NOMBRES COMPLEXES

NOMBRES COMPLEXES
I- Définitions et règles de calcul dans ℂ
Définition
Un nombre complexe est un nombre de la forme Z = a + i b où a et b sont des réels et i un
nombre vérifiant i² = –1
L'ensemble des nombres complexes est noté ℂ
Vocabulaire :
•
La forme a + i b s’appelle la forme algébrique du nombre complexe Z
•
le réel a s’appelle la partie réelle de Z notée Re(Z) et le réel b la partie imaginaire notée Im(Z)
•
Si la partie réelle d'un nombre complexe Z est nulle, on a Z = ib .
Z est alors appelé un imaginaire pur
Théorème
Pour tout nombre complexe Z,
•
Z est un réel si et seulement si Im(Z) = 0
•
Z est un imaginaire pur si et seulement si Re(Z) = 0
donc ℝ ⊂ ℂ
Définition
Deux nombres complexes Z = a + i b et Z’ = a’ + i b' sont égaux si et seulement si a = a’ et b = b’
En particulier, a + i b = 0 si et seulement si a = 0 et b = 0 .
Opération sur les nombres complexes
Soit Z et Z' deux nombres complexes de forme algébrique : Z = a + ib et Z' = a' + i b'
•
Somme et produit
Z + Z' =
ZZ' =
•
Inverse et quotient
1
Z
=
Z
pour Z' ≠ 0 , Z ' =
Applications: Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique
( 1 + 2 i )( 5 – 4 i ) =
1
4 2 i
=
52 i
13 i
=
II- Nombre complexe conjugué
Définition
On appelle nombre complexe conjugué de Z = a + ib le nombre complexe, noté Z , tel que
Z
= a – ib
Exemple : Le nombre complexe conjugué de Z = 2 + 3i est Z =
Conséquence : On a Z + Z =
et Z – Z =
Z réel ⇔
d’où les propriétés suivantes :
Z est imaginaire pur ⇔
et
Propriété des conjugués
Pour tous nombres complexes Z et Z’, on a :
Z  Z ' =Z  Z '
, – Z= – Z ,
ZZ ' = Z Z '
,
n
Z =Z
n
,
 
