Logique TD2 : Principe de récurrence

Université Paris 13
Institut Galilée
Licence 1 - 2eme semestre
L1
Année 2014-2015
Logique
TD2 : Principe de récurrence
L’objectif de ce TD est d’arriver à maîtriser la récurrence sous toutes ses formes. Dans chacune des questions suivantes, il vous sera demandé d’établir un raisonnement par récurrence,
puis d’analyser vos résultats pour voir s’ils sont justes ou non.
Sauf mention contraire, les exercices ne sont pas liés entre eux.
Exercice 1
1. Écrivez de façon développée (avec des pointillés) l’expression
n
X
n2
i=1
2. Que vaut
n
X
n2 pour n = 4 ?
i=1
3. Montrez que, ∀n ∈
N∗ ,
n
X
n2 =
i=1
n2 (n + 1)2
.
4
Exercice 2
n
X
1. Que vaut
(2n − 1) pour n = 4 ?
i=1
2. Écrivez de façon développée (avec des pointillés) l’expression
n
X
(2n − 1)
i=1
3. Montrez que, ∀n ∈ N∗ ,
n
X
(2n − 1) = n2
i=1
Exercice 3 On pose la proposition suivante : P (n) : "32n+4 − 2n est divisible par 7".
1. Montrez que, si P (n) est vraie, alors P (n + 1) est vraie.
2. Peut-on conclure que, ∀n ∈ N∗ , P (n) est vraie ?
Exercice 4 On pose la proposition suivante : P (n) : "4n + 1 est divisible par 3".
1. Montrez que, si P (n) est vraie, alors P (n + 1) est vraie.
2. Peut-on conclure que, ∀n ∈ N∗ , P (n) est vraie ?
3. Montrez alors que, ∀n ∈ N∗ , P (n) est fausse.
Exercice 5 On voudrait savoir si, ∀n ∈ N∗ tel que n ≥ 2,
On pose la proposition suivante : P (n) : "
n2 − n + 1
≥1
n2
n2 − n + 1
≥ 1".
n2
1. Montrez que P (1) est vraie.
2. Montrez que, ∀n ≥ 2, si P (n) est vraie, alors P (n + 1) est vraie.
3. Qu’en concluez-vous ?
1
Exercice 6 Est-ce que, pour n entier, 2n > n2 ? Commencez par établir l’héritage de la
propriété, puis par trouver une initialisation...
Exercice 7 Soit la suite (un )n∈N telle que u0 = 0, u1 = −2, et un+2 = 3un+1 − 2un . Montrez
que, pour tout n ∈ N, un = 2 − 2n+1 .
Exercice 8 Montrez que, ∀a ∈ R+ , ∀n ∈ N∗ , (1 + a)n ≥ 1 + na.
Exercice 9 Soit E1 , ..., En , n ensembles distincts deux à deux. On souhaite montrer qu’au
moins un de ces ensembles n’en contient aucun autre.
1. Essayez de trouver un contre-exemple pour n = 3 (en dessinant vos ensembles comme
des cercles).
2. Montrez par récurrence que cette propriété est vraie.
Exercice 10 Pour tout ensemble A1 et A2 , A1 ∪ A2 = Ā1 ∩Ā2 . Montrez que A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An =
Ā1 ∩ Ā2 ∩ ... ∩ A¯n .
Exercice 11 On dit qu’un réel a est bien équilibré s’il est égale à la moyenne de deux réels
bien équilibrés. 0 et 1 sont bien équilibrés.
1.
2.
3.
4.
Pouvez-vous montrer que 0.5 est bien équilibré ?
Qu’en est-il de 0.25 et 0.75 ?
Combien y a-t-il de nombres bien équilibrés entre 0 et 1 ?
Tous les nombres entre 0 et 1 sont-ils bien équilibrés ?
Exercice 12 Nous souhaitons établir que, si on prend un ensemble fini de points quelconques
dans le plan, ils seront tous alignés (ils seront tous sur la même droite).
1. Est-ce que cela vous semble vrai ?
Posons P (n) : "Dans tout ensemble de n points, tous les points sont alignés (sont sur la
même droite)".
2. Est-ce que P (1) est vraie ? Est-ce que P (2) est vraie ?
Supposons que P (n) soit vraie, c’est à dire que pour tout ensemble de n points quelconques,
tous les points dans l’ensemble sont alignés (sont sur une même droite). Considérons un
ensemble A = (p1 , p2 , ..., pn , pn+1 ) de (n + 1) points. Nous souhaiterions monter que tous les
points de A sont nécessairement alignés...
3. Est-ce que cela vous semble vrai ?
4. Posons A1 = (p1 , p2 , ..., pn ). Comme la proposition P (n) est supposée vraie, qu’en
déduisez-vous concernant les points de A1 ?
5. Posons A2 = (p2 , ..., pn , pn+1 ). Comme la proposition P (n) est supposée vraie, qu’en
déduisez-vous concernant les points de A2 ?
6. Comme A1 et A2 ont au moins deux points en communs (p2 et pn ), qu’en déduisez-vous
concernant A = A1 ∪ A2 .
7. Alors, est-ce que la proposition P (n) est vraie pour tout n ?
Exercice 13 Démontrez que, ∀n ≥ 1, xn est dérivable et sa dérivée vaut nxn−1 . On supposera que (u.v)0 = u0 .v + u.v 0 et que la dérivée de la fonction x vaut 1.
Exercice 14 Montrez (par récurrence) qu’un entier positif d est soit premier, soit admet un
diviseur premier.
Indice : il faudra utiliser ici une récurrence d’ordre supérieur.
Exercice 15 Pouvez-vous montrer que tout entier pair est la somme de deux nombres premiers ?
2