Chapitre 3

Nombres complexes
B. Aoubiza
Département GTR
18 septembre 2002
Table des matières
3 Nombres complexes
3.1 Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Opérations algébriques sur les complexes . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Opérations algébriques sur les complexes — Addition . . .
3.2.2 Opérations algébriques sur les complexes — Multiplication
3.3 Représentation géométrique des complexe . . . . . . . . . . . . .
3.4 Quelques concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Nombre complexe conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Inverse d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Division deux complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Nombre complexe sous forme trigonométrique . . . . . . . . . . .
3.6 Notation exponentielle d’un complexe . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Notation exponentielle — Produit de deux complexes . . .
3.6.2 Notation exponentielle — Puissance d’un complexe . . . .
3.6.3 Notation exponentielle — Formule de Moivre . . . . . . . .
3.6.4 Notation exponentielle — Formule d’Euler . . . . . . . . .
3.7 Résolution des équations à coefficients complexes . . . . . . . . .
3.7.1 Résolution des équations — Racines d’un nombre négatif .
3.7.2 Résolution des équations — Racines nième de l’unité . . . .
3.7.3 Résolution des équations — Racines nième d’un complexe .
3.7.4 Résolution des équations — Racines carrées . . . . . . . .
3.7.5 Résolution des équations — Equation du second degré . . .
3.8 Compléments : Conséquences de la notation exponentielle . . . .
3.8.1 Notation exponentielle — Justification formelle . . . . . . .
3.8.2 Notation exponentielle — Identités Trigonométriques . . .
3.8.3 Notation exponentielle — Calcul différentiel . . . . . . . .
3.8.4 Notation exponentielle — Equations différentielles . . . . .
1
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2
2
2
2
3
4
6
6
6
7
7
8
9
10
10
10
11
11
11
12
14
15
17
18
18
19
20
20
Chapitre 3
Nombres complexes
Introduction
On ne peut pas tout faire dans l’ensemble des réels R. Par exemple, l’équation x2 = −1 n’a pas de solutions
réels. Dans ce chapitre, on construit un ensemble plus grand que R et dans lequel l’équation en question et bien
d’autres auront des solutions.
3.1
Définitions et notations
Définition 1 Un nombre complexe est un nombre de la forme : a + ib où a et b sont des nombres réels.
Notation 1 L’ensemble de tous les nombres complexes est noté : C.
Si z = a + ib est un nombre complexe :
a est dit partie réelle de z.
b est dit partie imaginaire de z.
Si la partie imaginaire est nulle :
z = a + i0 = a
Si la partie réelle est nulle c’est-à-dire
z = 0 + ib = ib
En particulier, on a
0 = 0 + i0
On note : Re z = a
On note : Im z = b
z est dit réel pur.
z est dit imaginaire pur.
i = 0 + i1
Remarque 1 Noter qu’un réel peut être considéré comme un complexe dont la partie imaginaire est 0. Ainsi,
C contient tous les nombres réels et donc R ⊂ C.
Exemple 1 Le nombre 3 + 4i est un complexe : 3 est sa partie réelle et 4 est sa partie imaginaire.
Le nombre 12 − 23 i est un complexe : 12 est sa partie réelle et − 23 est sa partie imaginaire.
Le nombre 6i est un complexe : 0 est sa partie réelle et 6 est sa partie imaginaire.
Le nombre −7 est un complexe : −7 est sa partie réelle et 0 est sa partie imaginaire.
Egalité de deux complexes
Soient z1 = (a + ib) et z2 = (c + id) deux nombres complexes, on a :
z1 = z2 si et seulement si a = c et b = d c’est-à-dire Re z1 = Re z2 et Im z1 = Im z2 .
3.2
3.2.1
Opérations algébriques sur les complexes
Opérations algébriques sur les complexes — Addition
Soient z1 = (a + ib) et z2 = (c + id) deux nombres complexes. L’addition et la soustraction sont définies par :
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)
2
Exemple 2 Calculer la somme (13 − 2i) + (5 + i).
Solution :
(13 − 2i) + (5 + i) = (13 + 5) + (−2i + i) = 18 − i
Exemple 3 Calculer
µ
¶ µ
¶
¡
√ ¢
5 11
3 5
+ i −
+ i + 9 − −4 .
3
3
2 2
Solution :
Etape 1, on écrit le dernier complexe sous sa forme standard c’est-à-dire : a + ib.
µ
µ
¶ µ
¶
¶ µ
¶
√ ¢
¡
5 11
5 11
3 5
3 5
+ i −
+ i + 9 − −4 =
+ i −
+ i + (9 − 2i)
3
3
2 2
3
3
2 2
Etape 2, on introduit le signe − à l’intérieur des parenthèses (distributivité), on obtient
¶ µ
¶
µ
¶ µ
¶
µ
3 5
5 11
3 5
5 11
+ i −
+ i + (9 − 2i) =
+ i + − − i + (9 − 2i)
3
3
2 2
3
3
2 2
Finalement, on a
¶ µ
¶
µ
µ
¶
¶ µ
µ
¶
¶
µ
5
11
5 11
3 5
3
5
+ i + − − i + (9 − 2i) =
+ −
+9 +
i + − i + (−2i)
3
3
2 2
3
2
3
2
µ
µ
¶
¶ µ
µ
¶ µ
¶¶
10
9
54
22
15
12
=
+ −
+
+
+ −
+ −
i
6
6
6
6
6
6
55 5
− i
=
6
6
Propriétés de l’addition
Dans
1.
2.
3.
