
solutions sont les sommets d’un carré.
2π
π
2x =
+ 2kπ ⇐⇒ x = + kπ
3
3
k et k + 2 donnent le même point sur le cercle, il suffit donc de
prendre k = −1 ou k = 0. Les 2 points solutions sont diamétralement
opposés.
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corrigé 2/2
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1
Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique
2
Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs
3
Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs
4
Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle
5
Résoudre des équations et des inéquations
6
Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires
7
Utiliser les formules de trigonométrie
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énoncé
Dans chaque cas, trouver la mesure principale de l’angle orienté de mesure
α donné
7π
1 α =
2
4π
2 α = −
3
35π
3 α =
6
21π
4 α = −
4
202π
5 α =
3
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corrigé
1
2
3
4
5
8π π
π
7π
=
− = − + 4π
2
2
2
2
4π
4π 2π
2π
α=−
=−
+
=
− 2π
3
3
3
3
35π
36π π
π
α=
=
− = − + 6π
6
6
6
6
21π
24π 3π
3π
α=−
=−
+
=
− 6π
4
4
4
4
202π
204π 2π
2π
α=
=
−
=−
+ 68π
3
3
3
3
α=
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énoncé
1
ABCDE est un pentagone régulier direct inscrit dans le cercle
trigonométrique
O. Indiquer la mesure principale de
# » # » # »de #centre
» # » # » # » # »
OA; OB , OA; OC , OA; OD , OA; OE .
2
ABCDEF est un hexagone régulier direct inscrit dans le cercle
trigonométrique
O. Indiquer la mesure principale de
# » # » # »de #centre
» # » # » # » # » # » # »
OA; OB , AB; AO , AB; AF , AE ; AF , AB; DE ,
# » # » # » # » # » # »
OA; OE , AB; DC , AB; CD
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corrigé 1/4
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corrigé 2/4
# » # » 2π
OA, OB =
[2π]
5
# » # » 4π
OA, OC =
[2π]
5
# » # »
4π
OA, OD = − [2π]
5
# » # »
2π
OA, OE = − [2π]
5
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corrigé 3/4
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corrigé 4/4
# » # » π
OA, OB = [2π]
3
# » # » π
AB, AO = [2π]
3
# » # » 2π
AB, AF =
[2π]
3
# » # » π
AE , AF = [2π]
6
# » # »
AB, DE = π[2π]
# » # »
2π
OA, OE = − [2π]
3
# » # » 2π
[2π]
AB, CD =
3
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1
Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique
2
Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs
3
Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs
4
Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle
5
Résoudre des équations et des inéquations
6
Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires
7
Utiliser les formules de trigonométrie
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énoncé
π
La mesure principale de ( #»
u ; #»
v ) est − . Donner la mesure principale des
6
angles orientés suivants :
#» #»
1 (− u ; v )
2
3
4
5
6
(− #»
u ; − #»
v)
#»
#»
(v ; u )
(− #»
v ; #»
u)
#»
(− v ; − #»
u)
(3 #»
u ; −2 #»
v)
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corrigé
1
2
3
4
5
6
5π
(− #»
u ; #»
v)=
[2π]
6
π
(− #»
u ; − #»
v ) = − [2π]
6
π
#»
#»
( v ; u ) = [2π]
6
5π
#»
#»
(− v ; u ) = − [2π]
6
π
#»
#»
(− v ; − u ) = [2π]
6
5π
(3 #»
u ; −2 #»
v)=
[2π]
6
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énoncé
# » # » π
ABC est un triangle rectangle en A tel que CA; CB =
5
# » # »
Calculer la mesure principale de BA; CB
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corrigé
# » # » # » # »
# » # »
BA; CA + CA; CB [2π]
BA; CB
=
# » # » # » # »
=
AB; AC + CA; CB [2π]
=
=
π π
+ [2π]
2
5
7π
[2π]
10
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23 / 45
1
Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique
2
Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs
3
Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs
4
Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle
5
Résoudre des équations et des inéquations
6
Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires
7
Utiliser les formules de trigonométrie
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énoncé
Déterminer les valeurs exactes du cosinus et du sinus des réels donnés
13π
1
6
83π
2
4
56π
3 −
3
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25 / 45
corrigé
1
2
3
√
13π
π
13π
3
13π
1
= 2π + donc cos
=
et sin
=
6
6
6
2 √
6
2 √
83π
2
2
3π
83π
83π
= 20π +
donc cos
=−
et sin
=
4
4
4
2
4 √ 2
56π
3
2π
56π
1
56π
= 18π +
donc cos
= − et sin
=
3
3
3
2
3
2
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26 / 45
énoncé
1
2
3
1
2
1
Déterminer tous les réels x de ] − π; π] tel que sin x <
2
1
Déterminer tous les réels x de [0; 2π[ tel que sin x <
2
Déterminer tous les réels x de ] − π; π] tel que sin x =
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27 / 45
corrigé
1
2
3
π 5π
;
6 6
i
πh
5π
S = −π;
∪
;π
6
6
h π h 5π
S = 0;
∪
; 2π
6
6
S=
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énoncé
h π i
3
Soit x ∈ − ; 0 tel que cos x = .
2
5
π
π
− x , cos(π − x ) , sin(π + x ) , cos
+x
Calculer sin x , sin
2
2
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29 / 45
corrigé
9
16
sin2 x = 1 − cos2 x = 1 −
=
25
25
h π i
4
x ∈ − ; 0 donc sin x < 0, donc sin x = −
2
5
π
3
sin
− x = cos x =
2
5
3
cos(π − x ) = − cos x = −
5
4
sin(π + x ) = − sin x =
5
π
4
+ x = − sin x =
cos
2
5
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30 / 45
1
Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique
2
Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs
3
Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs
4
Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle
5
Résoudre des équations et des inéquations
6
Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires
7
Utiliser les formules de trigonométrie
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31 / 45
énoncé
1
Résoudre sur [0; 2π[ , 2 sin x + 1 = 0
2
Résoudre sur [0; 2π[ , 2 sin x + 1 < 0
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32 / 45
corrigé
1
2
1
7π 11π
2 sin x + 1 = 0 ⇐⇒ sin x = − , donc S =
;
2
6
6
1
7π 11π
2 sin x + 1 < 0 ⇐⇒ sin x < − , donc S =
;
2
6
6
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33 / 45
énoncé
1
Résoudre sur ] − π; π] , 2 sin x −
2
Résoudre sur ] − π; π] , 2 sin x −
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√
√
3=0
360
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34 / 45
corrigé
√
1
2
√
3
π 2π
2 sin x − 3 = 0 ⇐⇒ sin x =
, donc S =
;
2
3 3
√
i
√
3
π i S 2π
2 sin x − 3 6 0 ⇐⇒ sin x <
, donc S = −π;
;π
2
3
3
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35 / 45
énoncé
1
Résoudre sur ] − π; π] , 2 cos2 x + cos x − 1 = 0
2
Résoudre sur ] − π; π] , 2 cos2 x + cos x − 1 < 0
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36 / 45
corrigé
1
2
On pose X = cos x et on résout l’équation 2X 2 + X − 1 = 0(E )
∆ = 12 − 4 × (−1) × 2 = 9 > 0, donc l’équation (E) équivaut à
−1 + 3
1
−1 − 3
X=
= ou X =
= −1
4
2
4
1
donc 2 cos2 x + cos x − 1 = 0 ⇐⇒ cos x = ou cos x = −1,
2
n π π o
donc S = − ; ; π
3 3
1
2X 2 + X − 1 = 2 X −
(X + 1) donc
2
1
2
2 cos x + cos x − 1 = 2 cos x −
(cos x + 1)
2
π
π
x
−π
−
π
3
3
1
cos x −
−
0
+ 0 −
2
cos x + 1
0 +
+
+ 0
2 cos2 x + cos −1 0 −
0
+ 0 − 0
i
πh S iπ h
donc S = −π; −
;π
3
3
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1
Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique
2
Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs
3
Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs
4
Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle
5
Résoudre des équations et des inéquations
6
Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires
7
Utiliser les formules de trigonométrie
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38 / 45
énoncé
(O, #»
ı , #»
 ) est un repère orthonomé direct.
1
2
Donner les coordonnées cartésiennes des points de coodonnées
√ π
5π
π
polaires A[2; ] , B[ 2; ] , C [1; − ]
6
4
2
Donner les cordonnées polaires
des
points
de coordonnées
√ !
√ √ 1
3
cartésiennes N − ; −
, P − 2; 2
2
2
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corrigé
1
2
√ 5π
5π
A(2 cos ; 2 sin ) = − 3; 1
6 √ 6
√
π
π
B( 2 cos ; 2 sin ) = (1; 1)
4π 4 π C cos −
; sin −
= (0; −1)
2
2

