Algèbre Fonctions Trigonométrie 2C

Algèbre
Fonctions
Trigonométrie
2C
Table des matières
1 Algèbre
3
1.1 Introduction et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Méthode de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Fonctions
2.1 Intervalles réels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Introduction informelle . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Fonction donnée par une formule . . . . . . . .
2.4 Tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Représentation graphique à partir du tableau de
2.6 Le rôle de notre langage : le français . . . . . .
2.7 Etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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valeurs .
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19
20
24
24
25
26
27
27
29
30
3 Trigonométrie
3.1 La mesure des angles . . . . .
3.2 Le triangle rectangle . . . . .
3.3 Les fonctions trigonométriques
3.4 Le triangle quelconque . . . .
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33
35
37
42
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1
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Chapitre 1
Algèbre
1.1
Introduction et rappels
Polynômes
On va s’intéresser dans le chapitre suivant à la factorisation des polynômes à une variable par la méthode de la division euclidienne. La présente introduction rappelle certains
concepts de base sur les polynômes et les méthodes de factorisation déjà travaillées en
première année.
Un polynôme est en général présenté sous la forme de blocs de lettres ou de parenthèses
contenant elles-mêmes des polynômes, élevés à certaines puissances et séparés par un signe
plus ou un signe moins. Les trois objets ci-dessous sont des exemples de polynômes :
xy 2 + x2 y − 2x − 3y
s3 · t2 − s4 · t2 + s · t
A3 + 3A2 B − 3AB 2 + B 3
Nous nous intéresserons surtout aux polynômes à une variable qui sont écrits en n’utilisant
qu’une seule lettre, comme ci-dessous :
x3 − 2x + 2
(x2 + x + 1)5
x7 + x2 − 5x
Il est important de noter ici qu’un polynôme peut être écrit de différentes manières. En
effet, le polynôme
(x + 1)2 − 2x
est identique au polynôme
x2 + 1
qui est lui-même identique au polynôme
x(x + 1) − (x − 1)
3
4
Mathématiques 2C
D’une expression à l’autre
Pour passer d’une expression polynômiale à une autre on fait des calculs de développement, de réduction ou de factorisation :
(x + 1) · (x2 − 2x + 3)
développer et réduire
factoriser
x3 − x2 + x + 3
a) Voici un exemple de développement et réduction d’une expression :
x · (x + 1) − (x − 1) = x · x + x · 1 − x − (−1) = x2 + x − x + 1 = x2 + 1
On observe qu’il s’agit de faire tous les calculs possibles, puis de grouper les éléments
qui peuvent être additionnés.
b) Ci-dessous, un exemple de factorisation
x2 + 2x + 1 = x2 + x + x + 1 = x · (x + 1) + 1 · (x + 1) = (x + 1) · (x + 1)
Il faut avoir l’idée de séparer les 2x en x+x, de faire deux mises en évidence partielles
et de finir par la mise en évidence d’un groupe.
Deux choses sont à prendre en compte ici :
a) Le développement et la réduction d’une expression polynômiale sont des techniques. Elles peuvent à ce titre être maîtrisées par l’être humain.
b) La factorisation est un art. Une expression polynômiale prise au hasard est souvent
impossible à factoriser. Le recours à l’intuition est nécessaire.
Techniques de factorisation
Pour pouvoir factoriser efficacement, on a recours à une série de techniques que l’on
applique en boucle jusqu’à factorisation complète du polynôme. On doit parfois parcourir
plusieurs fois la boucle ci-dessous :
Mathématiques 2C
5
I. Mise en évidence
V. Division euclidienne
IV. Groupements
II. Formules
III. Trinôme
La plupart de ces techniques ont déjà été abordées dans le cours de première année et
nous n’en parlons pas ici. Nous abordons dans cette introduction deux techniques, à savoir
la décomposition en facteurs par application d’une formule du troisième degré et celle de
trinômes particuliers de degré supérieur à 2.