3.2.2
ce qui suit, z1 , z2 , et z3 représentent des nombres complexes arbitraires.
z1 + z2 = z2 + z1
Commutativité
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
Associativité
0 + z = z (0 = 0 + 0i)
Elément neutre
Opérations algébriques sur les complexes — Multiplication
Soient z1 = (a + ib) et z2 = (c + id) deux nombres complexes. La multiplication est définie par
(a + ib).(c + id) = (ac − bd) + i(ad + cb)
Cela paraît un peu bizarre, et difficile à retenir. Cependant il n’en est rien, si on suit les deux règles simples
suivantes :
— si a = 0, b = 1 : i2 = (0 + i).(0 + i) = −1. c’est-à-dire
i2 = −1
— les règles de calcul dans C sont les mêmes que ceux dans R à condition de remplacer i2 par −1 chaque
fois qu’il apparaît. Ainsi
(a + ib).(c + id) = ac + a(id) + (ib)c + (ib)(id)
= ac + i(ad) + i(bc) + i2 (bd)
= (ac − bd) + i(ad + cb)
Remarque 2 L’introduction des nombres complexes à quelques côtés inhabituels, par exemple dans l’ensemble
C, la somme des carrées de nombres non nuls peut être nulle : 12 + (i)2 = 1 − 1 = 0.
3
Exemple 4 Calculer le produit (3 + 2i) (−4 + i).
Solution : On développe les calculs comme dans R et on remplace i2 par −1 chaque fois qu’il apparaît :
(3 + 2i) (−4 + i) = −12 − 8i + 3i + 2i2 = −12 − 5i + 2(−1) = −14 − 5i
Exemple 5 Calculer le produit (5 − 2i) (5 + 2i).
Solution : On développe les calculs comme dans R et on remplace i2 par −1
(5 − 2i) (5 + 2i) = 5(5) + 5(2i) + (−2i)(5) + (−2i)(2i)
= 25 + 10i − 10i − 4i2 = 25 − 4 (−1) = 29
Noter le résultat est un nombre réel.
Propriétés de la multiplication Dans ce qui suit, z1 , z2 , et z3 représentent des nombres complexes arbitraires.
1. z1 · z2 = z2 · z1
Commutativité
2. z1 · (z2 · z3 ) = (z1 · z2 ) · z3
Associativité
3. 1 · z = z
Elément neutre
4. z · (z1 + z2 ) = z · z1 + z · z2
Distributive
(z1 + z2 ) · z = z1· z + z2· z
Remarque 3 Les puissances du complexe i. Il est facile de voir que
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
i7 = −i
i8 = 1
i9 = i
i10 = −1
i11 = −i
i12 = 1
i13 = i
i14 = −1
i15 = −i
···
On constate que les puissances multiple de 4 donne toujours 1. A partir de cette constatation, on peut calculer
¡ ¢6
facilement les puissances de i. Par exemple, i25 = i24 · i = i (car i24 = i4 = 1).
3.3
Représentation géométrique des complexe
A chaque nombre complexe on veut associer un point unique plan euclidien Oxy. Pour cela on procède
comme suit :
Si z = a + ib est un nombre complexe sous forme algébrique, alors on associe à z le couple de
réel (a, b). Le point du plan euclidien associé à z = a + bi sera donc le point de coordonnée (a, b).
Noter que si z = a est un nombre réel on peut l’écrire sous la forme a + 0i. Ce qui signifie que le point du
plan associé à a a pour coordonnes (a, 0). Ainsi, les nombres réels sont associés aux points de l’axe Ox.
Sur la figure ci-dessous, on présente les points 1 − 2i, 3 + i, −3 − 3i, et −2.
( 3, 1 )
3 +i
3
|
2
|
|
1
|
1
|
2
( 1, 2 )
1 - 2i
( 3, 3 )
-3 - 3i
4
|
|
3
D’un point de vue géométrique, additionner deux complexes revient à construire la diagonale du parallélogramme déterminé par les deux complexes en questions.
C’est-à-dire, si z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 , alors les points du plan correspondants aux trois complexes
z1 , z2 , et z1 + z2 ont pour coordonnées :
(a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) , et (a1 + b1 , a2 + b2 ) respectivement.
Et on a donc la figure suivante
y
( a 1 + a 2 , b1 + b 2 )
( a 1 , b1 )
( a 2 , b2 )
x
Les côtés de ce parallélogramme sont les lignes allant de l’origine aux points (a1 , b1 ) et (a2 , b2 ) respectivement.
La diagonale du parallélogramme étant la ligne allant de l’origine au point de coordonnées (a1 + b1 , a2 + b2 ).
Il est facile de visualiser la soustraction. Il suffit de noter que z1 − z2 = z1 + (−z2 ). On remplace donc le
point (a2 , b2 ) par le point (−a2 , −b2 ).
Exemple 6 Représenter dans le plan complexe la somme de 1 − i et 3 + i.
Solution : on fait l’addition
(1 − i) + (3 + i) = 4 .
La figure (a) ci-dessous montre les complexes 1 − i et 3 + i. La figure (b) montre parallélogramme généré par les
deux complexes ainsi que sa diagonale.
( 3, 1 )
( 3, 1 )
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
1
|
2
|
( 1, 1 )
( 1, 1 )
(a)
(b)
3
|
4
|
Exemple 7 Représenter dans le plan complexe la différence de 1 + 2i et 3 − i.
Solution : on fait la soustraction
(1 + 2i) − (3 − i) = (1 − 3) + (2 + 1) i = −2 + 3i .
La figure (a) ci-dessous montre les complexes 1 + 2i et −(3 − i). La figure (b) montre parallélogramme généré
par les deux complexes ainsi que sa diagonale.
1 + 2i
1 + 2i
(3
(3
i
i
( 3 1
( 3 1
3
3
i
5
i
3.4
Quelques concepts
3.4.1
Nombre complexe conjugué
Soit z = a + ib un nombre complexe,
son conjugué est le complexe noté z est défini par
z = a − ib
M1(z)
b
0
-b
a
M2(z)
Exemple 8 Calculer les conjugués des complexes suivants : 1 − i, 3i, −8, −3 − 6i et π − 2i
1. le conjugué de 1 − i est 1 − i = 1 + i.