v
1
u 2
√ !2

 cos θ = −
u
3
1
t
2√
ON =
−
+ −
= 1 et

2
2
 sin θ = − 3
2
2π
2π
donc θ = − [2π] et N 1; −
3
3
√

2
r


cos θ = −
√ 2 √ 2
√2
OP =
− 2 +
2 = 2 et

2
 sin θ =
2
3π
3π
donc θ =
[2π] et N 2;
4
4
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1
Repérer un point ou un ensemble de points sur le cercle trigonométrique
2
Déterminer la mesure des angles orientés de vecteurs
3
Utiliser les propriétés sur les angles orientés de vecteurs
4
Déterminer le sinus et le cosinus d’un angle
5
Résoudre des équations et des inéquations
6
Repérer un point du plan par ses coordonnées polaires
7
Utiliser les formules de trigonométrie
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énoncé
1
2
11π
11π
et sin
12
12
π
π
Calculer les valeurs exactes de cos et sin
8
8
Calculer les valeurs exactes de cos
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corrigé
1
2
2π π
11π
=
+
12
3
4
11π
2π π
2π
π
2π
π
cos
= cos
+
= cos
cos − sin
sin
12
3√
4√
3
4
√ 3 √4 √
1 2
3 2
2
6
−
=−
−
= −
2 2
2 2
4
4
11π
2π π
2π
π
π
2π
= sin
+
= sin
cos + sin cos
sin
12
3
4
3
4
4
3
√
√
√
√ √
3 2
21
6
2
=
−
=
−
2 2
2 2
4
4
π
2 π
2 π
cos = 2 cos
− 1 = 1 − 2 sin
4
8
8
π
p
√
√
cos
+
1
π
2
+
2
π
2+ 2
4
2
donc cos
=
=
et cos =
8
2
4
8
2
π
p
√
√
1 − cos
2− 2
π
2− 2
2 π
4
=
=
et sin =
et sin
8
2
4
8
2
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43 / 45
énoncé
π
Résoudre sur ] − π; π] , sin 2x + cos 2x = 1 (développer sin 2x +
)
4
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corrigé
√
π
2
π
π
sin 2x +
= sin 2x cos + sin cos 2x =
(sin 2x + cos 2x )
4
4
4
2 √
2
π
L’équation est donc équivalente à sin 2x +
=
4
2
π
π
3π
π
+ k2π , k ∈ Z
à 2x + = + k2π ou 2x + =
4
4
4
π4
à x = kπ
ou x = + kπ , k ∈ Z
4
π 3π
Sur ] − π; π] , S = 0; π; ; −
4
4
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