Planche 1 Exercice 1. Soit n 1,...,n6 six nombres tels

Planche 1
Exercice 1. Soit n1 , . . . , n6 six nombres tels que n1 + · · · + n6 = 60. Montrer que parmi ces
nombres, il y en a au moins deux dont la somme est supérieure à 20.
Exercice 2. A vous de trouver les définition suivantes !
a) On rappelle qu’on note (un )n∈N une suite réelle. On rappelle qu’une telle suite est en fait une
application u de N dans R, qui à tout n ∈ N associe un réel un ∈ R.
Formuler avec des quantificateurs, les définitions suivantes :
i) La suite (un ) est croissante.
ii) La suite (un ) n’est pas croissante.
iii) La suite (un ) n’est ni croissante, ni décroissante.
iv) La suite (un ) est croissante à partir d’un certain rang.
v) Nier la proposition précédente.
b) Soit f : R → R une fonction.
On dit que f est majorée sur R si, et seulement si, il existe un réel M ∈ R tel que pour tout
x ∈ R, f (x) ≤ M .
i) Parmi les deux prop. suivantes laquelle est la déf. de la prop.
– P1 : ∀ x ∈ R, ∃ M ∈ R, f (x) ≤ M ,
– P2 : ∃ M ∈ R, ∀ x ∈ R, f (x) ≤ M .
f est majorée :
ii) En déduire l’écriture quantifiée de la propriété f n’est pas majorée.
iii) Une fonction f ∈ F (R, R) est dite bornée sur R si, et seulement si, elle est majorée et minorée
sur R.
Ecrire ce que signifie que f n’est pas bornée sur R.
Exercice 3. a) Donner un exemple de deux propriétés mathématiques P (x) et Q(x) dépendant
d’un réel x (prédicats) telles que les deux propositions :
• ∀ x ∈ R, [P (x) ou Q(x)] ,
• [∀ x ∈ R, P (x)] ou [∀ x ∈ R, Q(x)],
ne soient pas équivalentes.
b) (] : Question difficile). Soient f et g deux applications d’un ensemble A dans un ensemble
B telles que ∀ (x, y) ∈ A2 , [f (x) = f (y) ou g(x) = g(y)]. Montrer que f ou g est constante.
Exercice 4. a) Soit I un sous-ensemble de R et f : I → R. On rappelle que f est croissante sur
I si, et seulement si, ∀ (x, y) ∈ I 2 , x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y). Dans cette définition, on a vu qu’on ne
peut pas remplacer le ⇒ par un ⇔.
Question : qu’en est-il pour la déf. de f strictement croissante ?
b) La fonction f : R∗ → R, x 7→ 1/x est-elle décroissante sur R∗ ?
c) On dit que f est monotone sur I si, et seulement si, elle est croissante sur I ou décroissante
sur I. Exprimer, avec des quantificateurs, la propriété : f n’est pas monotone sur I.
Exercice 5. Soit f : R → R une fonction. Définir avec des quantificateurs, les prop. suivantes :
a) f est périodique de période 2.
b) f est périodique.
Exercice 6. Soit f une fonction de R dans R. On considère les trois propriétés suivantes :
a) ∀ x ∈ R, ∃ T ∈ R, f (x + T ) = f (x).
b) ∀ x ∈ R, ∃ T ∈ R r {0}, f (x + T ) = f (x),
c) ∀ T ∈ R, ∃ x ∈ R, f (x + T ) = f (x).
Pour chacune des trois propriétés précédentes : (i) peut-on trouver une fonction qui vérifie cette
propriété ? (ii) peut-on trouver une fonction qui ne vérifie pas cette propriété ? (iii) Eventuellement,
que dire plus précisément ?
MPSI 1
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A partir du 10 septembre 2013