Chapitre : Trigonométrie Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé I. ; , Cercle trigonométrique 1) Repérage sur le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre O et de rayon 1, et qui est muni d’un sens direct : le sens inverse des aiguilles d’une montre. Enroulement de la droite numérique : Dans un repère orthonormé ; , , on considère le cercle trigonométrique et une droite (AC) tangente au cercle en A et orientée telle que ; soit un repère de la droite. Si l’on « enroule » la droite autour du cercle, on associe à tout point N d’abscisse x de la droite orientée un unique point M du cercle. On dit que M est l’image de x sur le cercle C. Propriété : Tout point de C est l’image d’une infinité de réels. Si x est l’un d’eux, les autres sont les réels x + k×2 où k∈ Ζ. 19π 5π 3π et − ont le même point image sur le cercle C que le nombre réel . 4 4 4 3π 5π 3π 19π − 2π = − et + 4π = 4 4 4 4 Exemple : Les réels 2) Le radian Définition : Soit C le cercle trigonométrique. On appelle radian, noté rad, la mesure de l'angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle. Propriétés : Si M est le point image d’un nombre réel x avec 0 ≤ x ≤ Exemple : Un angle plat mesure alors = x rad. radians, un angle droit mesure π radians. 2 Propriété : Les mesures en radians et en degrés des angles sont proportionnelles. En radians 0 π 6 π 4 π 3 π π 2 En degrés Exemples : a) Donner la mesure en radians d’un angle de 162°. On note α la mesure en radians de cet angle. b) Donner la mesure en degrés d’un angle de rad. On note d le mesure en degrés de cet angle. d = 22,5 II. Cosinus et sinus d’un réel 1) Définitions et propriétés Définitions : Soit M l’image d’un réel x sur le cercle trigonométrique. - Le cosinus du nombre réel x, noté cos x, est l’abscisse de M - Le sinus du nombre réel x, noté sin x est l’ordonnée de M. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1) −1 ≤ cos x ≤ 1 2) −1 ≤ sin x ≤ 1 3) cos2 x + sin2 x = 1 4) cos x = cos x + 2kπ où k entier relatif 5) sin x = sin x + 2kπ où k entier relatif ( ) ( ) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus : π π π π 6 4 2 1 3 2 2 2 3 1 2 0 1 2 2 2 3 2 x 0 cos x sin x π 0 -1 1 0 2) Angles associés Définition : Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et des sinus égaux ou opposés. Propriétés : Pour tout nombre réel x, on a : 1) cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin x ( ) 2) cos π + x = − cos x ( ) et sin π + x = − sin x ( π ( ) sin π − x = sin x π π sin − x = cos x 2 3) cos π − x = − cos x et 5) cos − x = sin x et 2 ) 4) cos + x = − sin x et 2 Exemple : Calculer la valeur exacte de : a) cos b) sin c) cos ! " réponse : a) b) c) ! " # $ ) ! $* ! 7 # $% # & ! 2 # $* % ) ! & cos " # $ # #$* # ! $ %# √( √ & $% & # √( π sin + x = cos x 2 3) Equations trigonométriques Propriété : Soit a un nombre réel. L'équation cos x = cos a a pour solutions les nombres réels x = a + 2kπ et x = −a + 2kπ où k est un nombre relatif. Propriété : Soit a un nombre réel. L'équation sin x = sin a a pour solutions les nombres réels x = a + 2kπ et x = π − a + 2kπ où k est un nombre relatif. Exemple : 1) Résoudre l’ équation cos x = cos π 6 a) dans l’intervalle ]- ; / Les solutions de l'équation cos x = cos b) dans ℝ Les solutions de l'équation cos x = cos π 6 π 6 dans l’intervalle ]- ; /sont dans ℝ sont π 6 + 2kπ et − 01 # π 6 + 2kπ où k est un entier relatif. 2) Résoudre dans ℝ l’ équation sin x = −0,5 π π π 7π sin x = −0,5 donc sin x = sin − .L'équation a pour solution − + 2kπ et π + + 2kπ = + 2kπ où k est 6 6 6 6 un entier relatif. III. Mesures d’un angle orienté ; , C est le cercle trigonométrique de centre O et est un repère orthonormé direct. 1) Définitions Définition 1: Sur le cercle C, M est le point image d’un nombre réel x et N est le point image d’un nombre réel y. Les mesures en radians de l’angle orienté ( 333333 ; 3333334) sont les nombres réels y – x + k2 où k est un entier relatif. On note ( 333333 ; 3333334)= y – x + 25 ou plus simplement ( 333333 ; 3333334) = y – x Définition 2 : 6 3 et 7 sont deux vecteurs non nuls tels que : 6 3 33333 et 7 333338 A’ et B’ sont les points d’intersection des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique C. Les mesures en radians de l’angle orienté (6 3 ; 7 sont les mesures en radians de ( 3333333′; 3333333 8′) Définition : Le cosinus et le sinus d’un angle orienté sont le cosinus et le sinus d’une quelconque de ses mesures. 2) Mesure principale Propriété et définition : Parmi toutes les mesures de l’angle orienté (6 3 ; 7 , il en existe une et une seule dans l’intervalle ]- ; /, on l’appelle la mesure principale de l’angle orienté (6 3 ;7 . Exemple : (6 3 ; 7 est un angle orienté tel que (6 3 ;7 = # Quelle est sa mesure principale ? # " ( )3 2 ( " ( et ( ∈ ]- ; / 3) Propriétés des angles orientés Propriétés : 6 3 et 7 sont deux vecteurs non nuls • • 6 3 et 7 sont colinéaires de même sens si et seulement si (6 3 ; 7 =0 6 3 et 7 sont colinéaires de sens contraires si et seulement si (6 3 ; 7 = Relation de Chasles : Pour tous vecteurs non nuls 6 3 , 7 et ; 33 : (6 3 ; 7 + (7 ; ; 33 = (6 3 ;; 33 3 ,7 Conséquences : Pour tous vecteurs non nuls 6 (1) (7 ; 6 3 (3) (#6 3 ;7 # (6 3 ;7 6 3 ;7 ) (2) (6 3 ; #7 (4) (#6 3 ; #7 6 3 ;7 ) 6 3 ;7 C Exemple 1: ABC est un triangle équilatéral tel que ( 333338; 33333< ) = ( 33333 ;8< 33333 ) et ( 33333 Déterminer une mesure de chacun des angles orientés : ( 8 <8; 33333< ) 33333 ) = # 33333 ; 33333< ) =( <8 33333 ; #< 33333 ) = ( 33333 33333 ) + = # ) ( 383333 ;8< ( <8 <8;< ( ( ( A B Exemple 2 :