2. le conjugué de 3i est 3i = −3i.
3. le conjugué de −8 est −8 = −8.
4. le conjugué de −3 − 6i est −3 − 6i = −3 + 6i.
5. le conjugua de z = π − 2i est z = π + 2i
Propriété du complexe conjugué
Exemple 9 Dans ce qui suit, z, z1 , et z2 représentent des nombres complexes arbitraires.
1. Le produit d’un complexe et de son conjugué est un réel positif. En effet :
z · z = (a + bi) (a − bi) = a2 + b2 + 0i = a2 + b2
2. Si z est nombre réel, alors z = z ;
3. Le conjugué du conjugué de z est égal à z c’est-à-dire z̄¯ = z ;
4. Le conjugué de la somme est la somme des conjugués : (z1 + z2 ) = z1 + z2 ;
5. Le conjugué du produit est le produit des conjugués : z1 · z2 = z1 · z2 ;
µ ¶
z1
z1
6. Le conjugué du rapport est le rapport des conjugués :
= .
z2
z2
Exercice 1 Montrer que Re(z) = 12 (z + z) et Im(z) =
3.4.2
1
(z − z).
2i
Inverse d’un complexe
Soit z = (a + ib) un nombre complexe, son inverse noté z −1 est tel que : zz −1 = 1. Un calcul simple donne
z −1 =
1
−b
a
+i 2
= 2
a + ib
a + b2
a + b2
Exemple 10 Calculer l’inverse de z = 2 + 3i.
Solution : On peut obtenir l’inverse comme suit :
z −1 =
1
1
2 − 3i
2 − 3i
2
3
=
×
=
=
− i
2 + 3i
2 + 3i 2 − 3i
(2 + 3i)(2 − 3i)
13 13
Noter qu’on a multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur. L’idée est basée sur le fait que z · z
est un réel.
6
3.4.3
Division deux complexes
La méthode permettant d’écrire le rapport de deux complexes sous la forme algébrique est basée sur le fait
que
(a + bi) (a − bi) = a2 + b2 .
Soient z1 = (a + ib) et z2 = (c + id) deux nombres complexes, on peut effectuer la division de z1 par z2
comme suit
µ
¶µ
¶
(ac + bd) (bc − ad)
a + bi
c − di
(ac + bd) + (bc − ad) i
a + bi
= 2
+ 2
i
=
=
2
2
c + di
c + di
c − di
c +d
c + d2
c + d2
Noter qu’on a multiplier les deux termes de la fraction par le conjugué du dénominateur.
8 + 7i
Exemple 11 Calculer
.
i
Solution : On fait le calcul par étapes :
8 + 7i
i
=
=
=
=
8 + 7i −i
·
(On multiplie par le conjugué du dénominateur i)
i
−i
−8i − 7i2
(Distributivité de la multiplication)
−i2
−8i − 7 (−1)
(Rappelez-vous que i2 = −1)
− (−1)
7 − 8i
= 7 − 8i
1
1+i
.
3 − 2i
Solution : On commence par ’rationaliser’ le dénominateur en utilisant son conjugué. Notons que le
conjugué de 3 − 2i est 3 + 2i. En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué :
Exemple 12 Calculer
1+i
3 − 2i
=
=
=
=
1 + i 3 + 2i
·
on multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué 3 + 2i
3 − 2i 3 + 2i
(1 + i)(3 + 2i)
on effectue la multiplication au numérateur et au dénominateur
(3 − 2i)(3 + 2i)
3 + 2i + 3i + 2i2
rappelez-vous que i2 = −1
9 + 6i − 6i − 4i2
3 + 2i + 3i + 2 (−1)
3 + 5i − 2
1
5
=
=
+ i
9 + 6i − 6i − 4 (−1)
9+4
13 13
Exemple 13 Calculer
8 + 20i
.
6
Solution : Comme le dénominateur est un nombre réel, il n’est pas nécessaire de passer par la technique
de la multiplication par le conjugué.
8 + 20i
8 20
4 10
= + i= + i
6
6
6
3
3
3.4.4
Module d’un nombre complexe
Soit z = a + ib, z = a − ib. Rappelons que pour tout z ∈ C on a : z.z = a2 + b2 qui est un réel positif.
On appelle module (ou valeur absolue) de z
qu’on note |z| le réel
√:
√ positif
ρ = |z| = z.z = a2 + b2
M1(z)
b
ρ
0
7
a
Propriétés
Soient z, z1 et z2 des nombres complexes arbitraires.
1. |z| = 0 est équivalent ௠z ¯= 0
¯ z1 ¯ |z1 |
2. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | et ¯¯ ¯¯ =
z2
|z2 |
3. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Exemple 14 Calculer le module des complexes suivants : 2 − 5i, 7 + 3i, −11 − 4i, et 3i.
Solution : il suffit d’appliquer la définition
√
√
4 + 25 = 29
|2 − 5i| =
√
√
|7 + 3i| =
49 + 9 = 58
√
√
|−11 − 4i| =
121 + 16 = 137
√
|3i| =
9=3
Exemple 15 Montrer que le module du produit de 3 − 2i et −4 + i est égal au produit de leurs modules.
Solution : On fait les calculs
√
√
|(3 − 2i) (−4 + i)| = |−10 + 11i| = 100 + 121 = 221
|3 − 2i| |−4 + i| =
√ √
√
√
√
√
9 + 4 16 + 1 = 13 17 = 13 · 17 = 221 .
Exercice 2 Calculer le module des complexes suivants :
√
√
z2 = 1 + i 3 ;
z3 = (−1 + i 3)3 ;
z1 = 1 + i ;
3.5
1+i
z4 = √
3+i
Nombre complexe sous forme trigonométrique
Rappelons qu’à chaque complexe
z = a + ib
on peut associer un point (a, b) du plan euclidien.
