Chapitre 7 – Puissances d`un nombre

Chapitre 7 – Puissances d’un nombre
I – De l’écriture pénible à l’écriture sous forme d’une puissance
Lorsqu’on multiplie de nombreuses fois plusieurs facteurs identiques, c’est long, c’est pénible.
exemple :
4×4×4×4×4×4×4×4×4×4×4×4×4
Du coup on a inventé une écriture bien plus rapide et jolie : la notation sous forme de puissance.
Dans notre exemple, on compte 13 facteurs tous identiques à 4.
On va noter ce même nombre : 413 .
On dit qu’on a élevé 4 à la puissance 13, ou alors on lit « 4 exposant 13 ».
On peut ainsi calculer :
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
ou encore :
(−5)3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125
II – Calculer avec des puissances
Du fait de leur définition, les calculs avec les puissances n’ont d’intérêt que pour les multiplications.
On se souvient aussi que diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse.
Les calculs avec les puissances seront donc également intéressants pour les divisions.
Par contre, pour les additions et les soustractions, manipuler les puissances ne sera pas pratique. Il faudra
revenir à la notation décimale (ou à une autre notation plus adaptée).
Multiplier entre elles des puissances d’un même nombre :
24 × 23 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27
A l’aide des nombres 4 et 3, on peut facilement retrouver le nombre 7 en faisant une addition des
puissances.
Donc :
24 × 23 = 24+3
Exemple intéressant :
43 × 4−3 = 43+(−3) = 40
Si on tape à la calculatrice 40 , elle répond que le résultat est 1.
On se souvient (j’espère) qu’on est en présence de 2 nombres inverses l’un de l’autre (puisque leur produit
Cela signifie que 4−3 est l’inverse de 43 .
On peut donc noter :
1
4−3 = 3
4
Donc lorsqu’un nombre est élevé à une puissance positive, on le multiplie par lui-même autant de fois
qu’indiqué par la puissance.
Quand un nombre est élevé à une puissance négative, on divise 1 par ce nombre autant de fois qu’indiqué
par la puissance.
1
4−3 =
4×4×4
III – Quelques formules à savoir retrouver
(au moins en repassant par l’écriture pénible)
51 = 5
(on multiplie le nombre 5 une seule fois par lui-même)
1
4
Pour prendre l’inverse d’un nombre, on l’élève à la puissance -1.
4−1 =
(83 )2 = 83 × 83 = 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 86
(83 )2 = 83×2
A quoi ça sert ?
Les puissances sont très utiles pour travailler avec de très grands nombres (la distance entre 2 planètes) ou
avec de très petits nombres (la taille d’un atome).
On les retrouve aussi souvent dans notre vie de tous les jours quand on observe les unités :
Un rectangle de 3 cm².
Une piscine de 50 m3.
Une vitesse limitée à 30 km.h-1 ce qui se lit « trente kilomètres par heure ». On rencontre plus souvent la
notation km/h.
Une masse molaire atomique de 16 g.mol-1 pour l’oxygène. On lit 16 grammes par mole, ce qui signifie que
chaque mole d’oxygène a une masse de 16 grammes.