Mécanique des fluides: TD3

Mécanique des fluides: TD3
2016-2017
1
Dynamique des fluides parfaits : Partie 1
Dans tout ce TD, les fluide traités sont parfaits et incompressibles.
1.1
Exercice 1 : Tube de Pitot
Un tube de Pitot (de Henri Pitot, physicien français) permet de mesurer la vitesse d’un écoulement.
Il sert par exemple sur les avions pour mesurer la vitesse relative par rapport au vent (on parle aussi
de ”sonde Pitot”).
On considère le tube Pitot ci-dessus, le fluide s’écoulant autour étant incompressible, de masse
volumique ρ.
1. A l’aide de la relation de Bernoulli, écrire une relation entre les pressions en A et en B,
On suppose les pressions en M et N égales aux pressions en A et B respectivement.
2. Donner l’expression de la différence de pression entre M et N , dans le manomètre, qu’on suppose
à mercure (de masse volumique ρm ).
On donne : ρm = 13, 6 × 103 kg.m−3 , ρ = 1, 225 kg.m−3 et ∆h = 1 cm.
3. Donnez la valeur de la vitesse vB de l’écoulement autour du tube de Pitot.
1.2
Exercice 2 : Effet Venturi
L’effet Venturi (du physicien italien Giovanni Battista Venturi) est un phénomène de chute de
pression due à un étranglement dans un écoulement.
On considère le Venturi représenté par la figure ci-dessous. ”PL ” sur la figure correspond en réalité
à ρL , la masse volumique du fluide entre B1 et B2 .
1
1. Donner l’expression de la vitesse V2 en fonction de S1 , S2 , g et ∆h.
2. En déduire le débit volumique.
1.3
Exercice 3 : Formule de Toricelli (Evangelista Torricelli, physicien italien)
On considère un récipient rempli d’un liquide parfait et incompressible muni d’une petite ouverture
située à la hauteur h sous la surface libre du liquide (le diamètre de cette ouverture est négligeable
devant h). On recherche l’expression de la vitesse du liquide en A en fonction de h.
1. Appliquer la relation de Bernoulli entre la surface et la sortie de l’orifice.
2. En considérant que vA0 << vA , trouver la formule de Toricelli v =
cette formule ?
1.4
√
2gh. Que vous rappelle
Exercice 4 : Ecoulement au dessus d’un obstacle
On étudie un écoulement au-dessus d’un obstacle. La hauteur de l’obstacle est notée e(x), la hauteur d’eau au-dessus de l’obstacle h(x), et la vitesse v(x). La vitesse loin de l’obstacle est v0 et la
hauteur d’eau h0 .
1. Appliquer la conservation du débit et trouver une relation entre v0 , h0 , v(x) et h(x).
2. En appliquant la relation de Bernoulli sur une ligne de courant située à la surface et en la dérivant, montrer que :
v 0 (x) 2
(v (x) − g h(x)) + g e0 (x) = 0
(1)
v(x)
3. On appelle x0 l’abscisse du sommet de l’obstacle. Montrer que l’on a alors 2 possibilités : v 0 (x0 ) =
0 ou v 2 (x0 ) = g h(x0 ). A quoi ressemble le profil de hauteur dans le premier cas ?
1.5
Exercice 5 : Fuite d’un réservoir sous pression
Un réservoir sous pression pR est percé à sa surface supérieure (voir Figure 1). Le fluide qu’il
contient, de masse volumique ρf s’en échappe en un jet vertical à pression ambiante (patm ).
1. A quelle hauteur H ce jet montera-t-il initialement (tant que la chute de pression dans le réservoir
est négligeable) en fonction de pR , patm et ρf ?
Figure 1 – Réservoir sous pression
Remarque : on considère le fluide comme incompressible et parfait. On considère que le réservoir
est grand et donc que la vitesse du fluide en un point quelconque, loin du trou, est négligeable. On
néglige l’épaisseur du réservoir par rapport à la hauteur du jet.
1.6
Exercice 6 : Venturi vertical
On considère le tube de Venturi donné par la figure ci-dessous (Figure 2), dans lequel circule un
fluide (de l’eau) de masse volumique ρe . Le point F est à pression atmosphérique (patm ). En A le
tuyau a un diamètre DA , et en F un diamètre DF . Le liquide (du mercure) entre E et D a une masse
volumique ρm inférieure à ρe .
1. Exprimer la différence de hauteur ∆H entre E et D en fonction de ρm , de la masse volumique
de l’eau (ρe ), des diamètres DA et DF , de g et du débit volumique dans le tube qu’on notera qV .
Remarque : ~g = −g ~z, les liquides sont considérés comme parfaits et incompressibles.
Figure 2 – Venturi vertical