M1(z)
b
ρ
θ
0
a
La représentation de ce point en coordonnées polaires donne a = ρ cos θ et b = ρ sin θ, où ρ ≥ 0. Ainsi, tout
nombre complexe peut s’écrire sous la forme :
z = a + ib = ρ cos θ + iρ sin θ = ρ (cos θ + i sin θ)
où
p
a2 + b2
et
θ = arg z
(2π)
b
a
L’angle θ est appelé argument de z. Noter l’ argument d’un complexe n’est pas unique ; deux arguments d’un
complexe z diffèrent par un multiple entier de 2π. On note
ρ = |z| =
tan θ =
D’où la forme trigonométrique d’un complexe :
z = ρ(cos θ + i sin θ) qu’on note aussi
Si z = a + ib = ρ (cos θ + i sin θ), on a les relations suivantes :
a = ρ cos θ
et b = ρ sin θ
8
z = [ρ, θ]
Propriétés
Soient z1 = ρ(cos θ +i sin θ) et z2 = σ(cos ϕ+i sin ϕ) deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes :
1. Egalité de deux complexes
z = z0
si et seulement si
ρ = σ et θ = ϕ (2π)
2. si z = ρ(cos θ + i sin θ) alors z = ρ(cos θ − i sin θ) ;
Par ailleurs, on a
√

ρ
=
a2 + b2



 cos θ = √ a
3. si z = (a + ib) = ρ(cos θ + i sin θ) on a
a2 + b2


b

 sin θ = √
2
a + b2
Exemple 16 Déterminer le module et un argument du complexe : z = 1 + i.
Solution :
Etape 1 : on calcule d’abord son module
√
|z| = |1 + i| = 2
Etape 2 : on met le module en facteur dans l’expression de z
√
√
√
√ 1
1
2
2
z = 2( √ + √ i) = 2(
+
i) = ρ(cos θ + i sin θ)
2
2
2
2
√
√
π
2
2
et sin θ =
par suite θ = (2π). Ainsi
on a donc cos θ =
2
2
4
√ π
z = [ 2, ]
4
√
Exemple 17 Déterminer le module et un argument du complexe : z = 1 + i 3
Solution :
Etape 1 : on calcule d’abord son module
¯
√ ¯¯
¯
|z| = ¯1 + i 3¯ = 2
Etape 2 : on met le module en facteur dans l’expression de z
√
1
3
z = 2( +
i) = ρ(cos θ + i sin θ)
2
2
√
3
π
1
par suite θ = (2π). Ainsi
on a donc cos θ = et sin θ =
2
2
4
π
z = [2, ]
3
3.6
Notation exponentielle d’un complexe
Définition 2 (Euler) Si θ est un réel, on défini eiθ par
eiθ = cos θ + i sin θ
Plus généralement, si z = x + iy, alors
ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y)
9
3.6.1
Notation exponentielle — Produit de deux complexes
Soient z1 = ρ(cos θ + i sin θ) = ρeiθ et z2 = σ(cos ϕ + i sin ϕ) deux nombres complexes. Le produit de ces
deux nombres est donné par
z1 · z2 = ρeiθ · σeiϕ = ρσeiθ eiϕ = ρσeiθ+iϕ + ρσei(θ+ϕ)
soit
z1 · z2 = ρσei(θ+ϕ) = ρσ [cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ)]
et donc
z1 .z2 = [ρσ, (θ + ϕ)]
On déduit sans peine que













|z
et donc
¯ 1 ·¯ z2 | = |z1 | · |z2 |
¯ z1 ¯ |z1 |
¯ ¯=
¯ z2 ¯ |z2 |
arg(z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) (2π) et donc
z1
arg( ) = arg(z1 ) − arg(z2 ) (2π)
z2
|z n | = |z|n
arg(z n ) = n arg(z) (2π)
Autrement, le produit de deux complexes est un complexe ayant pour module le produit des modules et pour
argument la sommes des arguments.
3.6.2
Notation exponentielle — Puissance d’un complexe
Soient n un entier positif et z1 = ρ(cos θ + i sin θ) = ρeiθ un nombre complexe. On a
¡
¢n
z1n = [ρ(cos θ + i sin θ)]n = ρeiθ = ρn einθ = ρn (cos nθ + i sin nθ)
autrement
3.6.3
[ρ(cos θ + i sin θ)]n = ρn (cos nθ + i sin nθ) == ρn einθ
Notation exponentielle — Formule de Moivre
A partir des propriétés des puissances, on a Pour tout n ∈ Z
(eiθ )n = einθ
pour tout n ∈ Z
Autrement on a la formule de Moivre suivante :
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
Intérêt : la formule de Moivre est très utile pour calculer cos nθ et sin nθ en fonction de cos θ et sin θ.
Exemple 18 Exprimer cos 2θ et sin 2θ en fonction de cos θ et sin θ.
Solution : d’après la formule de Moivre on a :
cos 2θ + i sin 2θ
= (cos θ + i sin θ)2
= cos2 θ + 2 cos θ · i sin θ + (i sin θ)2
= cos2 θ + 2i cos θ sin θ − sin2 θ
soit
cos 2θ + i sin 2θ = cos2 θ − sin2 θ + i · 2 cos θ sin θ
d’où
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
et
10
sin 2θ = 2 cos θ sin θ
3.6.4
Notation exponentielle — Formule d’Euler
En utilisant la notation d’Euler on a :
eiθ = cos θ + i sin θ
et
e−iθ = cos θ − i sin θ
En additionnant les deux expressions, on obtient
eiθ + e−iθ = 2 cos θ
En soustryant ces deux expressions, on obtient
eiθ − e−iθ = 2i sin θ
D’où on déduit les formules d’Euler
eiθ + e−iθ
2
eiθ − e−iθ
sin θ =
2i
cos θ =
Un des intérêts de la formule d’Euler peut être illustrer par l’exemple suivant.