Utilisation des identités remarquables
Rappelons brièvement que les identités remarquables sont des formules qui permettent de
calculer d’un coup certains produits particuliers. On peut les utiliser « à l’envers » pour
factoriser des polynômes particuliers.
a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
a3 − 3 a2 b + 3 ab2 − b3 = (a − b)3
a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2
a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 )
a2 − b2 = (a + b) (a − b)
a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2 )
a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3 = (a + b)3
Les lettres a et b ci-dessus désignent en général des blocs de symboles qui « jouent leur
rôle » dans la formule. Par exemple, 64 S 9T 3 −125 peut être factorisé à l’aide d’une identité
remarquable comme suit :
64 S 9 T 3 − 125 = 43 (S 3 )3 T 3 − 53
= (4 S 3 T )3 − 53
= a3 − b3
= (a − b) (a2 + ab + b2 )
= (4 S 3 T − 5) (16 S 6 T 2 ) + 20 S 3 T + 25)
6
Mathématiques 2C
Il faut repérer le bon produit remarquable à utiliser, en fonction du nombre de termes du
polynôme ou de leur signe. Il s’agit en fait de la recherche d’un motif dans l’expression à
factoriser
Exemples
a) 27a3 + 27a2 + 9a + 1 =
b) u3 − 12u2 + 48u − 64 =
c) z 3 + 27 =
d) x3 − 8 =
Décomposition de certains trinômes
Dans certaines situations, à l’aide d’un changement de variable de la forme u = xn , on
peut se ramener au cas de la factorisation du trinôme du deuxième degré.
Exemples
a) x4 − 5x2 + 4 =
b) x6 + 7x3 − 8 =
c) 16x4 − 97x2 + 81 =
Méthode des groupements
On devra parfois factoriser en décomposant le polynôme en plusieurs groupes et en appliquant à ces groupes une mise en évidence ou une identité remarquable. Considérons par
exemple le polynôme
P (x) = x − y − y 2 + x2
que l’on cherche à factoriser. On ordonne le polynôme comme suit :
x − y + x2 − y 2
On observe ensuite qu’il y a deux groupes distincts que l’on peut factoriser séparément :
(x − y) + (x2 − y 2)
Mathématiques 2C
7
On obtient, après l’application de l’identité remarquable a2 − b2 = (a + b)(a − b) au groupe
de droite :
(x − y) · 1 + (x − y) · (x + y)
Le polynôme se ramène donc à
A · 1 + A · (x + y)
avec, dans le rôle de A, le polynôme (x − y). Par mise en évidence de A, on obtient
A · (1 + x + y)
Ce qui nous donne, finalement :
P (x) = (x − y)(x + y + 1)
Exemples
a) 2ax + bx + 2ay + by =
b) a2 + 2ab + b2 − c2 =
c) 3x2 + 2x2 − 12x − 8 =
1.2
Méthode de la division euclidienne
En arithmétique, lorsqu’on étudie la division des nombres entiers avec reste, on voit des
opérations du type suivant :
2356
75
36
4
8
294
On voit ici que le résultat de la division est 294 et que le reste vaut 4. On peut écrire
l’égalité fondamentale correspondante :
2356 = 8 · 294 + 4
On va définir la division de deux polynômes, appelée division euclidienne de manière
analogue. Commençons par un exemple : Quel est le résultat de la division du polynôme
P (x) = x3 − 3 x2 + 2 x − 1 par le polynôme Q(x) = x2 − x + 1 ? Représentons cette division
comme suit :
x3 − 3x2 + 2x − 1 = x2 − x + 1
8
Mathématiques 2C
Il s’agit de compléter la partie droite de l’égalité ci-dessus. On procède par étapes. La
première question que l’on se pose est la suivante : Par quel polynôme dois-t-on multiplier
x2 pour obtenir x3 ? La réponse est x. On écrit donc :
x3 − 3x2 + 2x − 1 = x2 − x + 1 x
On note ensuite le résultat de la multiplication par x du polynôme x2 − x + 1 sous le
polynôme x3 − 3 x2 + 2 x − 1, en prenant bien soin d’aligner les puissances de x correspondantes.
x3 − 3x2 + 2x − 1 = x2 − x + 1 x
− x3 + x2 − x
Puis on effectue la soustraction en colonne que l’on vient de poser implicitement.
