Suites et séries I

Suites et séries I
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Vocabulaire
On a relevé 5 jours de suite la hauteur de pluie tombée à l’EABJM. On obtient les résultats suivants
en mm (pour i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, hi désigne la hauteur relevée le i-ème jour ) :
h1 = 5
h2 = 3
h3 = 8
h4 = 6
h5 = 4.
Vocabulaire : Les nombres h1 , h2 , h3 etc. constituent une suite de nombres : h1 est le premier
terme de la suite, h2 est le deuxième, ...
Exercice 1.
un = n2 + 2n.
Pour n ∈ N, le n-ième terme d’une suite de nombres est donné par la formule
1. Calculer u1 , u10 et u100 .
2. Déterminer l’expression du (n + 1)-ième terme.
Exercice 2. Une suite de nombre débute par 5, 9, 13, 17 , .... Déterminer, en fonction de n, une
formule donnant son n-ième terme.
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Symbole Σ
Σ (sigma) est la majuscule grecque correspondant au S de notre alphabet latin. Il permet en mathématiques d’écrire efficacement une somme comportant un nombre important de termes.
La hauteur d’eau totale tombée au cours des 5 jours à l’EABJM est h1 + h2 + h3 + h4 + h5 .
Cette somme est facile à calculer mais elle est déjà un peu longue à écrire : imaginons qu’on ait relevé
cette hauteur de précipitations pendant 100 jours ou plus...
5
X
hi .
Les mathématiciens préfèrent la noter
i=1
Vocabulaire : i est un indice : il varie ici de 1 à 5 et c’est toujours un entier naturel.
5
X
hi se lit “somme pour i variant de 1 à 5 des h (indice) i”.
i=1
Traditionnellement, l’indice de sommation est noté i, j, k ou ℓ mais d’autres notations sont possibles.
Exercice 3. Calculer les sommes suivantes après avoir indiqué le nombre de termes contenus dans
chacune :
5
5
5
5
4
X
X
X
X
X
(−1)k
(a)
2i
(b)
(c)
j
(d)
2
(e)
3j n, n ∈ N
k
i=0
Exercice 4.
k=3
j=0
On pose pour tout n ∈ N, vn = 3n et Sn =
i=0
n
X
j=1
vk .
k=0
1. Calculer v0 , v1 , v2 et v3 .
2. Calculer S0 , S1 , S2 et S3 .
3. Que vaut, pour n > 1, Sn − Sn−1 ?
1 IB SL MATH
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Au lieu d’écrire maintenant une somme avec des points de suspension, par exemple 1 + 12 + 13 + . . . + n1
(sommes des inverses des n premiers entiers naturels non nuls, n ∈ Z+ ), on utilise le symbole sigma.
Ici, on effectue la somme des nombres k1 , pour k variant de 1 à n. Ainsi,
n
1+
1 1
1 X1
+ + ... =
2 3
n
k
k=1
Exercice 5.
Soit r ∈ R, r 6= 1. On pose A1 = (1 − r)(1 + r) ; A2 = (1 − r)(1 + r + r 2 ) ;
A3 = (1 − r)(1 + r + r 2 + r 3 ).
1. Développer et réduire les nombres A1 , A2 , A3 .
2. Rappeler ce que vaut, par convention, r 0 .
3. n ∈ Z+ : écrire, en utilisant le symbole Σ, la somme 1 + r + r 2 + . . . + r n .
4. Que vaut le produit An = (1 − r)(1 + r + r 2 + . . . + r n ) ?
5. En déduire, pour r 6= 1, une expression réduite de la somme 1 + r + r 2 + . . . + r n .
Que vaut cette somme lorsque r = 1 ?
Propriété : Soit r un réel et n un entier naturel non nul.

n
 . . . . . . . . . . . . si r 6= 1
X
k
r =

k=0
. . . . . . . . . . . . si r = 1
Exercice 6.
On considère un nombre r tel que −1 < r < 1.
1. En utilisant la calculatrice, que peut-on dire du nombre r n lorsque n prend des valeurs entières
de plus en plus grande (n = 10, 50, etc.) ?
1 − rn
2. Dans les mêmes conditions, que peut-on dire du nombre
?
1−r
Définition et propriété : Soit un nombre r tel que −1 < r < 1.
• On dit que le nombre r n converge vers 0 lorsque l’entier n tend vers l’infini.
+∞
X
1
1 − rn
1
rn =
• Dans les même conditions, le nombre
converge vers
et on note
1−r
1−r
1−r
n=0
Attention ! L’encadré ci-dessus n’est valable que si −1 < r < 1.
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Quelques propriétés de l’addition revues avec le symbole Σ
Propriétés : Soient n ∈ Z+ et x1 , x2 , . . ., xn , y1 , y2 , . . ., yn deux suites de nombres réels. λ
désigne un nombre réel fixé.
n
n
n
n
n
X
X
X
X
X
(xi + yi ) =
xi +
yi et
λxi = λ
xi .
i=1
Exercice 7.
i=1
i=1
i=1
i=1
Calculer, en utilisant la propriété et l’exercice 3 :
5
5
X
X
3(−1)k
(i + 2i ) et
.
k
i=0
Exercice 8.
A-t-on toujours
n
X
i=1
1 IB SL MATH
xi yi =
n
X
i=1
xi
!
n
X
i=1
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yi
!
k=3
?
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