Exemple 19 Linéariser cos2 θ et sin2 θ.
Solution : d’après les formules d’Euler on a cos θ =
cos2 θ
=
µ
eiθ + e−iθ
2
¶2
1 iθ
(e + e−iθ )2
4
1
= (ei2θ + 2eiθ · e−iθ + e−i2θ )
4
1
= (ei2θ + e−i2θ + 2)
{z
}
4 |
=
2 cos 2θ
Soit enfin
cos2 θ =
3.7
1
(cos 2θ + 1)
2
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
et sin θ =
et donc
2
2i
µ iθ
¶2
e − e−iθ
sin2 θ =
2i
1 iθ
=
(e − e−iθ )2
−4
−1 i2θ
=
(e − 2eiθ · e−iθ + e−i2θ )
4
1
= (ei2θ + e−i2θ − 2)
{z
}
4 |
2 cos 2θ
et
sin2 θ =
1
(cos 2θ − 1)
2
Résolution des équations à coefficients complexes
3.7.1
Résolution des équations — Racines d’un nombre négatif
Notons d’abord que si r est réel positif (r > 0), alors on a :
¡ √ ¢2
¡ √ ¢2
et
−i r = −r
i r = −r
Ainsi, les racines carrées de −r sont
Autrement
√
√
i r et − i r
√
√
x2 = −r équivaut à x = i r ou x = −i r
Exemple 20 Déterminer les racines de −4 et de −3.
Solution : cela revient à résoudre les équations x2 = −4 et x2 = −3. D’après ce qui précède, on a
√
√
x2 = −4 équivaut à x = i 4 = 2i ou x = −i 4 = −2i
de même
√
√
x2 = −3 équivaut à x = i 3 ou x = −i 3
11
Danger !
Quelques précautions sont à prendre quand on fait des calculs contenant des racine des nombres négatifs,
car les propriétés habituelles ne sont pas valables dans ce cas. En particulier,
√
√
√
√
√
√
−2 · −3 = i 2 · i 3 = 6i2 = − 6
Tandis que
p
√
(−2) (−3) = 6
Ainsi, la propriété
√
√ √
ab = a b
n’est pas valable si les nombres a et b sont négatifs.
3.7.2
Résolution des équations — Racines nième de l’unité
Notons que trouver les racines nième de l’unité revient à résoudre l’équation :
z n = 1.
Et rappelons que θ = ϕ (2π) (on lit θ est égale à ϕ modulo 2π) signifie que θ = ϕ + 2kπ pour k ∈ Z.
Exemple 21 Trouver les racines carrées de l’unité.
Solution : Trouver les racines carrées de l’unité revient à résoudre l’équation z 2 = 1.
Pour cela on écrit 1 sous forme trigonométrique et on cherche z sous forme trigonométrique z = ρ(cos θ +
i sin θ) = [ρ, θ]. Ainsi sous forme trigonométrique l’équation z 2 = 1 s’écrit
[ρ, θ]2 = [1, 0]
soit [ρ2 , 2θ] = [1, 0]
car
1 = 1(cos 0 + i sin 0) = [1, 0]
ainsi
½
ρ2 = 1
2θ = 0 (2π)
ce qui est équivalent à
et donc
½
1
ρ = 12
2θ = 0 + 2kπ pour k ∈ Z
(
ρ=1
0 2kπ
pour k ∈ Z
θ= +
2
2
on peut facilement voir que les seules racines distinctes sont
k=0
k=1
2·0·π
2·0·π
) + i sin(
) = cos 0 + i sin 0
2
2
2·1·π
2·1·π
2π
2π
z1 = cos(
) + i sin(
) = cos
+ i sin
2
2
2
2
z0 = cos(
0
z1
=1
= −1
z0
Exemple 22 Trouver les racines troisièmes de l’unité.
Solution : Trouver les racines troisièmes de l’unité revient à résoudre l’équation z 3 = 1.
Comme dans l’exemple précédent on cherche z sous forme trigonométrique z = ρ(cos θ + i sin θ) = [ρ, θ].
Ainsi sous forme trigonométrique l’équation z 2 = 1 s’écrit
[ρ, θ]3 = [1, 0]
soit [ρ3 , 3θ] = [1, 0]
12
et donc
½
ρ3 = 1
3θ = 0 (2π)
ce qui est équivalent à
par suite on a
½
1
ρ = 13
3θ = 0 + 2kπ pour k ∈ Z
(
ρ=1
0 2kπ
θ= +
pour k ∈ Z
3
3
on peut facilement voir que les seules racines distinctes sont
k=0
k=1
k=2
2·0·π
2·0·π
) + i sin(
) = cos 0 + i sin 0
3
3
2·1·π
2·1·π
2π
2π
z1 = cos(
) + i sin(
) = cos
+ i sin
3
3
3
3
2·2·π
2·2·π
4π
4π
z2 = cos(
) + i sin(
) = cos
+ i sin
3
3
3
3
z0 = cos(
=1
= − 12 +
= − 12 −
√
3
2 i
√
3
2 i
z1
0
z0
z2
En général, la résolution z n = 1 dans C revient à chercher z = ρ(cos θ + i sin θ) = [ρ, θ] tel que
[ρn , nθ] = [1, 0]
ce qui donne
½
ρn = 1
nθ = 0 (2π)
soit
ce qui est équivalent à
(
ρ=1
0 2kπ
θ= +
n
n
Donc toutes les racines ont le même module.