x3 − 3x2 + 2x − 1 = x2 − x + 1 x
− x3 + x2 − x
− 2x2 + x − 1
On recommence alors le processus avec le résultat de la soustraction que l’on vient de
faire... Par quoi faut-il multiplier x2 pour obtenir −2 x2 ? La réponse est −2. On place ce
nombre à droite de x, c’est la « suite »de notre quotient.
x3 − 3x2 + 2x − 1 = x2 − x + 1 x − 2
− x3 + x2 − x
− 2x2 + x − 1
Multiplions maintenant x2 − x + 1 par le nombre −2 et alignons le résultat sous notre
« empilement de polynômes ».
x3 − 3x2 + 2x − 1 = x2 − x + 1 x − 2
− x3 + x2 − x
− 2x2 + x − 1
2x2 − 2x + 2
La soustraction naturelle donne un polynôme dont le degré est inférieur à celui de x2 −x+1.
L’algorithme de division s’arrête et le dernier polynôme obtenu, ici −x + 1, est le reste de
la division.
x3 − 3x2 + 2x − 1 = x2 − x + 1 x − 2
− x3 + x2 − x
− 2x2 + x − 1
2x2 − 2x + 2
−x+1
On peut enfin écrire l’égalité fondamentale correspondant à la division de P (x) par Q(x) :
x3 − 3x2 + 2x − 1 = x2 − x + 1 x − 2 − x + 1
− x3 + x2 − x
− 2x2 + x − 1
2x2 − 2x + 2
−x+1
Mathématiques 2C
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Voici un deuxième exemple, celui de la division de 6 x2 + x − 2 par 3 x + 2 :
6x2 + x − 2 = 3x + 2 2x − 1
− 6x2 − 4x
− 3x − 2
3x + 2
0
On constate ici que le reste vaut 0 et que la technique de la division euclidienne pourra
parfois être utilisée pour factoriser des polynômes.
On appelle valeur numérique en a ou évaluation en a d’un polynôme P (x) le nombre
obtenu en remplaçant dans le polynôme P (x) la lettre x par le nombre a. Cette valeur
numérique se note P (a).
On dit que le nombre a est un zéro du polynôme P (x), si P (a) = 0.
Exemple
Évaluer le polynôme P (x) = x4 − 2x3 − x + 2 en −2, −1, 0, 21 , 1, 2. Parmi ces valeurs,
lesquelles sont des zéros du polynôme ?
Division par x − a
La division euclidienne d’un polynôme par x − a jouit de propriétés remarquables. Nous
allons ici en étudier deux.
1) Un raccourci pour déterminer le reste d’une division euclidienne : le reste de la
division euclidienne du polynôme P (x) par x − a est égal à P (a).
Exemples
Sans effectuer la division, déterminer le reste de la division euclidienne de :
a) P (x) = x3 − 3x2 + x − 1 par x − 3.
b) P (x) = x3 − 4x2 + 3x + 2 par x + 2.
2) Un critère de divisibilité : un polynôme P (x) est divisible par x − a si et seulement
si P (a) = 0.
10
Mathématiques 2C
Exemples a) Le polynôme P (x) = x4 + x3 − x − 1 est-il divisible par x − 1 ?
b) Le polynôme P (x) = x3 + 3x2 + x − 1 est-il divisible par x + 7 ?
Le critère permettant d’affirmer qu’un polynôme est divisible par x − a, fonctionne pour
autant que l’on ait trouvé préalablement un zéro a du polynôme. Ce qui n’est généralement
pas une chose facile. Dans le cas des zéros entiers d’un polynôme à coefficients entiers, on
a la propriété suivante :
Soit P (x) un polynôme à coefficients entiers. Si a est un zéro entier de
P (x), alors a est un diviseur du terme constant de P (x).
On observe en outre qu’un polynôme de degré n possède au plus n zéros
Exemples
Trouver les zéros entiers du polynôme :
a) P (x) = x3 + 3x2 − 6x − 8
b) P (x) = 2x3 + x2 + 2x + 3
Mathématiques 2C
11
Schéma de Horner
Pour faire plus rapidement la division euclidienne d’un polynôme quelconque par un polynôme du type x − a on dispose d’un outil qui s’appelle le schéma de Horner et qui permet
de simplifier la présentation la division euclidienne.
