écoulements de Poiseuille plan diphasiques

Mines Nancy - 2ème année
Département Énergie : Production, Transformation
Module EPTS7AB Mécanique des fluides par Emmanuel Plaut
Test 1 du 19 octobre 2015 - Durée : 3 heures
Documents autorisés : les polycopiés de MMCSF et de MF - Calculatrices autorisées
Veuillez rédiger avec soin et en langue française. Toute réponse à une question constituée uniquement
de symboles mathématiques sera, a priori, considérée comme nulle. Un corrigé succinct, comportant aussi
des compléments, sera publié dès cet après-midi sur http ://emmanuelplaut.perso.univ-lorraine.fr/mf .
Barème indicatif 1 : Exercice
Problème
question
points
0
0,5
I.1
1
question
points
1
2,5
2
2
I.2
2,5
I.4
2
II.1
0,5
I.3
1
3
2
4
0,5
II.2
1
5
2,5
6
1,5
7
0,5
8
3
Total
14,5
II.3
2,5
II.4
2
II.5
4
II.6
4
Total
21
Exercice Estimation des poussées de turboréacteurs simple et double flux
On veut estimer les poussées de deux moteurs aéronautiques, à savoir les turboréacteurs dont les schémas
de principe sont à la fin de ce sujet en figure 1. On suppose que ces moteurs fonctionnent en régime de
croisière, l’avion qu’ils propulsent étant en vol horizontal à la vitesse constante V0 . On travaille dans le
référentiel lié à l’avion, dans lequel l’air ambiant arrive à la vitesse V0 .
§
La figure 1a présente un turboréacteur simple flux (‘Turbojet’ en anglais, cf. aussi la figure 2). On
considère que ce turboréacteur est à symétrie de révolution autour de l’axe de son arbre (‘Shaft’ ). Il est
contenu dans une enveloppe solide représentée en blanc. Par un orifice d’entrée (‘Inlet’ ) l’air ambiant (en
bleu foncé) est aspiré à la vitesse V0 . Le débit massique d’air ingéré est ṁ0 . Ce flux d’air passe dans le
compresseur (‘Compressor’ ) dont les aubes sont représentées en noir. Une fois comprimé, donc, échauffé, il
est mélangé dans la chambre de combustion (‘Burner’ en rouge) au kérosène atomisé, qui se vaporise très
rapidement, brûle, et fournit une grande énergie interne. Le débit massique de kérosène injecté est ṁk , de
sorte qu’en entrée de la turbine (‘Turbine’ en magenta), le débit massique de gaz admis ṁe = ṁ0 + ṁk .
L’indice e signifie ‘Exhaust’ pour échappement. En effet, tout ce gaz, après avoir entraı̂né en rotation
l’arbre au niveau de la turbine, est finalement éjecté à la vitesse Ve à la sortie de la tuyère (‘Nozzle’ ).
On considère le système constitué de tous les fluides internes au réacteur : air du flux ingéré, kérosène une
fois injecté dans la chambre de combustion, puis mélange obtenu en sortie de la chambre de combustion,
dit « gaz brûlés ». Ces fluides occupent un domaine Dt .
1 En faisant des approximations que vous expliciterez, estimez de façon cinématique le taux d’évolution
de la quantité de mouvement de ce système fluide en fonction de V0 , Ve , ṁ0 et ṁe . Interprétez la physique.
2 De même, estimez de façon dynamique le taux d’évolution de la quantité de mouvement de ce système
fluide. Déduisez-en la force exercée par les fluides sur le moteur, Ffluides → moteur en fonction de V0 , Ve , ṁ0
et ṁe . Interprétez la physique.
3 De même, en écrivant la loi de l’évolution de la quantité de mouvement pour le moteur, supposé fixé à
l’avion par un « bras » de taille modeste, estimez la poussée F de ce moteur.
Commentez, en comparant notamment au cas d’un moteur fusée.
4 En pratique, le débit massique de kérosène injecté est négligeable, donc ṁe ' ṁ0 . Donnez en conséquence une expression approximative de F en fonction de ṁ0 , V0 et Ve seulement.