½
1
ρ = 1n
nθ = 0 + 2kπ pour k = 0, · · · , n − 1
pour k = 0, · · · , n − 1
Conclusion 1 z n = 1 admet n racines distinctes qui sont données par
zk = cos
c’est-à-dire
k=0
2kπ
2kπ
+ i sin
avec k ∈ {0, · · · , n − 1}
n
n
2·0·π
2·0·π
) + i sin(
) = cos 0 + i sin 0
n
n
2·1·π
2·1·π
2π
2π
k=1
z1 = cos(
) + i sin(
) = cos
+ i sin
n
n
n
n
2·2·π
2·2·π
4π
4π
k=2
z2 = cos(
) + i sin(
) = cos
+ i sin
n
n
n
n
2·3·π
2·3·π
6π
6π
k=3
z3 = cos(
) + i sin(
) = cos
+ i sin
n
n
n
n
..
..
.
.
2 · (n − 1) · π
2 · (n − 1) · π
) + i sin(
)
k =n−1
z(n−1) = cos(
n
n
Notons que les points Mi d’affixe zi sont sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle unité de centre
O (M0 = A(z0 )).
z0 = cos(
13
z3
z2
z1
z0
3.7.3
Résolution des équations — Racines nième d’un complexe
Soit α = a + ib un nombre complexe donné. On propose de déterminer les racines nième de α. Notons que
ceci revient à résoudre l’équation :
z n = α.
Pour cela on écrit α sous forme trigonométrique
α = σ(cos ϕ + i sin ϕ)
et on cherche z forme trigonométrique
z = ρ(cos θ + i sin θ)
et l’équation devient
ρn (cos nθ + i sin nθ) = σ(cos ϕ + i sin ϕ)
cette équation et donc possible si et seulement si
½

 ρ = σ n1
ce qui équivalent à
1
2kπ
 θk = ϕ +
n
n
ρn = σ
nθ = ϕ (2π)
même module
k = 0, · · · , n − 1
Conclusion 2 L’équation z n = α admet n racines distinctes :
1
zk = σ n (cos(
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ
) + i sin(
)) avec k ∈ {0, · · · , n − 1}
n
n
c’est-à-dire
k=0
³
ϕ
ϕ´
1
z0 = σ n cos + i sin
n
µ n
¶
ϕ + 2π
ϕ + 2π
1
k=1
z1 = σ n cos
+ i sin
n
n ¶
µ
ϕ + 4π
ϕ + 4π
1
k=2
z2 = σ n cos
+ i sin
n
n ¶
µ
ϕ + 6π
ϕ + 6π
1
k=3
z3 = σ n cos
+ i sin
n
n
..
..
.
.
µ
¶
ϕ + 2 · (n − 1) · π
ϕ + 2 · (n − 1) · π
1
n
cos(
k =n−1
z(n−1) = σ
) + i sin(
)
n
n
Les points Mi d’affixe zi sont sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de rayon r = ρ de centre
O (M0 = A(z0 )).
Remarque 4 Les solutions de z 2 = a sont appelées les ”racines carrées” de a. Ces deux racines sont opposées.
En effet :
— Si a = 1 on a z1 = 1 et z2 = −1 ;
θ 2π
√ θ
√
√ θ
√ θ
— Si a = ρeiθ 6= 1 on a : z1 = ρei 2 et z2 = ρei( 2 + 2 ) = ρei 2 × eiπ = − ρei 2 = −z1
14
Exemple 23 Déterminer les racines quatrième de α = 1 + i.
Solution : rappelons que cela revient à déterminer des complexe z = ρ(cos θ + i sin θ) tel que : z 4 = 1 + i.
Tout d’abord on met α = 1 + i sous forme trigonométrique
√
√
√
√
π
π
2
2
1 + i = 2(
+ i.
) = 2(cos + i sin )
2
2
4
4
Ainsi, en utilisant les notations exponentielles on a :
z4 = 1 + i
donne ρ4 (cos 4θ + i sin 4θ) =
√
π
π
2(cos + i sin )
4
4
ceci est possible si et seulement si :
(
√
ρ4 = 2
π
4θ = (2π)
4
D’où les solutions sont

 ρ = 2 18
π
2kπ
 θk =
+
16
4
k = 0, · · · , 3
³
√
π
π´
8
2 cos
+ i sin
³π
√ ³ ³16π
π ´16
π ´´
z1 = 8 2 cos
+
+ i sin
+
2´
16
2´´
³π
√ ³ ³ 16
π
z2 = 8 2 cos
+ π + i sin
+π
16
µ µ16
¶
µ
¶¶
√
π
3π
π
3π
z3 = 8 2 cos
+
+ i sin
+
16
2
16
2
z0 =
k=0
k=1
k=2
k=3
Exemple 24 Déterminer les racines troisième de α = i.
Solution : Cela revient à déterminer des complexe z = ρ(cos θ + i sin θ) tel que : z 3 = i.