Considérons, par exemple, la division de P (x) = 2 x4 − 3 x3 + 4 x2 − x + 1 par x − 2.
On commence par disposer les coefficients du polynômes que l’on veut diviser et l’opposé
du terme constant du diviseur comme suit :
2
2
−3 4
−1
1
On suit ensuite les étapes exposées ci-dessous :
2
−3 4
2
2
2
2
2
2
2
−1
−3 4
✯
✟·2✟
−1
4
−3 4
−1
−3 4
4 2
−1
1
12
✯
✟·2✟
2
1 6
2
−3 4
−1
2
1 6
11
2
−3 4
−1
2
1 6
11
2
−3 4
−1
1
1
4 2
1
12+
❄
❄
1
2
−3 4
4 2
−1
1
−1
1
2
4 2
1
12 22
✯
✟
✟·2
✯
✟·2✟
2
1
2
−3 4
4 2+
2
2
2
2
2
2
❄
4+
2
1
1 6
❄
2
4 2
2
1 6
1
12 22+
11 23
❄
Le dernier nombre obtenu est le reste de la division de 2 x4 − 3 x3 + 4 x2 − x + 1 par
x − 2, qui vaut également, on le rappelle, P (2). On peut alors écrire l’égalité fondamentale
comme suit :
P (x) = 2 x4 − 3 x3 + 4 x2 − x + 1 = (2 x3 + x2 + 6 x + 11) · (x − 2) + 23
12
Mathématiques 2C
Lien avec la factorisation
D’après ce qui précède, lorsqu’on veut factoriser un polynôme P (x) à l’aide de la division
euclidienne, il faut suivre les étapes suivantes :
• Déterminer un zéro a du polynôme P (x).
• Diviser le polynôme P (x) par x − a à l’aide d’un schéma de Horner et écrire l’égalité
fondamentale.
• Recommencer le procédé avec le quotient jusqu’à l’obtention d’un polynôme qui
n’est plus factorisable.
Exemples
a) Factoriser le polynôme P (x) = x3 + x2 + x − 3.
Mathématiques 2C
b) Factoriser le polynôme P (x) = 2x4 − x3 − 14x2 − 5x + 6.
13
14
Mathématiques 2C
1.3
Fractions rationnelles
Définition
Une fraction rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont
des polynômes. En voici trois spécimens :
F (x) =
x2 − 1
,
1+x
G(x) =
x3 + x2 + x + 1
,
1 − x − x2
H(x) = 1 +
1 1−x
−
x
x3
Opérations
De la même manière que pour le calcul des fractions avec les nombres entiers, on peut
amplifier, simplifier, additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions rationnelles.
Amplification et simplification
On peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par le même
polynôme (non nul) sans en changer la valeur.
m·a
a
=
b
m·b
Exemples
a) En amplifiant la fraction
b) En simplifiant la fraction
x+1
par x + 2 on obtient :
x−2
(x + 7)(2x − 5)
par x + 7 on obtient :
3(x + 7)
Une fraction rationnelle est dite irréductible si elle ne peut plus être simplifiée. Généralement, on écrit une fraction sous forme irréductible.
Pour rendre une fraction irréductible, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis
on simplifie tout ce qu’on peut simplifier.
Exemples
Rendre les fractions ci-dessous irréductibles.
x2 + 4x − 21
a) 2
=
x + x − 12
Mathématiques 2C
b)
15
y−x
=
x2 − xy
Multiplication
Multiplier deux fractions, revient à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, sans oublier de simplifier s’il y a lieu.
a c
a·c
· =
b d
b·d
Exemples
Effectuer et réduire.
x2 − 6x + 9 2x − 2
a)
·
=
x2 − 1
x−3
b)
x2 − xy + y 2 x2 − y 2
· 3
=
x−y
x + y3
Inverse
Pour déterminer l’inverse d’une fraction, il suffit de permuter le numérateur et le dénob
a
minateur. En d’autres termes, l’inverse de est .
b
a
Exemples
(3x + y)2
a) L’inverse de
est :
2x − 4
b) La fraction dont l’inverse vaut
a3 + 8
est :
b − a2
16
Mathématiques 2C
Division
Diviser deux fractions revient à multiplier la première par l’inverse de la deuxième.
