Lois de probabilités continues

Année 2005-2006
Chap 7 :
I.
BTS MAI 2
Lois de probabilités continues
Variable aléatoire continue
1)
Définition
Définition 1 : Une variable aléatoire X est dite continue lorsque elle peut prendre toutes les valeurs
de R (ou éventuellement d’un intervalle ).
Dans ce cas on ne s’intéresse pas à des valeurs isolées prises par X mais à des
intervalles c’est-à-dire aux événements
du type a 6 X 6 b.
Z
b
On a alors P (a 6 X 6 b) =
f (u)du où f est une fonction positive appelée
a
densité de probabilité de X.
Exemple : Par exemple la durée de vie d’une ampoule prise au hasard dans un stock est une
variable aléatoire continue.
Remarque : On a nécessairement P (X = a) =
Z
a
f (u)du = 0 et f est telle que
a
2)
Z
+∞
f (u)du = 1.
−∞
Fonction de répartition
Définition 2 : Comme dans le cas continu on définit la fonction de répartition de la variable aléatoire X par F (t) =ZP (X 6 t).
t
On a donc F (t) =
f (u)du.
−∞
Remarque : On a ainsi pour tous a et b (avec a < b) : P (a 6 X 6 b) = F (b) − F (a).
3)
Espérance et écart-type
Définition 3 : On peut à l’aide de la densité f Zdéfinir l’espérance E(X),Zla variance V (X) et l’écart+∞
type σ(X) de X par E(X) =
p
σ(X) = V (X).
+∞
uf (u)du, V (X) =
−∞
−∞
(u − E(X))2 f (u)du et
Propriété 1 : Comme dans le cas discret on a :
• E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) pour X et Y deux variables aléatoires.
2
• V (X) = E(X 2 ) − E(X) .
• V (X1 +X2 ) = V (X1 )+V (X2 ) pour X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes.
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Année 2005-2006
II.
BTS MAI 2
Loi normale
1)
Loi normale centrée réduite
Définition 4 : On dit qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite, notée
u2
1
N (0, 1) si la densité de probabilité de X est f (u) = √
e− 2 .
2π
Z b
u2
1
√
e− 2 du.
on a alors pour tous a et b : P (a 6 X 6 b) =
2π
a
Remarque : On ne connait pas de primitive à f (u) mais on sait calculer de bonnes valeurs approchées des intégrales.
On peut toujours voir P (a 6 X 6 b) comme une aire sous la courbe de f sachant que
l’aire totale sous la courbe fait bien 1.
Pour cette loi la fonction de répartition se note Π(t).
On a alors P (a 6 X 6 b) = Π(b) − Π(a).
Propriété 2 : Si X suit la loi normale centrée réduite on a E(X) = 0 et V (X) = 1.
D’ou la notation de cette loi.
Remarque : Dans la pratique on utilise le formulaire qui donne les principales valeurs de la fonction
Π.
On a notamment Π(−t) = 1 − Π(t) (car la courbe de f est symétrique par rapport à
l’axe Oy) et P (−t 6 X 6 t) = Π(t) − Π(−t) = Π(t) − (1 − Π(t)) = 2Π(t) − 1.
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Année 2005-2006
2)
BTS MAI 2
Loi normale ”quelconque”
Définition 5 : On dit qu’une variable aléatoire continue X suit la loi normale de paramètres m et
1 u−m 2
1
e− 2 ( σ ) .
σ, notée N (m, σ) si la densité de probabilité de X est f (u) = √
σ 2π
Z b
1 u−m 2
1
√
e− 2 ( σ ) du.
On a alors pour tous a et b : P (a 6 X 6 b) =
σ
2π
a
Propriété 3 : Si X suit la loi N (m, σ) on a E(X) = m et V (X) = σ.
D’ou la notation de cette loi.
On a une propriété très pratique pour faire un lien entre N (m, σ) et N (0, 1) et ainsi pouvoir utiliser
le formulaire :
X −m
suit la loi N (0, 1).
Propriété 4 : Si X suit la loi N (m, σ) alors
σ
Exemple : si X suit la loi N (2, 3)
on a par exemple :
X −2
X −2
5−2
−1 − 2
= P −1 6
6
6
6 1 et puisque
P (−1 6 X 6 5) = P
3
3
3
3
X −2
X −2
suit la loi N (0, 1) on a P (−1 6
6 1) = Π(1) − Π(−1) = 2Π(1) − 1 ≈
3
3
0, 6826.
3)
Somme de deux lois normales indépendantes
Propriété 5 : Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires indépendantes et si X1 suit la loi N (m1 , σ1 )
q
2
2
et X2 la loi N (m2 , σ2 ) alors X1 + X2 suit la loi normale N m1 + m2 , σ1 + σ2 .
Remarque : On peut résumer la propriété précédente en disant que la somme de deux lois normales
indépendantes est une loi normale et en remarquant que les paramètres sont donnés
par E(X1 + X2 ) = E(X1 ) + E(X2 ) et V (X1 + X2 ) = V (X1 ) + V (X2 ).
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