Final : H2014 (Q) - CEGCi

Polytechnique Montréal
Département des génies civil, géologique et des mines
CIV2310 MÉCANIQUE DES FLUIDES
EXAMEN FINAL
Hiver 2014
Date : 2 mai 2014
Heure : 13h30 à 16h00 (durée: 2h30)
Pondération : 55% de la note globale
Notes :
1. Aide-mémoire du professeur, calculatrice non-programmable permise.
2. Pour chaque question, vous devez bien détailler votre démarche.
3. Remettez le questionnaire avec votre copie d’examen.
4. Au besoin, utilisez les valeurs suivantes:
a. Accélération gravitationnelle, g = 9.81 m/s2
b. Poids spécifique de l’eau, γw = 9810 N/m3
5. Quelques propriétés géométriques
a. Moments d’inerties:
PARTIE I : QUESTIONS CONCEPTUELLES
Question 1 (0.5 pt) – Pour un écoulement de fluide visqueux en régime permanent, les
forces agissant sur un élément de fluide sont:
(a) forces de gravité, cisaillement et normales (pression)
(b) forces de gravité et normales (pression)
(c) forces de gravité et cisaillement
(d) forces normales (pression) et cisaillement
Ne justifiez pas votre réponse.
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Question 2 (0.5 pt) – Considérez le distributeur de café ci-dessous, équipé d’un tube de
verre qui permet d’indiquer le niveau de café restant dans le réservoir opaque. Si on
ouvre la valve, qu’adviendra-t-il du niveau de café dans le tube de verre? Ne justifiez
pas votre réponse.
(a) il restera le même
(b) il s’élèvera
(c) il s’abaissera
Question 3 (0.5 pt) – Identifiez la vanne sur laquelle s’exerce la plus grande force
résultante de pression hydrostatique. Chaque vanne est de dimension unitaire dans le
plan sortant. Ne justifiez pas votre réponse.
Question 4 (1 pt) – Dessinez approximativement les lignes d’énergie et piézométrique
pour ce montage hydraulique impliquant un fluide visqueux, incompressible et en
régime permanent.
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Question 5 (0.5 pt) – Considérez un jet libre de fluide en régime permanent avec un
profil de vitesse uniforme dévié d’un angle θ par un déflecteur à l’intérieur d’un chariot
maintenu en place grâce à la force F. Quel angle θ parmi les suivants génère la plus
grande force F? Ne justifiez pas votre réponse.
(a) θ = 45°
(b) θ = 60°
(c) θ = 90°
(d) la force F est la même en (a), (b) et (c)
PARTIE II : RÉSOLUTION DE PROBLÈMES
Question 6 (2.5 pts) – Déterminez la différence de pression entre les points A et B de
ce manomètre différentiel à l’équilibre. Utilisez les poids spécifiques suivants:
! benzène: 8 643 N/m3
! mercure: 133 000 N/m3
! kérosène: 7 887 N/m3
! eau: 9 810 N/m3
! air: 12 N/m3
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Question 7 (3.5 pts) – Considérez un écoulement d’eau en régime permanent issu d’un
grand réservoir. À l’exutoire du système, on observe un jet libre. En assumant un fluide
non-visqueux et incompressible, déterminez la valeur de D2 à partir de laquelle on
observera de la cavitation dans ce système. La pression atmosphérique est de 101.3
kPa (absolue) et la pression de vapeur de l’eau est de 1.77 kPa (absolue).
! z0 = 1.00 m
! D1 = 0.10 m
! D3 = 0.05 m
Question 8 (4 pts) – On s’intéresse à la jonction en Y ci-dessous dans laquelle circule
un écoulement d’eau (incompressible) en régime permanent avec des profils de vitesse
uniformes. À la section (3), l’écoulement se transforme en jet libre. En négligeant les
différences d’élévations dans le système, déterminez la force totale dans la direction
des x exercée par les deux brides pour maintenir le système en place.
! θ = 30°
! Section 1: D1 = 0.34 m, Q1 = 0.57 m3/s, p1 = 47.88 kPa
! Section 2: D2 = 0.34 m, Q2 = 0.34 m3/s, p2 = 43.09 kPa
! Section 3: D3 = 0.17 m
! masse volumique de l’eau: 1000 kg/m3
