Le corps des complexes

Le corps des complexes
Nous souhaitons construire un ensemble C qui contient les réels et tel qu’on peut
ajouter, multiplier et inverser ses éléments (c’est-à-dire un corps). On souhaite
de plus que cet ensemble contienne un élément i de carré −1.
Pour cela, nous considérons l’ensemble C = R2 et allons définir une addition et
une multiplicatiom sur ses éléments.
y
(x, y)
x
L’élément (x, y) ∈ R2 sera noté z = x + iy.
La partie réelle de z est par définition x et est notée Re(z), sa partie imaginaire
est y et est notée Im(z). De sorte qu’on a z = Re(z) + iIm(z).
Nous considérerons R comme un sous-ensemble de C via l’identification de x ∈ R
avec x + i.0. On a donc
R = {x + i − 0; x ∈ R} = {z ∈ C tel que Im(z) = 0} ⊂ C
Les complexes de la forme 0 + iy (avec y ∈ R) sont appelés des imaginaires purs.
L’addition de deux complexes
Soient z, z 0 ∈ C, z = x + iy, z 0 = x0 + iy 0 . On note
z + z 0 = (x + x0 ) + i(y + y 0 ).
Si z et z 0 sont réels (Im(z) = Im(z 0 ) = 0) alors l’addition est l’addition usuelle.
La multipliciation de deux complexes
Soient z, z 0 ∈ C, z = x + iy et z 0 = x0 + iy 0 . On note
zz 0 = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + yx0 )
(obtenu en développant formellement et en utilisant i2 = −1).
Si z et z 0 sont réels alors on retrouve la multiplication habituelle.
D’autre part, pour tout z ∈ C∗ = C \ {0}, il existe un inverse, à savoir
x
y
1
−
i
.
= 2
z
x + y2
x2 + y 2
Le conjugué d’un complexe
Soit z ∈ C, z = x + iy. Nous notons
z̄ = x − iy
c’est le conjugué de z.
1
2
On a alors R = {z ∈ C tel que z = z̄}.
proposition 1. ∀z, z 0 ∈ C on a z + z 0 = z̄ + z̄ 0 et zz 0 = z̄ z̄ 0
Preuve : Exercice
Module d’un complexe
Soit z ∈ C, z = x + iy. On note
|z| =
p
x2 + y 2
c’est le module de z.
En particulier, |z|2 = z z̄.
Si x ∈ R, alors on retrouve la valeure absolue usuelle d’un nombre réel.
En particulier ||z|| = |z|.
proposition 2. Pour tout z, z 0 ∈ C on a |zz 0 | = |z||z 0 |.
Preuve : Exercice.
Soit z, z 0 ∈ C. La distance entre les deux points de R2 correspondant est |z − z 0 |.
On a les relations
- ∀z, z 0 ∈ C, |z − z 0 | ≥ 0
- ∀z, z 0 ∈ C, |z − z 0 | = 0 ⇔ z = z 0
- ∀z, z 0 , z 00 ∈ C |z − z 00 | ≤ |z − z 0 | + |z 0 − z 00 | (inégalité triangulaire)
Argument d’un nombre complexe
Soit z ∈ C∗ . On a
z 1
= = 1 |z| = 1
|z| |z| |z|
z
donc |z| est un complexe de module 1 : il se situe sur le cercle unité.
z
|z|
θ
1
On peut donc l’écrire sous la forme z = cos θ+i sin θ avec θ ∈ R définit de manière
unique modulo 2π (c’est-à-dire à l’addition près d’un nombre de la forme 2kπ avec
k ∈ Z).
Le “nombre” (définit seulement modulo 2π) θ est appelé argument de z et noté
arg(z).
On peut donc écrire z ∈ C∗ sous la forme
z = |z|(cos arg(z) + i sin arg(z)).
3
Définition 0.1. Pour z ∈ C∗ , les nombres |z| et θ constituent les coordonnées
polaires du complexe z.
proposition 3. Soient z, z 0 ∈ C∗ . On a
arg(zz 0 ) = arg(z) + arg(z 0 )
mod 2π
Preuve : Notons z = ρ(cos θ + i sin θ) et z 0 = ρ0 (cos θ + i sin θ). On a alors
zz 0 = ρρ0 (cos θ + i sin θ)(cos θ0 + i sin θ0 )
= ρρ0 [(cos θ cos θ0 − sin θ sin θ0 ) + i(cos θ sin θ0 + sin θ cos θ0 )]
= ρρ0 [cos(θ + θ0 ) + i sin(θ + θ0 )]
On a donc |zz 0 | = ρρ0 = |z||z 0 | et arg(zz 0 ) = θ + θ0 mod 2π = arg(z) + arg(z 0 )
mod 2π.