a c
a d
a·d
÷ = · =
b d
b c
b·c
Exemples
Effectuer et réduire.
x2 − 4
x+2
÷ 2
=
a)
2x − 3 2x − 3x
b)
a3 − 8
a
÷
=
a2 − 4 a3 + 8
Addition et soustraction
Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les amplifie d’abord de telle manière
qu’elles aient le même dénominateur ; la somme ou la différence des fractions aura alors
pour numérateur la somme ou la différence des numérateurs des fractions amplifiées, et
pour dénominateur le dénominateur commun de ces fractions.
a b
a b
a+b
a·d b·c
a·d+b·c
et
+ =
+ =
+
=
c c
c
c d
c·d c·d
c·d
a b
a−b
a·d b·c
a·d−b·c
a b
− =
− =
−
=
et
c c
c
c d
c·d c·d
c·d
Exemples
Effectuer et réduire.
1
x2 − 5
+
=
a)
x+2
x+2
b)
x−1
8
−
=
x + 2 3x + 6
Mathématiques 2C
17
Equations contenant des fractions rationnelles
De manière générale, les équations contenant des fractions rationnelles se traitent comme
les autres équations. Voici une brève marche à suivre expliquant comment faire :
• Mettre au même dénominateur.
• Multiplier par le dénominateur commun.
• Résoudre l’équation.
• Garder uniquement les solutions qui conviennent.
Exemples
Résoudre les équations ci-dessous.
x
4
x−1
+
= 2
a)
x
x−2
x − 2x
b)
1
1
y
− =1+
y−1 y
y−1
Chapitre 2
Fonctions
2.1
Intervalles réels
Un ensemble est un conteneur d’objets mathématiques. On travaillera pour l’essentiel avec
des ensembles de nombres, notés à l’aides de majuscules A, B, C, D...
Les ensembles usuels sont notés à l’aide de majuscules qui sont dessinées avec une double
barre. Le premier ensemble que l’on considère en général est N, l’ensemble des nombres
entiers positifs ou nuls :
N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; ...}
On peut lui ajouter les nombres entiers négatifs, ce qui nous donne l’ensemble suivant :
Z = {0; 1; −1; 2; −2; 3; −3; 4; −4; 5; −5; 6; −6; 7; −7; 8; −8; ...}
On désigne par Q l’ensemble de toutes les fractions et par R l’ensemble de tous les nombres
que l’on peut décrire avec un code décimal fini ou non, périodique ou non. On représentera
l’ensemble R à l’aide du dessin d’une droite :
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Un intervalle de R est simplement un segment tracé sur la droite des réels, comme cidessous.
b
−5
−4
−3
b
−2
−1
0
1
2
3
4
5
On décrira ce sous-ensemble de R en langage mathématique comme suit :
I = {x ∈ R | − 2.5 ≤ x ≤ 3} = [−2.5; 3]
Si le crochet se ferme sur le nombre, il est compris dans l’intervalle et dans le cas contraire,
le nombre du bord est exclu de notre ensemble. Le symbole ∈ se lit « appartient à » et la
barre verticale « tel que ».
19
20
Mathématiques 2C
2.1.1 Décrire les ensembles suivants à l’aide d’intervalles
a) A = {x ∈ R | − 3 6 x 6 5}
b) B = {x ∈ R | 4 6 x < 5}
c) c = {x ∈ R | x < 1}
d) A = {x ∈ R | x > 10}
e) A = {x ∈ R | x > −2 et x 6 2}
f) F = R
g) G = {2}
a) A = [−3 ; 5]
b) B = [4 ; 5[
c) C =] − ∞ ; 1[
d) D = [10 ; +∞[
e) E = [−2 ; 2]
f) F =] − ∞ ; +∞[
g) G = [2 ; 2]
2.1.2 Trouver deux ensembles A et B de Z tels que
a) A ∪ B = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} et A ∩ B = { }
b) A ∪ B = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} et A ∩ B = {2 ; 3 ; 4}
a) A = {0 ; 1 ; 2} et B = {3 ; 4} par exemple
b) A = {0 ; 2 ; 3 ; 4} et B = {1 ; 2 ; 3 ; 4} par exemple
2.1.3 On donne trois intervalles I, J et K de R. Déterminer I ∩ J, I ∩ K, I − (J ∪ K),
(I − J) ∪ (I − K) dans les cas suivants.
