Mathématiques 2010-2011 Travaux Dirigés n 2 Exercice 1. On note

Mathématiques
2010-2011
Travaux Dirigés n◦ 2
Exercice 1.
On note par
n
P
xi la somme des n nombres réels x1 , . . . , xn .
i=1
Soient x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn et α des
P nombres réels.
1) Ecrire en utilisant le symbole
:
(a) la somme des entiers naturels compris entre 5 et 100.
(b) la somme des carrés des entiers compris entre 2 et 57.
(c) la somme des inverses des entiers compris entre 7 et 289.
(d) la somme des nombres pairs compris entre 3 et 65.
(e) la somme des produits de xi par yi pour i variant de 1 à 10.
(f ) la somme des carrés des xi pour i variant de 1 à 10.
(g) le carré de la somme des xi pour i variant de 1 à 10.
(g) la somme des produits de xi par α pour i variant de 1 à 10.
2) Remplacer les pointillés par des lettres pour que les égalités suiventes soient correctes ;
n
...
...
n+1
n
...
P
P
P
P
P
P
xi =
x... =
xk+1 =
x.. =
xi + x... =
x..
i=1
j=1
p=..
k=...
i=2
i=3
Exercice 2.
Sachant que
n
P
k=
k=1
n(n+1)
2
et
n
P
k2 =
k=1
n(n+1)(2n+1)
,
6
calculer ou écrire en fonction de n les
sommes suivantes :
18
P
(a)
(e )
(i)
k=1
n
P
k=1
18
P
k;
(2k + 1) ;
k + 2;
k=1
(b)
(f )
(j)
45
P
k2 ;
(c)
k=1
n
P
k(3k − 5) ;
k=1
18
P
(g)
100
P
k2 ;
k=20
n
P
k=1
n
P
(d)
1
( k+1
− k1 ) ;
(k + k 2 ) ;
k=1
18
P
(h )
(k + 2) ;
k=1
k − 2;
k=5
Exercice 3.
Soient p, q des propositions ( qui peuvent être vraies ou fausses).
Ecrire la table de vérité de p ⇒ q et de q ⇒ p. On sait que p ⇔ q correspond à (p ⇒ q)
et (q ⇒ p). Etablir sa table de vérité. Que constatez vous ?
Exercice 4.
Soient p, q, r des propositions (qui peuvent être vraies ou fausses).
Faire la table de vérité des expressions suivantes : p ou q, (p ou q) ou r, p ou (q ou r),
(p ou q) et r, (p et r) ou (q et r), non(p ou q), non p et non q.
Quelles propriétés pouvez vous énoncer ? Comment les compléter ?
Traduire ses propriétés en langage des ensembles. Les illustrer par des diagrammes.
Exercice 5
Démontrer par récurrence les deux formules suivantes :
n
P
k=1
k=
n(n+1)
2
et
n
P
k=1
k2 =
n(n+1)(2n+1)
.
6
NB : 2n2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3).
Exercice 6.
a est un réel strictement positif. Démontrer que pour tout naturel n : (1 + a)n ≥ 1 + na.
1
Exercice 7.
Des résultats dans un service spécialisé d’un hopital ont montré que sur 50 patients 30
sont obèses, 25 souffrent d’hypertension artérielle tandis que 20 ont un taux de cholesterol
trop élevé. Parmi les 25 qui souffrent d’hypertension 12 ont un taux de cholestérol trop élevé ;
15 obèses souffrent d’hypertension et 10 obèses ont un taux de cholestérol trop élevé. ; de plus
5 patients ont les trois pathologies.
Déterminer le nombre de patients qui n’ont aucune des trois pathologies à l’aide d’un
diagramme.
Exercice 8.
Pour tout naturel n, on appelle factorielle n notée n! le naturel défini par :
n! = 1 × 2 × 3 × ..... × n
0! = 1
Pour tout n on pose Pn = n!. Calculer 2!, 3!, 4!.
Montrer que quel que soit le naturel n on a :Pn+1 − Pn = nPn .
Déduisez-en que : 1 + 1! × 1 + 2! × 2 + .....(n − 1)! × (n − 1) = n!.
Exercice 9.
On considère un cercle sur lequel on prend n points (n ≥ 2).
On dessine toutes les cordes joignant ces n points deux à deux. On suppose que trois
quelconque de ces cordes ne sont pas concourantes. Notons Rn le nombre de régions intérieures
au cercle ainsi déterminées.
Déterminer R2 , R3 , R4 et R5 . Qu’êtes vous tenté de conjecturer pour Rn ?
Déterminer R6 à l’aide d’un dessin, confrontez votre conjecture à ce résultat.
Exercice 10.
On considère un polyngone convexe avec n sommets.
On veut savoir combien il y a de diagonales, on rappelle qu’une diagonale est un segment
joignant deux sommets non consécutifs.
Déterminer le nombre de diagonales noté dn pour n = 3, 4, 5, 6.
.
Démontrer par récurrence que dn = n(n−3)
2
Pouvez vous justiifier ce résultat en ”comptant” le nombre de diagonales quand le polygone
a n sommets.
NB : n2 − n − 2 = (n + 1)(n − 2).
Exercice 11.
Montrer que dans un polygone convexe à n sommets la somme des angles vaut (n − 2)
×180◦ .
Exercice 12.
a) Vérifier que :
b) En déduire
1
1
= k1 − k+1
.
k(k+1)
1000
P 1
que :
= 1000
.
k(k+1)
1001
k=1
Exercice 13.
0
Pour tout n ∈ N on note Pn et Pn les deux propriétés :
1) Pn : 9 divise 10n − 1
0
2) Pn : 9 divise 10n + 1
0
a) Calculer Pn et Pn pour les premières valeurs de n.
b) Démontrer que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie.
0
0
c) Démontrer que si Pn est vraie alors Pn+1 est vraie.
0
d) Pour quelles valeurs de n Pn et Pn sont-elles vraies ?
2