Pour tout θ ∈ R on notera eiθ le complexe de module 1 ayant pour argument θ
(modulo 2π), c’est-à-dire
eiθ = cos θ + i sin θ
On a donc z = |z|ei arg(z) .
Cette notation est en accord avec la proposition précédente dans la mesure où
0
0
0
0
ei(θ+θ ) = eiθ eiθ (de même que pour les réels on a ex+x = ex ex ).
proposition 4 (Formule de Moivre). Pour tout θ ∈ R et tout n ∈ N on a
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ).
Preuve : Exercice
Racines d’un nombre complexe
Soit z un nombre complexe et n ∈ N. On appele racine n-ième de z un nombre
complexe z 0 tel que z 0n = z. En particulier un nombre complexe a en général
plusieurs racines n-ième. Par exemple les racine 2-ième de 1 sont 1 et −1. On
prendra garde à ne pas confondre les racines n-ièmes d’un nombre complexe avec
la racine n-ième d’un nombre réel positif.
√
1
On réservera les notation n x et x n au cas où x est un nombre réel positif. Cela
désignera alors le nombre réel positif x0 tel que x0n = x.
proposition 5. Soient z ∈ C∗ et n ∈ N \ {0}. Il existe
n racines n-ièmes
p
n
z1 , . . . , zn de z distinctes deux à deux. De plus |zj | =
|z| et n arg zj = arg z
mod 2π.
j
θ
√
Preuve : Notons z = ρeiθ . Il suffit de prendre zj = n ρei( n + n 2π) avec j ∈
{0, . . . , n − 1}.
Exercice 0.2. Retrouver les formules trigonométriques usuelles grace aux nombres
complexes : cos(x + y) = ..., sin(x − y) = ....
4
Racines n-ièmes de l’unités
Soit n ∈ N \ {0}. Nous nous interessons à l’ensemble
Un = {z ∈ C∗ tel que z n = 1}.
Un élément de cet ensemble est appelé une racine n-ème de l’unité. D’après la
proposition ci-dessus, c’est un ensemble à n-éléments.
1
proposition 6. Pour tout z, z 0 ∈ Un on a zz 0 ∈ Un , 1/z ∈ Un .
2jπ
De plus, tout élément de Un est de la forme ei n avec j ∈ {0, . . . , n − 1}.
Résolution des équations du second degré
Soient a, b, c ∈ C avec a 6= 0. Considérons l’équation du second degré
az 2 + bz + c = 0
On se demande si cette équation a des solutions en nombres complexes.
Comme a 6= 0, cette équation est équivalente à
b
c
z2 + z + = 0
a
a
et donc à
2
b2
c
b
− 2 + =0
z+
2a
4a
a
c’est-à-dire
2
b2
b
c
b2 − 4ac
z+
= 2− =
2a
4a
a
4a2
Notons ∆ = b2 − 4ac.
b 2
Si ∆ = 0 (i.e. b2 = 4ca) alors cette équation équivaut à z + 2a
= 0, c’est-à-dire
b
b
z + 2a = 0 et donc z = − 2a .
Supposons que ∆ 6= 0. On sait que tout nombre complexe non nul possède deux
racines carrées distinctes. Notons ∆1 et ∆2 ces racines carrées. En particulier, on
voit que ∆1 = −∆2 .
On a donc
b
∆1
b
∆2
z+
=
ou z +
=
2a
2a
2a
2a
et donc finalement
5
b + ∆2
b + ∆1
ou z = −
.
2a
2a
Dans le cas où ∆ est un réel positif, on retrouve bien les équations habituelles.
En pratique, il est parfois nécessaire d’extraire explicitement des racines carrées
de nombres complexes (celles de ∆ par exemple).
Soit z un nombre complexe. Si on peut écrire facilement z sous la forme ρeiθ alors
√
√
les racines carrées sont données par ρeiθ/2 et ρeiθ/2+iπ .
√
Exercice 0.3. Calculer les racines carrées de 3 + 3i 3.
z=−
Dans le cas général, on écrit z = a + ib et on cherche x, y ∈ R tels que (x + iy)2 =
a + ib.
En développant et identifiant parties réelles et parties imaginaires, on montre que
cette équation équivaut au système
x2 − y 2 = a et xy = b
D’autre part, en identifiant les modules de chaques côtés on trouve
√
x 2 + y 2 = a2 + b 2
Il est alors aisé de trouver x2 (i.e. x2 =
puis y en utilisant xy = b (si b 6= 0).
√
a+ a2 +b2
)
2
et donc x (deux possibilitées)