Trigonometrie

II. Enroulement de la droite numérique sur le cercle
trigonométrique
Trigonométrie
1) Cercle trigonométrique
I. Longueur d’un arc d’un cercle
1) Unité de longueur
Quand on veut faire un graphique représentant des longueurs ou des angles,
on doit choisir une unité de longueur. Par exemple, on peut décider que 4 cm
représentent une unité de longueur.
Le sens trigonométrique (ou sens positif) est le sens
contraire des aiguilles d’une montre.
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1
(c’est-à-dire l’unité de mesure choisie), orienté dans le
sens trigonométrique.
+
1
2) Longueur d’un arc d’un cercle de rayon 1
2) Enroulement de la droite numérique. . .
La circonférence d’un cercle de rayon R est . . . . . .
Celle d’un cercle de rayon 1 est donc : . . . . . .
Exemple 1 :
On se place sur un cercle de rayon 1. Déterminez la longueur de l’arc en gras
(fig.1) ainsi que l’angle au centre (fig.2).
La longueur d’un arc d’un cercle de rayon 1 est proportionnelle à l’angle
au centre correspondant.
...
...
60°
1
fig.1
2
Soit I un point du cercle trigonométrique ; on trace un
axe gradué tangent au cercle en I.
Cet axe représente l’ensemble des réels IR.
À tout réel α (sur la figure ci-contre α = 2, 2) correspond
un point N d’abscisse α sur cet axe.
En enroulant l’axe sur le cercle, on associe au point N
un point M du cercle.
On peut associer à tout réel α un point unique M sur le
cercle trigonométrique, appelé point image de α.
⌢
Ö (en radians) = IM
Remarque : : IOM
= α.
2
α
M
1
α rad
I
0
−1
IR
1
fig.2
3) Mesure en radians d’un angle
La mesure en radians d’un angle est égale à la longueur de l’arc de cercle de
⌢
Ö (en radians) = AB
rayon 1 correspondant : AOB
.
Exemple 2 :
Placez sur le cercle trigonométrique les points images
M1 , M2 , etc. des réels suivants :
π
π
α1 = 0 ; α2 = 2π ; α3 = π ; α4 = ; α5 = − ;
2
2
3π
45π
α6 = 7π ; α7 = − ; α8 =
.
4
3
Ainsi, un angle de 60° a pour mesure . . . . . . radians.
Conversion des angles les plus utilisés :
α (en degrés)
0
30
45
N α
60
90
J
+
I′
O
I
J′
180
360
α (en radians)
On retiendra que les mesures en radians et en degré soient proportionnelles et
que π rad représentent 180° et 2π rad représentent 1 tour complet .
Remarque : : à chaque réel correspond un seul point mais à un point donné
correspond une infinité de réels. Deux réels α et α′ correspondent au même
point si α − α′ = k.2π avec k entier relatif (k ∈ ZZ).
Exemple 3 : Montrez que −
16π
2π
et
sont associés au même point.
3
3
III. Cosinus et sinus d’un réel
3) Valeurs remarquables :
1) Définitions
Propriété 1
Pour tout α on a cos2 α + sin2 α = 1 où cos2 α = (cos α)2 et sin2 α = (sin α)2 .
Preuve : dans le triangle rectangle OHM , d’après le théorème de Pythagore :
OH 2 + HM 2 = OM 2 = 12 = 1.
2 = (sin α)2 .
Or OH 2 = x2M = (cos α)2 et HM 2 = yM
Soit M le point image d’un réel α. On définit
respectivement le cosinus et le sinus de α
comme l’abscisse et€ l’ordonnée de
M dans le
−→ −→Š
repère orthonormé O ; OI , OJ :
cos α = xM
sin α = yM
J
sin α
M
O
α
cos α I
I′
Remarques :
➫ cos α et sin α sont compris entre −1 et 1.
J′
π
π
➫ Si l’angle est en degrés, on le précisera : cos = cos 45° (mais 6= 45 !).
4
4
2) Lien avec les définitions du collège
Considérons un triangle rectangle. On démontre facilement que les deux angles
non droits sont aigus (entre 0 et 90°).
Sur la figure ci-contre, on a placé un point M
Ö < 90° et H, K les projetés
J
tel que 0 < IOM
orthogonaux de M sur les axes.
Alors, dans le triangle rectangle OHM :
K
M
OH
xM
côté adjacent à α
sin α
=
=
= xM = cos α
1
hypoténuse
OM
1
et
α H
côté opposé à α
HM
OK
yM
=
=
=
= yM =
cos α I
O
hypoténuse
OM
OM
1
sin α
On retrouve donc les définitions du collège. Pourquoi introduire de nouvelles
définitions alors ? Pour pouvoir parler du cosinus et du sinus d’angles quelconques (pas forcément aigus).
Exemple 4 : En utilisant la figure du 1°), complétez :
π
5π
α
0
−π −
2015π
2
2
Point image de α . . . . . . . . .
...
...
cos α
... ... ...
...
...
sin α
... ... ...
...
...
2015π
2
...
...
...
Applications
π
Supposons que α = (angle au centre de 60°). Alors on montre aisément que
3
OHM est équilatéral donc la hauteur issue de M est aussi une médiane donc
OH = . . . . . . d’où cos . . . · · · = . . . . . . .
On en déduit que sin2 α = . . . . . . . . . . . . . . . donc sin α = . . . . . . . . . . . . . . .
Par des raisonnements analogues, on obtient le tableau de valeurs suivant :
α
0
cos α
1
sin α
0
π
√6
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
π
0
−1
1
0
4) Exemples d’utilisation de symétries
π
Exemple 5 : considérons le point M associé à
(angle au centre de 30°)
6
et N , P , Q les symétriques de M par rapport à l’axe des abscisses, à O et à
l’axe des ordonnées. Complétez la figure :
J
Q(. . . . . . )
......
......
P (. . . . . . )
O
......
M (. . . . . . )
π/6
......I
N (. . . . . . )
puis le tableau :
puis le tableau :
Point
Un réel associé
Cosinus
Sinus
N
P
Q
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...