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Question 9 (4 pts) – On transporte de l’eau en régime permanent entre deux grands
réservoirs à l’aide d’une pompe et de deux conduites de longueurs et diamètres
différents. Les pertes de charge dans le système sont décrites par la relation
2
⎛ L⎞⎛V ⎞
hL = 0.018 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ D ⎠ ⎝ 2g ⎠
où L est la longueur de la conduite [m], D est le diamètre de la conduite [m] et V est la
vitesse dans la conduite [m/s]. En considérant un fluide incompressible et des profils de
vitesse uniformes :
(a) Déterminez la puissance que nous devrons fournir à la pompe pour atteindre un
débit de 0.5 m3/s. (3 pts)
(b) Dessinez les lignes d’énergie et piézométrique pour ce système. (1 pt)
!
!
!
!
!
z0 = 50 m
z3 = 75 m
Conduite 1: L1 = 100 m, D1 = 0.5 m
Conduite 2: L2 = 1000 m, D2 = 1 m
Rendement de la pompe: 74%
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Question 10 (3 pts) – Le jet d’air vertical ci-dessous permet de maintenir une balle de
ping-pong en équilibre à une hauteur h (dimension: L), laquelle dépend des variables
suivantes:
! diamètre de la balle, D – dimension: L
! diamètre de la tuyère, d – dimension: L
! vitesse de l’air, V – dimensions: LT–1
! masse volumique de l’air, ρ – dimensions: FL–4T2
! viscosité dynamique de l’air, µ – dimensions: FL–2T
! poids de la balle, W – dimension: F
Exprimez la relation fonctionnelle entre h et ses variables indépendantes à l’aide de
l’analyse dimensionnelle. Utilisez le système FLT.
Total des points : /20
Bon examen!
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AIDE-MÉMOIRE
CIV2310 – Mécanique des fluides
Chapitre 1: Introduction et propriétés des fluides
1. Densité relative: SG =
ρ fluide
=
γ
fluide
ρeau à 4°C γ eau à 4°C
2. Poids spécifique: γ = ρ g
3. Loi des gaz parfaits: p = ρ RT avec R : constante spécifique du gaz [J/ ( kg ⋅ K )]
4. Loi de viscosité de Newton: τ =
F
du
=µ ;
A
dy
⎡ N ⋅s⎤
⎡⎣ µ ⎤⎦ = ⎢ 2 ⎥
⎣ m ⎦
5. Relation entre viscosité cinématique et viscosité dynamique: ν =
µ ⎡ m2 ⎤
;
ρ ⎢⎣ s ⎥⎦
Chapitre 2: Statique des fluides
1. Pression hydrostatique pour un fluide incompressible: p = γ h + p0
2. Force hydrostatique sur une surface plane
- Surface plane horizontale:
• Direction: normale à la surface
• Orientation: vers la surface
• Amplitude: FR = pA
•
Point d’application: centroïde de la surface
- Surface plane inclinée:
• Direction: normale à la surface
• Orientation: vers la surface
• Amplitude: FR = γ hc A = γ ( yc sin θ ) A
•
Point d’application: au centre de pression (xR, yR)
I
x R = xyc + xc
yc A
Ixc
h
+yc avec: yc = c
yc A
sin θ
3. Force hydrostatique sur une surface courbe
a. Composante horizontale: force sur la surface projetée dans un plan vertical
b. Composante verticale: poids du fluide au-dessus de la surface
yR =
4. Poussée d’Archimède: FB = poids du fluide déplacé = γ V
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Chapitre 3: Théorème de Bernoulli
1. Accélération en régime permanent
∂V
∂s
a. Le long d’une ligne de courant: as = V
2. Normal à une ligne de courant: an =
V2
ℜ
p1 V12
p2 V22
+
+z =
+
+z
3. Théorème de Bernoulli:
γ 2g 1 γ 2g 2
4. Équation de continuité en régime permanent: m 1 = m 2 = ρ1 A1V1 = ρ2 A2V2
Chapitre 4: Cinématique des fluides
dy v
=
dx u
2. Champ d’accélération:
⎧
∂u
∂u
∂u
∂u
⎪ ax = ∂t + u ∂x + v ∂ y + w ∂z
⎪
∂v
∂v
∂v
∂v
⎪
+u +v
+w
⎨ay =
∂t
∂x
∂y
∂z
⎪
⎪
∂w
∂w
∂w
∂w
+u
+v
+w
⎪ az =
∂t
∂x
∂y
∂z
⎩
1. Lignes de courant:
3. Dérivée matérielle:
D(
) = ∂( ) + ( V ⋅∇ )( )
Dt
∂t
4. Théorème de transport de Reynolds :
DBsys
Dt
=
∂
ρ bdV + ∫ ρ bV ⋅ n̂dA
CS
∂t ∫CV
Chapitre 5: Analyse par volumes de contrôles finis
1. Équation de continuité, régime permanent:
∑ m
out
= ∑ m in avec m = ρQ = ρ AV
2. Équation de la quantité de mouvement linéaire, régime permanent:
 − ∑ mV