Z
Z
=
Z'
Z'
pour Z' ≠ 0
Démonstration : Posons Z = a + ib et Z’ = a’+ ib’. Alors :
Z Z '
=
Z Z '
=
Exemples :
4–5i
•
Le conjugué de Z = 3i
•
2
Le conjugué de Z = 2 z – i est Z =
est Z =
5 z i
III- Module d'un nombre complexe
Définition
On appelle module d’un nombre complexe Z = a + bi la quantité positive ∣Z∣=  a2b 2
Exemple : Module de 3 – 2i
Théorème : Propriété des modules
Pour tout nombre complexe Z et Z’, on a :
1)
∣Z∣2=Z Z
2) ∣– Z∣=∣Z∣
4)
∣Z × Z '∣=∣Z∣ × ∣Z '∣
. En particulier, si k est un réel, ∣k × Z∣=∣k∣ × ∣Z∣
5)
3) ∣Z∣=∣Z∣
∣ZZ' ∣=∣∣ZZ∣'∣
6) Inégalité triangulaire :
7) ∣Z n∣=∣Z∣n
∣Z  Z '∣ ≤ ∣Z∣∣Z '∣
Démonstration :
IV- Equations du second degré
Théorème
Soit a , b et c trois réels avec a ≠ 0. L'équation az2 bzc=0 a pour discriminant =b2 – 4 ac .
On rencontre alors trois cas :
– b– 
– b 
• Si 0 , l'équation admet deux solutions réelles z1 =
et z2 =
2a
2a
b
• Si =0 , l'équation admet une solution réelle z0 =–
2a
– b – i  −
– bi  −
• Si 0 l'équation admet deux solutions complexes : z1 =
et z2 =
2a
2a
Exemple : Résoudre l'équation 2 z2 – 3 x5=0
V- Représentation géométrique d’un nombre complexe
Munissons le plan d’un repère orthonormé ( O , u , v )
Principe : A tout nombre complexe Z = a + ib , on lui associe le point M de coordonnées (a ;b)
Z1 = 2 + i
Z2 = 3 – 2i
Z3 = Z 2
Vocabulaire :
•
Le point M(a ;b) s’appelle l’image du nombre
complexe Z = a + bi
•
Le nombre complexe Z = a + bi s’appelle
l'affixe du point M(a ;b) (affixe : nom féminin)
On note Z = affixe(M) ou Z = aff(M)
Affixe d’un vecteur, du milieu d’un segment .
Soit A et B deux points du plan complexe admettant pour affixes respectives ZA et ZB .
*
l’affixe du vecteur 
AB est ZB – ZA
*
l’affixe du milieu I du segment [AB] est : ZI =
Démonstration :
•
notons A(xA ; yA) et B(xB ; yB) . On a alors : ZA = xA + iyA et ZB = xB + iyB.
Nous savons que les coordonnées du vecteur 
AB sont (xB – xA ; yB – yA )
Or ZB – ZA = xB + iyB – (xA + iyA ) = (xB – xA) + i (yB – yA) donc l’affixe du vecteur 
AB est ZB– ZA.
•
Milieu d'un segment
Ces interprétations géométriques des nombres complexes permettent de traduire des problèmes de géométrie en
relations entre nombres complexes. Ainsi, on adaptera les règles vues avec des coordonnées aux affixes :
•
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même affixe
•
L’affixe d’une somme de deux vecteurs est la somme des affixes de ces vecteurs
VI- Forme trigonométrique d’un nombre complexe
a) L'argument
Définition: On appelle argument d’un nombre complexe Z non nul, toute
mesure en radians de l’angle ( u ; 
OM )
On note ( u ; 
OM ) = Arg (Z)
Un point M du plan peut alors être repéré de deux manières :
*
par son affixe z = a + i b
*
par ses coordonnées polaires ( ∣z∣ ; arg(z) )
Remarque sur l’argument Un nombre complexe admet une infinité d’argument.
Si  est un argument de Z, tout autre argument de Z est de la forme  + 2 k  (k ∈ ℤ).
L’argument principal est celui qui appartient à ] –  ;  ]
Exemples :
Arg (i ) =
Arg (1) =
Arg (–1) =
Arg (–i) =
b) Forme trigonométrique
L’écriture Z = a + ib s’appelle la forme algébrique de Z
Or nous avons vu que a = r cos  et b = r sin  où r = Z et  = Arg(Z).
Le nombre complexe Z peut donc s’écrire : Z = r ( cos θ + i sin θ ) ; cette écriture s’appelle la forme
trigonométrique de Z
Définition
Soit Z un nombre complexe non nul . L’écriture Z = ∣z∣ (cos  + i sin  ) où  = Arg(Z)
s’appelle la forme trigonométrique de Z
Lien entre forme trigonométrique et forme algébrique
z = a + i b ⇔ z = ∣z∣ ( cos  + i sin  )
avec ∣z∣=  a 2 b 2 , cos  =
Déterminer la forme trigonométrique de z = 1 + i
a
 a b
2
2
, sin  =
b
 a b 2
2
Théorème : Propriété des arguments
Arg  Z  =
Arg (–Z) =
Arg −Z  =
Arg(ZZ’) =
 =
Arg   =
Arg
1
Z'
Z
Z'
Arg  Z n  =
Démonstration :
VII- Forme exponentielle d’un nombre complexe
Considérons la fonction f définie sur ℂ par f(  ) = cos  + i sin  et à valeur dans ℂ , vérifie :
•
f (  +  ’) =
•
Si on étend les règles de dérivation dans ℝ à ℂ , les fonctions sinus et cosinus étant dérivables, on obtient :
f’()=
La fonction f est donc solution de l’équation :
Or les fonctions proportionnels à leur dérivée sont de la forme :
Comme f(0) =
On en déduit la valeur de la constante k :
Et on obtient : f(  ) =
On peut ainsi faire une analogie avec la fonction exponentielle et adopter la définition suivante :
Pour tout réel  , on note ei  =cos i sin 
Définition
e iθ désigne donc le nombre complexe de module 1 et d’argument  .
Un nombre complexe de module r et d’argument  peut donc s’écrire : z = r e iθ :
c’est une forme
exponentielle de z
Exemples : ei0 =
e
i

2
=
ei  =
Le conjugué de e iθ est :
Une simple transcription des propriétés vues sur les arguments donne alors :
Théorème : pour tout  et  ’, on a :
ei 
i' =
e
ei  . ei ' =
La notation exponentielle rend les calculs très simples :
Si Z =
3e
i

4
et Z’ =
7e
−i
2
3
alors ZZ’ =
n
 ei   =
n∈ℤ
VIII- Application à la géométrie
Théorèmes :
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( O ; u , v )
A , B , C , D désignant quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives z A , z B , zC , z D , on a les relations
suivantes :
1 : ( u ; 
AB ) =
2 : AB =
3:( 
AB ; 
CD ) =
4:
AB
=
CD
Démonstration :
1) On construit le point E tel que 
AB étant z B – z A , le vecteur 
OE = 
OE a pour affixe
AB . L'affixe du vecteur 
lui aussi z B – z A d'où ( u ; 
AB ) =
2) On a avec les mêmes notations : AB =
3) On utilise la relation de Chasles pour les angles orientés :
( 
AB ; 
CD ) =
4) Evident
Conséquences :
Alignement de trois points :
A, B, C alignés ⇔ ( 
AB ; 
AC ) = 0 ⇔ arg

zC – zA
zB – zA

=0 ⇔
zC – z A
…..
zB – zA
Parallélisme de deux droites :
(AB) et (CD) parallèles ⇔

AB ; 
CD =0  ⇔ arg


zD – zC
z D – zC
=0 ⇔
…..
zB – zA
zB – zA
Orthogonalité de deux droites :
(AB) perpendiculaire à (CD) ⇔  
AB ; 
CD =


zD – zC


=
 ⇔ arg
 ⇔
2
zB – zA
2
z D – zC
…..
zB – zA