3ème B DS5 fonctions linéaire et affine 2013-2014 sujet 1 Exercice 1 (12 points) Les droites (DC) et (BE) sont parallèles. a) Démontrer que la fonction qui à x associe DC est une fonction 2,5 linéaire. 2 b) Démontrer que la fonction qui à x associe BC est une fonction affine. 3 c) Dans un repère, représenter les fonctions f et g telles que f(x) = 2x et g(x) = 3x – 3. 3x d) Lire sur le graphique, l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Pour cette valeur de x, quelle est la nature du triangle BDC ? Exercice 2 (8 points) On a représenté les fonctions f et g dans un repère. a) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ? b) Déterminer les expressions algébriques de f et g. c) En utilisant les expressions trouvées précédemment, retrouver par le calcul les résultats de la question a). 1 3ème B DS5 fonctions linéaire et affine 2013-2014 sujet 2 Exercice 1 (12 points) Les droites (AC) et (ED) sont parallèles. a) Démontrer que la fonction qui à x associe AC est une fonction linéaire. b) Démontrer que la fonction qui à x associe CD est une fonction affine. c) Dans un repère, représenter les fonctions f et g telles que f(x) = x et g(x) = 2x – 2. d) Lire sur le graphique, l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Pour cette valeur de x, quelle est la nature du triangle ACD ? 2 1 2 2x Exercice 2 (8 points) On a représenté les fonctions f et g dans un repère. a) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ? b) Déterminer les expressions algébriques de f et g. c) En utilisant les expressions trouvées précédemment, retrouver par le calcul les résultats de la question a). 2 3ème B Exercice 1 DS5 fonctions linéaire et affine CORRECTION 2013-2014 sujet 1 (13 points) Les droites (DC) et (BE) sont parallèles. a) Démontrer que la fonction qui à x associe DC est une fonction linéaire. b) Démontrer que la fonction qui à x associe 2,5 BC est une fonction affine. c) Dans un repère, représenter les fonctions f et g telles que f(x) = 2x et g(x) = 3x – 3. 3 d) Lire sur le graphique, l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Pour cette valeur de x, quelle est la nature du triangle BDC ? 2 3x a) Les droites (DC) et (BE) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles ABE et ACD : AB AE BE = = AC AD DC 3 2 Soit = 3x DC D’où : 3×DC = 3x×2 Soit : DC = 2x La fonction qui à x associe la longueur DC est : x 2x. Il s’agit bien d’une fonction linéaire (de coefficient 2). b) BC = AC – AB = 3x – 3. La fonction qui à x associe la longueur BC est : x 3x – 3. Il s’agit bien d’une fonction affine (de la forme ax + b avec a = 3 et b = -3). c) d) L’abscisse du point d’intersection des deux droites est 3. Pour x = 3, BC = 3×3 – 3 = 6 DC = 2×3 = 6. BC = DC, donc le triangle BDC est isocèle en C. (On ne sait pas s’il est de plus équilatéral : il faudrait calculer BD). 3 3ème B DS5 fonctions linéaire et affine CORRECTION 2013-2014 sujet 1 Exercice 2 (8 points) On a représenté les fonctions f et g dans un repère. a) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ? b) Déterminer les expressions algébriques de f et g. c) En utilisant les expressions trouvées précédemment, retrouver par le calcul les résultats de la question a). a) f(x) = g(x) pour x = 3 (abscisse du point d’intersection des deux droites) b) La représentation graphique de la fonction f est une droite. Donc f est une fonction affine. f(x) = ax + b f(0) = 1 ; donc b = 1 f(1) = 2 donc a×1 + 1 = 2 Soit a = 2 – 1 = 1 Donc f(x) = x + 1 La représentation graphique de la fonction g est une droite. Donc g est une fonction affine. g(x) = ax + b g(0) = 5 donc b = 5 g(3) = 4 donc a×3 + 5 = 4 4–5 1 =Soit a = 3 3 1 Soit g(x) = - x + 5 3 c) On résout l’équation f(x) = g(x) 1 x+1=- x+5 3 1 Soit x + x = 5 - 1 3 4 Soit x = 4 3 3 Soit x = 4× = 3 4 4 3ème B DS5 fonctions linéaire et affine CORRECTION 2013-2014 sujet 2 Exercice 1 (12 points) Les droites (AC) et (ED) sont parallèles. a) Démontrer que la fonction qui à x associe AC est une fonction linéaire. b) Démontrer que la fonction qui à x associe CD est une fonction affine. c) Dans un repère, représenter les fonctions f et g telles que f(x) = x et g(x) = 2x – 2. d) Lire sur le graphique, l’abscisse du point d’intersection des deux droites. Pour cette valeur de x, quelle est la nature du triangle ACD ? 2 1 2 2x a) Les droites (AC) et (ED) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BDE et BCA : BD DE BE = = BC CA BA 2 1 2 = = Soit : 2x AC BA On en déduit que AC = x. La fonction qui à x associe la longueur AC est : x x. Il s’agit bien d’une fonction linéaire (de coefficient 1). b) CD = BC – BD = 2x - 2 La fonction qui à x associe la longueur CD est : x 2x – 2. Il s’agit bien d’une fonction affine (de la forme ax + b avec a = 2 et b = -2). c) c) L’abscisse du point d’intersection des deux droites est 2. Pour x = 2, AC = 2 DC = 2×2 – 2 = 2. AC = DC, donc le triangle ACD est isocèle en C. (On ne sait pas s’il est de plus équilatéral : il faudrait calculer AD). 5 3ème B DS5 fonctions linéaire et affine CORRECTION 2013-2014 sujet 2 Exercice 2 (8 points) On a représenté les fonctions f et g dans un repère. a) Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = g(x) ? b) Déterminer les expressions algébriques de f et g. c) En utilisant les expressions trouvées précédemment, retrouver par le calcul les résultats de la question a). a) f(x) = g(x) pour x = 2 (abscisse du point d’intersection des deux droites) b) La représentation graphique de la fonction f est une droite qui passe par l’origine du repère.. Donc f est une fonction linéaire. f(x) = ax f(1) = 2 donc a×1 = 2 Donc f(x) = 2x La représentation graphique de la fonction g est une droite. Donc g est une fonction affine. g(x) = ax + b g(0) = 5 donc b = 5 g(2) = 4 donc a×2 + 5 = 4 4–5 1 Soit a = =2 2 1 Soit g(x) = - x + 5 2 c) On résout l’équation f(x) = g(x) 1 2x = - x + 5 2 1 Soit 2x + x = 5 2 5 Soit x = 5 2 2 Soit x = 5× = 2 5 6