Tout d’abord on met α = i sous forme trigonométrique
i = 1(0 + i.1) = 1(cos
π
π
+ i sin )
2
2
Ainsi, en utilisant les notations exponentielles on a :
z3 = i
donne ρ3 (cos 3θ + i sin 3θ) = 1(cos
π
π
+ i sin )
2
2
ceci est possible si et seulement si :
(
ρ3 = 1
π
3θ = (2π)
2

 ρ = 1 13
π 2kπ
 θk = +
6
3
k = 0, · · · , 2
D’où les racines troisième de α = i sont
³
√
π
π´
k=0
z0 = cos + i sin
= 23 + 12 i
6
6¶
µ µ
µ
¶¶
√
π 2π
π 2π
k=1
z1 = cos
+
+ i sin
+
= − 23 + 12 i
3
³ ³ π6
´
³ π 6 ´´3
√
k=2
z2 = cos
+ π + i sin
+π
= − 23 − 12 i
6
6
3.7.4
Résolution des équations — Racines carrées
Soit α = a + ib un nombre complexe donné. Déterminer les racines carrées de revient à déterminer les
complexes z tel que :
z 2 = a + ib
Notons que cette équation est un cas particulier de ce qu’on vient de voir ci-dessus. Pour la résoudre on propose
une nouvelle méthode appelée Méthode algébrique. Cette méthode consiste à chercher les racines sous forme
algébrique : z = x + iy. On a donc
z 2 = a + ib
c’est-à-dire (x + iy)2 = a + ib
15
Soit
x2 − y 2 + i2xy = a + ib
ce qui est équivalent à
½
Par ailleurs
x2 − y 2 = a
2xy = b
2
|z| = |α| ⇐⇒ x2 + y 2 =
D’où enfin
p
a2 + b2

√
 x2 + y 2 = a2 + b2
z 2 = a + ib est équivalent à
x2 − y 2 = a

signe de xy = signe de b
En résolvant ce système, on détermine les deux racines de a + ib.
Exemple 25 Résoudre dans C l’équation : z 2 = − 34 − i.
Solution : On cherche ces racines par la méthode algébrique. On a donc
3
z2 = − − i
4
Par ailleurs on
soit
3
x2 − y 2 + i2xy = − − i
4
sµ ¶
2
5
3
2
+ (−1) =
|z| = |1 + i| ⇐⇒ x + y =
4
4
2
2
2
A partir des deux équations ci-dessus on a
 2
 x + y 2 = 54
x2 − y 2 = − 34

xy < 0
(1)
(2)
(3)
Pour résoudre ce système on procède de la manière suivante (c’est une technique très utile)
(1) + (2) donne (x2 + y 2 ) + (x2 − y 2 ) =
(1) − (2) donne (x2 + y 2 ) − (x2 − y 2 ) =
5
4
5
4
1
2
2y 2 = 2
+ (− 34 ) soit 2x2 =
− (− 34 ) soit
On déduit donc que
1
4
y2 = 1
x2 =
par conséquent
1
2
y = ±1
x=±
1
1
1
1
ces solutions nous donne quatre complexes qui sont : + i, − + i, − i et − − i. Or la troisième équation
2
2
2
2
du système xy < 0 permet de déduire les bonnes solutions qui sont
1
z1 = − + i
2
et
z1 =
1
−i
2
Remarque 5 Les deux racines de z 2 = α sont opposées et s’appellent les ”racines carrées” de α. En effet :
1. Si α = 1, on a z1 = 1 et z2 = −1 (donc opposée)
2. Si α 6= 1 α = ρeiθ et on montre facilement que les racines de α sont z1 =
θ
2π
√ iθ
√
ρe 2 et z2 = ρei( 2 + 2 ) or
θ
√ i( θ2 + 2π
√ i( θ2 ) i(π) √ i( θ2 )
√
2 ) =
ρe
ρe
.e
= ρe
(cos π + i sin π) = − ρei( 2 )
et par conséquent les deux racines sont opposées.
16
3.7.5
Résolution des équations — Equation du second degré
On s’intéresse à la résolution dans C de l’équation
ax2 + bx + c = 0
où les coefficients a, b et c sont dans C.
Cas 1 Si a = 0 et b 6= 0 alors x =
−c
b
Cas 2 Supposons que a 6= 0
L’équation peut se mettre sous la forme :
a(x +
b 2
b2
b2 − 4ac
∆
b
= 2 avec ∆ = b2 − 4ac
) +c−
= 0 soit (x + )2 =
2a
4a
2a
4a2
4a
∆
Ainsi résoudre l’équation revient à chercher les racines carrées de 2 ou de ∆
4a
— Si ∆ 6= 0, on sait qu’il a toujours deux racines opposées z0 et −z0 . D’où les racines de l’équation :
x1 =
−b + z0
−b − z0
; x2 =
2a
2a
— Si ∆ = 0, il y a une racine double :
x=
−b
2a
Conclusion 3 Dans le cas où ∆ est non nulle, résoudre ax2 + bx + c = 0 revient à déterminer les racines
de ∆. Pour cela on utilise souvent la méthode algébrique.
Exemple 26 Résoudre l’équation du second ordre suivante
x2 + 9 = 0
Solution : cette équation s’écrit :
x2 = −9 = i2 9
et la détermination des solutions devient évidente :
x1 = 3i
et
x2 = −3i
Et l’ensemble des solutions S = {−3i ; 3i}.
Exemple 27 Résoudre l’équation
x2 + 4x + 5 = 0
Solution :
Etape 1 : On cherche le discriminant
∆ = 42 − 4 (1) (5) = −4
Etape 2 : On cherche les racines de ∆ = −4. Ces racines sont donc
z0 = 2i
et
z1 = −2i
Etape 3 : les racines de l’équation sont
x1 =
−b + z0
−4 + 2i
=
= −2 + i
2a
2
et
Ainsi l’ensemble des solutions S = {−2 + i ; −2 − i}.
17
x2 =
−b − z0
−4 − 2i
=
= −2 − i
2a
2
Exemple 28 Résoudre l’équation x2 − 3ix + 4 = 0, Solution is : {x = 4i} , {x = −i}
Solution :
Etape 1 : On cherche le discriminant
2
∆ = (−3i) − 4 (1) (4) = −25
Etape 2 : On cherche les racines de ∆ = −25. Ces racines sont donc
z0 = 5i
et
z1 = −5i
Etape 3 : les racines de l’équation sont
x1 =
−b + z0
3i + 5i
=
= 4i
2a
2
et
x2 =
−b − z0
3i − 5i
=
= −i
2a
2
Ainsi l’ensemble des solutions S = {4i ; −i}.
