angle radians -20

Chapitre : Trigonométrie
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé
I.
; ,
Cercle trigonométrique
1) Repérage sur le cercle trigonométrique
Définition :
Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O et de rayon 1, et
qui est muni d’un sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Enroulement de la droite numérique :
Dans un repère orthonormé ; , , on considère le cercle
trigonométrique et une droite (AC) tangente au cercle en A et orientée
telle que ; soit un repère de la droite.
Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N
d’abscisse x de la droite orientée un unique point M du cercle.
On dit que M est l’image de x sur le cercle C.
Propriété : Tout point de C est l’image d’une infinité de réels.
Si x est l’un d’eux, les autres sont les réels x + k×2 où k∈ Ζ.
19π
5π
3π
et −
ont le même point image sur le cercle C que le nombre réel
.
4
4
4
3π
5π
3π
19π
− 2π = −
et
+ 4π =
4
4
4
4
Exemple : Les réels
2)
Le radian
Définition :
Soit C le cercle trigonométrique.
On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle.
Propriétés :
Si M est le point image d’un nombre réel x avec 0 ≤ x ≤
Exemple : Un angle plat mesure
alors
= x rad.
radians, un angle droit mesure
π
radians.
2
Propriété : Les mesures en radians et en degrés des angles sont proportionnelles.
En radians
0
π
6
π
4
π
3
π
π
2
En degrés
Exemples :
a) Donner la mesure en radians d’un angle de 162°.
On note α la mesure en radians de cet angle.
b) Donner la mesure en degrés d’un angle de rad.
On note d le mesure en degrés de cet angle. d =
22,5
II.
Cosinus et sinus d’un réel
1) Définitions et propriétés
Définitions : Soit M l’image d’un réel x sur le cercle trigonométrique.
- Le cosinus du nombre réel x, noté cos x, est l’abscisse de M
- Le sinus du nombre réel x, noté sin x est l’ordonnée de M.
Propriétés :
Pour tout nombre réel x, on a :
1) −1 ≤ cos x ≤ 1
2) −1 ≤ sin x ≤ 1
3) cos2 x + sin2 x = 1
4) cos x = cos x + 2kπ où k entier relatif
5) sin x = sin x + 2kπ où k entier relatif
(
)
(
)
Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus :
π
π
π
π
6
4
2
1
3
2
2
2
3
1
2
0
1
2
2
2
3
2
x
0
cos x
sin x
π
0
-1
1
0
2) Angles associés
Définition : Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou opposés.
Propriétés :
Pour tout nombre réel x, on a :
1) cos(−x) = cos x
et
sin(−x) = − sin x
(
)
2) cos π + x = − cos x
(
)
et sin π + x = − sin x
(
π
(
)
sin π − x = sin x
π

π

sin  − x  = cos x
2

3) cos π − x = − cos x et
5) cos  − x  = sin x et
2

)

4) cos  + x  = − sin x et
2

Exemple : Calculer la valeur exacte de :
a) cos
b) sin
c) cos
!
" réponse :
a)
b)
c)
!
"
# $
) ! $*
!
7
#
$% # &
!
2 #
$* % ) ! &
cos
"
# $
#
#$*
#
!
$ %#
√(
√
&
$% &
#
√(
π

sin  + x  = cos x
2

3) Equations trigonométriques
Propriété : Soit a un nombre réel.
L'équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + 2kπ et x = −a + 2kπ où k est un nombre relatif.
Propriété : Soit a un nombre réel.
L'équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + 2kπ et x = π − a + 2kπ où k est un nombre
relatif.
Exemple :
1) Résoudre l’ équation cos x = cos
π
6
a) dans l’intervalle ]- ; /
Les solutions de l'équation cos x = cos
b) dans ℝ
Les solutions de l'équation cos x = cos
π
6
π
6
dans l’intervalle ]- ; /sont
dans ℝ sont
π
6
+ 2kπ et −
01 #
π
6
+ 2kπ où k est un entier relatif.
2) Résoudre dans ℝ l’ équation sin x = −0,5
 π
π
π
7π
sin x = −0,5 donc sin x = sin  −  .L'équation a pour solution − + 2kπ et π + + 2kπ =
+ 2kπ où k est
6
6
6
 6
un entier relatif.
III.
Mesures d’un angle orienté
; ,
C est le cercle trigonométrique de centre O et
est un repère orthonormé direct.
1) Définitions
Définition 1:
Sur le cercle C, M est le point image d’un nombre réel x et N est le
point image d’un nombre réel y.
Les mesures en radians de l’angle orienté ( 333333 ; 3333334) sont les nombres réels y – x + k2
où k est un entier relatif.
On note ( 333333 ; 3333334)= y – x + 25 ou plus simplement ( 333333 ; 3333334) = y – x
Définition 2 :
6
3 et 7 sont deux vecteurs non nuls tels que : 6
3 33333 et 7 333338
A’ et B’ sont les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB)
avec le cercle trigonométrique C.
Les mesures en radians de l’angle orienté (6
3 ; 7 sont les mesures en radians de ( 3333333′; 3333333
8′)
Définition : Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont le cosinus et le sinus d’une quelconque de ses mesures.
2) Mesure principale
Propriété et définition : Parmi toutes les mesures de l’angle orienté (6
3 ; 7 , il en existe une et une seule dans
l’intervalle ]- ; /, on l’appelle la mesure principale de l’angle orienté (6
3 ;7 .
Exemple : (6
3 ; 7 est un angle orienté tel que (6
3 ;7 = #
Quelle est sa mesure principale ? #
"
(
)3
2
(
"
(
et
(
∈ ]- ; /
3) Propriétés des angles orientés
Propriétés : 6
3 et 7 sont deux vecteurs non nuls
•
•
6
3 et 7 sont colinéaires de même sens si et seulement si (6
3 ; 7 =0
6
3 et 7 sont colinéaires de sens contraires si et seulement si (6
3 ; 7 =
Relation de Chasles : Pour tous vecteurs non nuls 6
3 , 7 et ;
33 :
(6
3 ; 7 + (7 ; ;
33 = (6
3 ;;
33
3 ,7
Conséquences : Pour tous vecteurs non nuls 6
(1) (7 ; 6
3
(3) (#6
3 ;7
# (6
3 ;7
6
3 ;7 )
(2) (6
3 ; #7
(4) (#6
3 ; #7
6
3 ;7 )
6
3 ;7
C
Exemple 1: ABC est un triangle équilatéral tel que ( 333338; 33333< ) = (
33333 ;8<
33333 ) et ( 33333
Déterminer une mesure de chacun des angles orientés : ( 8
<8; 33333< )
33333 ) = #
33333 ; 33333< ) =( <8
33333 ; #<
33333 ) = ( 33333
33333 ) + = # )
( 383333 ;8<
( <8
<8;<
(
(
(
A
B
Exemple 2 :