‹

‹
π
π
π
π
• cos −
= . . . cos et sin −
= . . . sin .
6
 6‹
 6 ‹
6 ‹
π
π
π
7π
7π
= cos π +
= . . . cos et sin
= . . . sin .
• cos
6
6
6
6
6
Point
Un réel associé
Cosinus
Sinus
N
P
Q
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...

‹

‹
π
π
π
π
• cos −
= . . . cos et sin −
= . . . sin .
6
 6‹
 6 ‹
6 ‹
π
π
π
7π
7π
= cos π +
= . . . cos et sin
= . . . sin .
• cos
6
6
6
6
6
5) Valeurs approchées du cosinus et du sinus
5) Valeurs approchées du cosinus et du sinus
Exemple 6 : en utilisant la calculatrice en mode radians, donnez des valeurs
π
≃ .......
approchées de : cos 1 ≃ . . . . . . ; sin 1, 46 ≃ . . . . . . ; cos
12
Exemple 6 : en utilisant la calculatrice en mode radians, donnez des valeurs
π
≃ .......
approchées de : cos 1 ≃ . . . . . . ; sin 1, 46 ≃ . . . . . . ; cos
12
6) Exemples d’équations trigonométriques
6) Exemples d’équations trigonométriques
Soit k un entier. Le nombre k.2π indique un certain nombre k de tours.
Soit k un entier. Le nombre k.2π indique un certain nombre k de tours.
1
Exemple 7 : résoudre dans IR l’équation sin x = .
2
Méthode :
• on place le ou les point(s) correspondant(s) ;
1
• est le sinus de : . . . . . . ;
2
• l’observation du graphique nous donne alors
−1
comme solution(s) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
• on peut ajouter un nombre quelconque de tours :
les solutions s’écrivent donc
.................................................
1
y
x
0
1
−1
√
2
Exemples 8 :donnez les solutions réelles de l’équation cos x =
:
2
..........................................................................
puis celles 2 cos x + 1 = 0 :
..........................................................................
et enfin celles de 2 sin x + 3 = 0 :
..........................................................................
1
Exemple 7 : résoudre dans IR l’équation sin x = .
2
Méthode :
• on place le ou les point(s) correspondant(s) ;
1
• est le sinus de : . . . . . . ;
2
• l’observation du graphique nous donne alors
−1
comme solution(s) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;
• on peut ajouter un nombre quelconque de tours :
les solutions s’écrivent donc
.................................................
1
y
x
0
1
−1
√
2
Exemples 8 :donnez les solutions réelles de l’équation cos x =
:
2
..........................................................................
puis celles 2 cos x + 1 = 0 :
..........................................................................
et enfin celles de 2 sin x + 3 = 0 :
..........................................................................