Exemple 29 Résoudre l’équation z 2 + (−3 − 4i)z − 1 + 5i = 0, Solution is : {z = 1 + i} , {z = 2 + 3i}.
Solution :
Etape 1 : On cherche le discriminant
∆ = b2 − 4ac = (−3 − 4i)2 − 4(−1 + 5i) = −3 + 4i
Etape 2 : On cherche les racines de ∆ = −3 + 4i par la méthode algèbrique. Pour cela on cherche z = x + iy tel
que z 2 = −3 + 4i. Soit
x2 − y 2 + i2xy = −3 + 4i de plus |z|2 = |−3 + 4i| ⇐⇒ x2 + y 2 = 5
A partir des deux équations ci-dessus on a
 2
(1)
 x + y2 = 5
(1) + (2) donne (x2 + y 2 ) + (x2 − y 2 ) = 5 − 3 soit 2x2 = 2
x2 − y 2 = −3 (2) et donc
(1) − (2) donne (x2 + y 2 ) − (x2 − y 2 ) = 5 + 3 soit 2y 2 = 8

xy > 0
(3)
On déduit donc que : x = ±1 et y = ±2. Comme xy > 0 on a
z0 = 1 + 2i
et
z1 = −1 − 2i
Etape 3 : les racines de l’équation sont
x1 =
−b + z0
−(−3 − 4i) + 1 + 2i
=
= 2 + 3i
2a
2
et
x2 =
−b − z0
−(−3 − 4i) − 1 − 2i
=
=1+i
2a
2
Ainsi l’ensemble des solutions S = {2 + 3i ; 1 + i}.
3.8
3.8.1
Compléments : Conséquences de la notation exponentielle
Notation exponentielle — Justification formelle
D’après Euler, un nombre complexe peut se mettre sous forme exponentielle eit via les fonctions trigonométriques
cos t et sin t comme suit :
eit = cos t + i sin t
La justification de telle notation est basée sur la dérivation formelle des deux termes de l’expression ci-dessus.
Plus précisément,
— d’une part, on a :
d it
(e ) = ieit = i cos t + i2 sin t
dt
= i cos t − sin t
= − sin t + i cos t
(car
d
at
dt (e )
= aeat et on prend a = i)
18
— d’autre part, on a :
d
(cos t + i sin t) = − sin t + i cos t
dt
En plus, pour t = 0, on obtient 1 des deux côtés.
Ce qui de permet de donner une justification formelle à l’identité ci-dessus.
La formulation eiθ = cos θ + i sin θ est très importante pour plusieurs résultats en trigonométrie et en calcul
différentiel. Elle permet, surtout, de déterminer aisément un certains nombre de formules trigonométriques.
3.8.2
Notation exponentielle — Identités Trigonométriques
La notation d’Euler permet d’avoir
eit .eis = ei(t+s)
qui s’écrit, en terme de fonctions cos et sin :
(cos t + i sin t)(cos s + i sin s) = cos(t + s) + i sin(t + s)
d’où on déduit
cos(t + s) = cos t cos s − sin t sin s
et
cos(t + s) = sin t cos s + cot t sin s
Ceci vous donne un moyen très simple pour retrouver ces formules trigonométriques.
On peut aussi exprimer les fonctions trigonométriques en terme des nombres complexes eit et e−it en se
rappelant que cos est paire et que sin est impaire. On procède comme suit :
eit = cos t + i sin t
e−it = cos t − i sin t
(1)
(2)
en additionnant (1) et (2) et en divisant par 2, on obtient
cos t =
eit + e−it
2
en retranchant de (1) le (2) et en divisant par 2i, on obtient
sin t =
eit − e−it
2i
Une autre manipulation suggérée par la notation exponentielle :
eit .e−it = eit−it = e0 = 1
Ce qui permet d’avoir
1 =
=
=
=
(cos t + i sin t)(cos(−t) + i sin(−t))
(cos t + i sin t)(cos t − i sin t)
cos2 t − i2 sin2 t
cos2 t + sin2 t
Il y a plusieurs autres exemples d’utilisation de cette fabuleuse notation exponentielle. Comme exemple, noter
qu’on peut en extraire un très grand nombre d’identités. Rappelez-vous que
cos nt + i sin nt = eint = (eit )n = (cos t + i sin t)n
19
3.8.3
Notation exponentielle — Calcul différentiel
Les fonctions de la forme eat cos bt et eat sin bt interviennent souvent dans plusieurs applications. Pour la
détermination de leurs dérivées, on peut utiliser la formule d’Euler et la lois de la dérivation du produit :
d at
d (a+ib)t
)
(e cos bt + ieat sin bt) =
(e
dt
dt
= (a + ib)e(a+ib)t
= (a + ib)(eat cos bt + ieat sin bt)
= (aeat cos bt − beat sin bt) + i(beat cos bt + aeat sin bt)
{z
}
{z
}
|
|
(eat cos bt)0
(eat sin bt)0
ce qui donne simultanément les dérivées des deux fonctions : eat cos bt et eat sin bt. Cette procédure est très
agréable pour la recherche des dérivées d’ordre supérieur.
3.8.4
Notation exponentielle — Equations différentielles
Cette notation exponentielle intervient quand on veut résoudre des équations différentielles à coefficients
constants. Dans ce cas, le but étant de trouver les réels a et b telles que eat cos bt et eat sin bt soient solutions de
telles équations.
Exemple 30 Considérons l’équation différentielle :
ay” + by 0 + cy = 0
Celle-ci peut être résolue en cherchant des solutions sous forme y(x) = erx . En substituant dans l’équation, on
constate qu’une telle fonction est solution de équation différentielle si et seulement si on a :
ar2 + br2 + c = 0
Cette dernière équation algébrique peut admettre des solutions complexes. Dans de tels cas, la formule d’Euler
nous permet d’obtenir les fonctions solutions à valeurs réelles.
20