§
1. Le total sur 35,5 sera ramené à 20 environ suivant une règle qui reste à définir.
1
La figure 1b présente un turboréacteur double flux (‘Turbofan’ ), qui est aussi à double corps (‘two
spool’ ). En effet, dans l’arbre de cœur (‘Core Shaft’ en noir), solidaire du compresseur et de la turbine
de cœur (‘Core Turbine’ en magenta), est logé le système représenté en vert, l’arbre du ventilateur (‘Fan
Shaft’ ) solidaire du ventilateur (ou « soufflante », ‘Fan’ ) et de sa turbine (‘Fan Turbine’ ). Ces deux systèmes
ont des vitesses de rotation différentes, ce qui permet une certaine flexibilité et de meilleurs réglages.
Un flux primaire (ou flux de cœur ‘Core Flow’ ou flux chaud en bleu foncé) est admis en entrée à
une vitesse V0 avec un débit massique ṁc . Il subit une évolution similaire à celle du flux unique du
turboréacteur simple flux. Ce flux primaire passe dans le ventilateur, où il est accéléré une première fois. Il
est ensuite comprimé dans le compresseur, mélangé dans la chambre de combustion au kérosène atomisé,
qui se vaporise et brûle. Le débit massique de kérosène injecté est ṁk , de sorte qu’en entrée de la turbine
de cœur le débit massique de gaz admis ṁe = ṁc + ṁk .
Tout ce gaz, après avoir entraı̂né en rotation l’arbre de cœur, au niveau de la turbine de cœur, puis l’arbre
du ventilateur au niveau de la turbine du ventilateur, est enfin éjecté à la vitesse Ve à la sortie de la tuyère.
De plus un flux secondaire (ou flux de ventilateur ‘Fan Flow’ ou flux froid en bleu clair), de débit
massique ṁf , est admis en entrée à la vitesse V0 , autour du cœur. Il est accéléré par le ventilateur puis
rejeté en sortie à une vitesse Vf .
On appelle taux de dilution (‘Bypass ratio’ ) le rapport entre le débit d’air qui évite (‘bypasses’ ) la chambre
de combustion et le débit d’air qui passe dans la chambre de combustion, b = ṁf /ṁc .
Le débit total entrant est la somme de ces deux débits ṁ0 = ṁf + ṁc .
5 En faisant des approximations analogues à celles utilisées questions 1, 2 et 3, estimez la poussée F de ce
moteur en fonction des débits ṁc , ṁf , ṁe et des vitesses V0 , Ve , Vf .
6 En pratique le débit de kérosène est négligeable, ṁe ' ṁc .
Remaniez la formule précédente pour exprimer F comme la somme d’une poussée due au flux primaire ou
chaud Fc et d’une poussée due au flux secondaire ou froid Ff .
Commentez physiquement.
7 Exprimez finalement F en fonction des seules données ṁ0 , ṁc , V0 , Ve , Vf et b.
8 On considère un moteur CFM56-5B équipant un Airbus A320 en régime de croisière à Mach 0,8 à une
altitude de 35000 pieds soit 10700 m. La température ambiante est d’environ −54 o C.
8.a Estimez la vitesse de vol V0 de l’avion, en m/s, avec 2 chiffres significatifs.
8.b Sachant que ṁc = 23 kg/s , b = 5,8 , Ve = 500 m/s , Vf = 350 m/s , estimez les poussées Fc , Ff
et F . Commentez physiquement.
§
Je remercie M. Tantot de SAFRAN Snecma et cette entreprise pour la fourniture des données numériques de la question 8.
§
Problème Étude d’écoulements de Poiseuille plan éventuellement diphasiques
On considère un canal de section rectangulaire contenant, dans un repère cartésien Oxyz, la région
D = {(x,y,z)
avec
x ∈ [0,L], y ∈ [−b,b], z ∈ [−h,h]} .
On suppose que les parois situées en y = ±B (avec B > b) ont une influence négligeable sur l’écoulement
dans la région D, de même que les régions d’entrée x < 0 et de sortie x > L du canal. Les parois situées en
z = ±h sont supposées horizontales. Ce canal est rempli d’un (partie I) ou deux (partie II) fluides newtoniens
visqueux. Dans D, on suppose l’écoulement permanent bidimensionnel unidirectionnel de champ de vitesse
v = v(z) ex .
0 Avec quel adjectif physique pourrait on aussi qualifier des écoulements de la forme (1) ?
2
(1)
I Dans cette partie, tout le canal est rempli du même fluide newtonien visqueux.
