1 Variable aléatoire

Probabilités : Rappels de première
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Variable aléatoire
Définition 1 : Variable aléatoire
Soit Ω l’univers d’une expérience aléatoire.
On appelle variable aléatoire toute fonction X de Ω dans R qui, à tout élément de Ω ,
fait correspondre un nombre réel x.
Exemple 1 : Par exemple le gain obtenu à l’occasion d’un jeu de hasard ou encore le
temps d’attente d’un bus.
Définition 2 : Loi de probabilité d’une variable aléatoire
Soit Ω = {ω1 ; ω2 ; . . . ; ωn } un univers associé à une expérience aléatoire sur lequel a
été définie une loi de probabilité et Ω′ = {x1 ; x2 ; . . . ; xn } l’ensemble des valeurs prises
par une variable aléatoire X.
La loi de probabilité de X est la fonction définie sur Ω′ , qui à chaque xi fait correspondre
le nombre pi = p(X = xi ). On la représente en général dans un tableau :
xi
p(X = xi )
x1
p1 = p(X = x1 )
x2
p2 = p(X = x2 )
...
...
xn
pn = p(X = xn )
Exemple 2 : On tire une carte d’un jeu de 32 cartes. Si l’on tire un coeur, on gagne 8 e,
sinon, on perd 4 e. Ω est l’ensemble des 32 cartes et on peut définir la variable aléatoire
x
−4
8
X sur Ω qui, à chaque carte associe le gain. La loi de X est i
3
1
p(X = xi ) 4
4
Définition 3 Espérance, variance, écart-type
L’espérance mathématique, la variance et l’écart-type de la variable aléatoire X sont
respectivement les nombres :
P
E(X) = pP
= ni=1 pi xi
1 x1 + p 2 x2 + · · · + p n xn P
V (X) = p ni=1 pi )(xi − E(X))2 = ni=1 pi )x2i − E(X)2
σ(X) = V (X)
Exemple 3 Dans l’exemple 2, l’espérance de X est E(X) = 34 × (−4) + 14 × 8 = 1. Cela
veut dire que le gain moyen à ce jeu stupide est de 1 e. C’est un jeu favorable au joueur
Le signe de E(X) permet donc de savoir si le joueur a plus de chances de gagner que
de perdre. Si E(X) = 0, on dit que le jeu est équitable. L’écart-type de X permet, lui,
d’évaluer le "risque" du jeu : plus l’écart-type est grand plus le risque de perdre ou de
gagner est important.
1
2
Loi binomiale
2.1
Loi de Bernoulli
Définition 4 On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute épreuve aléatoire
admettant exactement deux issues :
– l’une appelée succès dont la probabilité d’apparaître est p ;
– l’autre appelée échec dont la probabilité d’apparaître est 1 − p.
La loi de Bernoulli est donc résumée dans le tableau suivant (on note 0 l’échec et 1 le
succès) :
xi
0
1
p(X = xi ) 1 − p
p
On dit que la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p et on note
X ∼ B(p).
Exemple 4 :
– Lancer d’une pièce de monnaie équilibrée, avec pour issues contraires PILE (probabilité p = 12 ) et FACE (probabilité q = 1 − p = 21 ).
– Tirage d’une boule contenant 70 boules blanches et 30 boules rouges, avec pour
issues contraires :
– S : tirer une boule blanche (p = 0, 7)
– E = S : tirer une boule rouge (q = 0, 3)
2.2
Loi binomiale
Définition 5 On appelle schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p toute
expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve
de Bernoulli de paramètre p.
Un résultat d’une telle expérience est une liste de n issues (SE. . .SSE). La variable
aléatoire X à valeurs dans {0, 1, 2 . . . n} associant à chaque issue le nombre de succès
suit la loi binomiale de paramètres n et p notée B(n, p)
Propriété 1 Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p on a :
n k
p(X = k) =
p (1 − p)n−k , k ∈ {0; 1; 2; . . . ; n}
k
Remarque 1 Les nk appelés coefficients binomiaux se calculent à l’aide de la calcula
trice. Par exemple, pour calculer 42 sur Casio, on tape OPTN puis PROB puis 4 puis
nCr puis 2. On trouve 42 = 6
Exercice : Un Q.C.M comporte 4 questions offrant chacune 3 réponses possibles (une
seule étant juste). On répond complètement au hasard. Quelles sont les probabilités :
1. d’obtenir 2 réponses exactes ?
2. d’obtenir la moyenne ?
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