∑ FCV = ∑ mV
out
in
2
2
p
α V out
p
α V in
+ zout = in + in
+ zin + hs − hL
3. Équation d’énergie: out + out
γ
2g
γ
2g
a. Pour un écoulement uniforme: α out = α in = 1
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b. Charge extraite par une turbine (hs < 0) ou fournie par une pompe (hs > 0):
W
W
hs =
shaft
net in

mg
=
shaft
net in
γQ
c. Rendement d’une pompe: ηpompe =
γ Qhs
Ppompe
d. Rendement d’une turbine: ηturbine =
Pturbine
γ Qhs
p V2
+
+z
γ 2g
p
5. Ligne piézométrique: LP = + z
γ
4. Ligne d’énergie: LE =
Chapitre 6: Analyse différentielle en mécanique des fluides
1. Équation de continuité, forme différentielle:
2. Fonction de courant: u =
∂ ρ ∂( ρu ) ∂( ρ v ) ∂( ρ w)
+
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
∂ψ
∂ψ
; v=−
∂y
∂x
Chapitre 7: Analyse dimensionnelle et similitude
1. Théorème des pi de Buckingham: k – r nombres pi requis, avec k : nombre de variables,
r : nombre de dimensions de référence.
2. Théorie des modèles: Π1 = φ ( Π2 ,Π3 ,...) ; Π1m = φ ( Π2m ,Π3m ,...)
a. Conditions de similitude: Π2 = Π2m ; Π3 = Π3m ; ...
b. Si conditions de similitude respectées, équation de prédiction : Π1 = Π1m
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Chapitre 9: Écoulements externes
1. Traînée de forme pour une plaque plane de taille b ×  : Df = 12 C D f ρU 2 b
2. Nombre de Reynolds sur une plaque plane: Re x =
ρUx
µ
3. Couche limite entièrement laminaire (valide pour Re x < 5 × 105 )
a. Épaisseur de la couche limite :
δ
5
=
x
Re x
3
b. Cisaillement à la paroi : τ w = 0.332U 2
c. Coefficient de trainée : C Df =
ρµ
x
1.328
Re 
4. Couche limite transitoire (avec Re x cr = 5 × 105 )
a. Coefficient de trainée : C Df =
0.455
( log Re )
2.58

−
1700
Re 
5. Couche limite entièrement turbulente (valide pour Re x > 5 × 105 )
a. Coefficient de trainée : C Df =
0.455
( log Re )
2.58

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