I.1 Montrez que le gradient de pression motrice dans un tel écoulement est forcément uniforme, de la forme
(dans le domaine D, domaine de travail pour toute cette partie)
∇b
p = −Gex .
(2)
I.2 Calculez le champ de vitesse, puis la vitesse débitante V , que vous relierez à G. Commentez physiquement cette relation.
I.3 Représentez graphiquement ce champ de vitesse.
I.4 Calculez les pertes de charge dans cet écoulement, entre x = 0 et L, en les mettant sous une forme
analogue à celle utilisée en tuyau, faisant apparaı̂tre un coefficient de perte de charge λ analogue. Exprimez
λ en fonction d’un nombre adimensionnel caractéristique de l’écoulement. Commentez la formule obtenue.
§
II On considère maintenant le cas où un fluide 1, de viscosité dynamique η1 , occupe dans D le sous-domaine
D1 = {(x,y,z) ∈ D tels que |z| < h1 } ,
et un fluide 2, de viscosité dynamique η2 , le sous-domaine
D2 = D2+ ∪ D2−
avec
D2+ = {(x,y,z) ∈ D tels que z > h1 }, D2− = {(x,y,z) ∈ D tels que z < −h1 } .
Ces fluides ont la même masse volumique ρ. On note maintenant v1 (z) (resp. v2 (z)) la composante x de la
vitesse dans le fluide 1 (resp. 2).
II.1 Montrez que les gradients de pression motrice dans cet écoulement sont forcément uniformes,
∇b
p = −G1 ex
dans
∇b
p = −G±
2 ex
D1 ,
dans
D2± .
(3)
II.2 Explicitez les conditions cinématiques aux deux interfaces entre les fluides 1 et 2, situées en z = ±h1 .
Montrez qu’à chaque interface une condition cinématique est toujours vérifiée ; l’autre sera prise en compte
à la question II.5a.
II.3 On suppose l’existence d’une tension superficielle aux interfaces entre les deux fluides. Explicitez
la condition dynamique à chaque interface et établissez deux conditions portant l’une sur les pressions à
l’interface, l’autre sur les vitesses à l’interface.
II.4 Explicitez les conditions sur les pressions aux interfaces. Déduisez-en des relations entre G1 et G±
2,
puis les champs de pression dans les fluides. Montrez que l’on peut définir de façon claire une perte de
pression motrice δb
p entre les sections d’entrée et de sortie de cet écoulement, malgré le fait qu’il soit
diphasique. Cette perte de pression motrice sera supposée strictement positive, ainsi que G1 et G±
2.
II.5a Calculez les champs de vitesse dans les fluides. Vous aurez intérêt pour simplifier les calculs à
introduire le rapport des viscosités M = η1 /η2 . On admet que l’écoulement est symétrique sous z 7→ −z,
sur la base d’un principe que vous rappellerez.
II.5b Testez la cohérence de vos calculs en considérant les cas extrêmes où le fluide 1 est seul, h1 = h, et
celui où le fluide 2 est seul, h1 = 0.
II.6 Le fluide 2 est de l’eau de viscosité η2 = 10−3 Pa s, le fluide 1 une huile 1000 fois plus visqueuse. Le
canal, qui modélise une fracture dans une roche, a une épaisseur 2h = 2 cm et, pour sa région utile, une
largeur 2b = 1 m, une longueur L = 100 m. On suppose que la perte de pression motrice δb
p = 1 bar.
II.6a On considère le cas de référence avec le fluide 1 (huile) seul, h1 = h. Calculez numériquement la
vitesse maximale v1 (0), et représentez schématiquement le champ de vitesse du fluide 1 dans un plan bien
choisi.
3
II.6b On considère le cas diphasique où h1 = 0,5 cm. Calculez numériquement la vitesse maximale v1 (0),
et représentez les champs de vitesse des fluides (dans le même plan que question II.6a). Par rapport au cas
de référence, quel type d’effet se produit ?
§
(a) ‘Turbojet’ :
(b) ‘Turbofan’ :
Fig. 1 – Schémas de principe, tirés d’un site web à but éducatif de la NASA, d’un (a) turboréacteur simple
flux et simple corps, (b) turboréacteur double flux et double corps, dans le référentiel lié à l’avion.
‘Turbojet’ :
Fig. 2 – Schéma plus détaillé d’un turboréacteur simple flux et simple corps, tiré d’un document de l’U.S.
Federal Aviation Administration.
4