TD 1 - Groupes, actions de groupes

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 1 - Groupes, actions de groupes
Exercice 1. On considère les matrices X =
2 0
1 1
, et Y =
et l’on note G le sous0 1
0 1
groupe de GL2 (R) qu’elles engendrent.
1. Pour n ∈ Z, calculer X −n Y X n . On note Hn le sous-groupe de GL2 (R) engendré par cet
élément.
2. Montrer que pour tout n ∈ Z, Hn est strictement inclus dans Hn+1 .
3. Exhiber un sous-groupe de G qui est strictement inclus dans l’un de ses conjugués.
4. Exhiber un sous-groupe de G qui ne peut pas être engendré par un nombre fini d’éléments.
5. Montrer, en revanche, que si A est un groupe abélien engendré par n éléments, alors tout
sous-groupe de A peut être engendré par au plus n éléments.
Exercice 2.
1. Soit p un nombre premier. Montrer que Z/pZ est un corps.
2. Montrer que GLd (Z/pZ) est un groupe fini. Calculer son ordre.
3. Soit U le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures ayant des 1 sur la diagonale.
Calculer l’ordre de U .
4. Vérifier que d! divise | GLd (Z/pZ)|.
Exercice 3 (Sous-groupes distingués).
1. Soient G un groupe et H ⊳ G, un sous-groupe
distingué.
(a) Montrer que les sous-groupes distingués de G/H sont de la forme K/H où K ⊳ G,
H ⊳ K.
(b) Montrer que (G/H)/(K/H) ≃ G/K.
(c) Expliciter (G/H)/(K/H) ≃ G/K pour G = Z.
2. Soit K < G un sous-groupe de G.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Montrer que H ∩ K ⊳ K.
Montrer que HK = {hk, h ∈ H, k ∈ K} est un sous-groupe de G.
Montrer que H ⊳ HK.
Montrer que K/K ∩ H ≃ KH/H.
Expliciter cet isomorphisme pour G = Z.
Exercice 4. Soient K un corps et n ≥ 1. Montrer que le diagramme suivant est commutatif et
exact par lignes et par colonnes :
1
↓
1 →
SHn∗ (K)
↓
1
↓
−→
Hn∗ (K)
↓
1
↓
det
−→
det
K ∗n
↓
→ 1
SLn (K) −→ GLn (K) −→
K∗
→ 1
↓
↓
↓
1 → PSLn (K) −→ PGLn (K) −→ K ∗ /K ∗n → 1
↓
↓
↓
1
1
1
1 →
où l’on définira convenablement les objets et les morphismes.
1
2
Exercice 5. Soit G un groupe fini d’ordre n ≥ 2.
1. Montrer que G possède un système générateur {a1 , . . . , ak } tel que pour i ≥ 2, ai n’appartient pas au sous-groupe engendré par {a1 , . . . , ai−1 }.
2. Montrer que n ≥ 2k .
3. Montrer que | Aut G| ≤ nlog2 n .
Exercice 6 (Groupe multiplicatif de Z/nZ).
1. Soit p un nombre premier impair.
k
(a) Pour k ∈ N, k ≥ 1, montrer qu’il existe ak premier avec p tel que (1 + p)p =
1+ak pk+1 . Que peut-on dire de l’ordre de 1+p dans le groupe multiplicatif (Z/pk Z)∗ ?
(b) En déduire que pour α ≥ 1, (Z/pα Z)∗ ≃ Z/pα−1 (p − 1)Z.
2. Identifier (Z/2α Z)∗ , pour α ≥ 1.
3. Pour quels entiers n ≥ 1 le groupe (Z/nZ)∗ est-il cyclique ?
Exercice 7 (Le foncteur Hom).
1. Soient n et m deux entiers ≥ 1. Identifier le groupe des
morphismes de groupes abéliens HomZ (Z/nZ, Z/mZ).
2. On considère la suite exacte de groupes abéliens
0 → G′ → G → G′′ → 0.
Soit K un groupe abélien. Le complexe suivant est-il exact ?
0 → HomZ (K, G′ ) → HomZ (K, G) → HomZ (K, G′′ ) → 0.
Exercice 8. Montrer que (Q/Z, +) est un groupe de torsion qui possède un unique sous-groupe
d’ordre n pour tout n ≥ 1 et que ce sous-groupe est cyclique.
Exercice 9.
1. Soit G un groupe infini. Montrer qu’il contient un sous-groupe non trivial.
2. Soit G un groupe fini dont l’ordre ≥ 2 n’est pas un nombre premier. Montrer que G contient
un sous-groupe non trivial.
3. Soient Γ un groupe et M un sous-groupe maximal de Γ non réduit à l’élément neutre (c’est
à dire que M 6= Γ et les seuls sous-groupes de Γ contenant M sont M et Γ lui-même). On
suppose que M est distingué dans Γ. Montrer que le quotient Γ/M est fini. Que peut-on
dire de son ordre ?
Exercice 10 (Groupes abéliens finis). Soit G un groupe abélien fini. On appelle caractère
de G tout morphisme de G dans (C∗ , ×).
1. Soit H un sous-groupe de G et χ un caractère de H. Montrer que χ se prolonge en un
caractère de G.
2. Soit r l’exposant de G et x ∈ G un élément d’ordre r. Montrer qu’il existe un sous-groupe
K de G tel que
G ≃ K ⊕ Zx.
Commencer par considérer un caractère naturel de Zx...
3. Montrer que tout groupe abélien fini est produit de groupes cycliques.
Exercice 11. Montrer que SL2 (F4 ) s’injecte dans S5 . En déduire que SL2 (F4 ) ≃ A5 .
Exercice 12. Soit G un groupe fini et p le plus petit facteur premier du cardinal de G. Montrer
que tout sous-groupe de G d’indice p est distingué.