EXAMEN 6L22 Théorie des groupes

EXAMEN 6L22
Théorie des groupes
Licence de Sciences 3e année
Année 2011–2012, 7 mai 2012, 9h–12h.
L’usage de tout document et de tout matériel électronique est interdit.
La notation prendra en compte la clarté et la rigueur des raisonnements, TOUTES
les réponses doivent être justifiées.
Le sujet contient 5 exercices.
Exercice 1. (Question de cours) Enoncer et démontrer le 1er théorème de Sylow.
Exercice 2. Soit G un groupe d’ordre 63. Démontrer que G possède au moins un
sous-groupe normal.
(Indication: Etudier les sous-groupes de Sylow de G).
Exercice 3. Soit p un nombre premier, n ≥ 1 un entier, G un groupe d’ordre pn ,
Z(G) son centre et H un sous-groupe distingué de G non réduit à l’élément neutre.
On rappelle que G agit par conjugaison sur H, c : G × H −→ H, (g, h) 7→ h−1 gh.
1) Montrer que H est de cardinal pk , pour k ≥ 1.
2) Montrer que si h ∈ H, alors son orbite O(h) pour l’action c a pour cardinal
une puissance de p.
3) Montrer qu’on a h ∈ Z(G) ∩ H si et seulement si O(h) est réduite à un
singleton.
4) En déduire que Z(G) ∩ H 6= {eG }, puis que Z(G) 6= {eG }
Exercice 4. Soit n ≥ 1 un nombre entier et Cn = {exp(2iπk/n) | k ∈ Z}. Définir un
isomorphisme entre Z/nZ et Cn et conclure que Cn est un groupe cyclique d’ordre
n pour la multiplication des nombres complexes.
Exercice 5. Soit n ≥ 2 un entier et {e1 , . . . , en } la base canonique de Rn , on note
Σn le groupe de permutations de n éléments.
1) Montrer qu’on définit un homomorphisme de groupes φ : Σn −→ GL(n, R) en
posant, pour tout σ ∈ Σn et tout i ∈ {1, . . . , n}, φ(σ)(ei ) = eσ(i) . Determiner
Ker(φ).
2) Montrer que la composition det ◦ φ définit un homomorphisme de groupes ǫ
de Σn dans le sous-groupe {−1, 1} du groupe multiplicatif R\{0}.