a) I = [−3 ; 4 [
b) I = ] − 4 ; 2 ]
c) I = ] − 5 ; 3 [
J = [−2 ; 0 [
J = [−2 ; 3 ]
J = ] −1 ; 5]
K =]− 5 ; 3]
K = ]− 3 ; 1[
K = [−3 ; 4 ]
a) [−2; 0[ [−3; 3] ]3; 4[ [−3; −2[∪[0; 4[
b) [−2; 2] ] − 3; 1[ ] − 4; −3] ] − 4; −2[∪[1, 2]
c) ] − 1; −3[ [−3; 3[ ] − 5; −3[ ] − 5; −1]
2.2
Introduction informelle
Nous travaillons par la suite avec des objets qui s’appellent des fonctions que l’on nommera en général
f, g, h, . . .
Mathématiques 2C
21
dont voici quelques spécimens donnés par des formules :
f (x) = x3 − 2x2 + 2x + 3,
g(x) = ax2 + bx + c,
h(x) =
1
,
x
i(x) =
√
1−x
Une fonction peut être vue comme un calcul complexe fait avec un ou plusieurs nombres
inconnus. Par exemple, la fonction
f (x) = x3 − 3x2
correspond à tous les calculs du type :
13 − 3 · 12 = −2
43 − 3 · 42 = 16
23 − 3 · 22 = −4
(2.3)3 − 3 · (2.3)2 = −3.703
33 − 3 · 32 = 0
(π)3 − 3 · (π)2 ≃ 1.39746
Le calcul correspondant au nombre 1 est obtenu en remplaçant partout dans la fonction
la lettre x par la valeur 1. On procède de même pour les nombres 2, 3, 4, 2.3 et π.
22
Mathématiques 2C
Pour y voir plus clair, on arrange ces calculs dans un tableau de valeurs que l’on peut
présenter sous l’une des formes ci-dessous :
x
1
2
3
4
2.3
π
x3 − 3x2
Résultat
x
f (x)
(x, f (x))
13 − 3 · 12
-2
1
-2
23 − 3 · 22
-4
2
-4
(1; −2)
33 − 3 · 32
0
3
0
16
4
16
(4; 16)
-3.703
2.3
-3.703
1.39746
π
1.39746
(2.3; −3.703)
43 − 3 · 42
3
(2.3) − 3 · (2.3)
3
(π) − 3 · (π)
2
2
(2; −4)
(3; 0)
(3.14; 1.39746)
Les deux tableaux qui précèdent nous donnent l’idée de placer les points obtenus dans un
système d’axes et de produire ainsi un graphique :
y
2
(x = 3.14; y = f (x) = 1.4)
b
1
b
1
−1
−2
b
2
x
(3; 0)
3
4
5
(1; −2)
−3
b
−4
(2.3; −3.7)
b
(2; −4)
Le point (4; 16) n’a pas été placé pour des raisons d’échelle. On peut maintenant imaginer
placer suffisamment de points pour voir se dessiner une courbe correspondant à la fonction
f (x) = x3 − 3x2
y
b
x
x
b
b
f (x)
(x, f (x))
b
b
b
Mathématiques 2C
23
Il est également possible de décrire certaines fonctions à l’aide d’une suite d’instructions
écrites en français, ce qui revient à traduire l’information algébrique dans un autre langage.
Pour la fonction
f (x) = x3 − 3x2
cela revient à écrire la suite d’instructions suivantes :
1) Choisir un nombre : x
2) Calculer le cube du nombre choisi : x3 = x · x · x
3) Calculer le carré du nombre choisi : x2 = x · x
4) Calculer le triple du carré, c’est à dire le triple du nombre obtenu au point c) : 3 · x2
5) Soustraire le nombre obtenu en 4 du nombre obtenu en b) : x3 − 3 · x2
La fonction x3 − 3x2 correspond donc à la phrase :
Au cube d’un nombre, soustraire trois fois le carré de ce nombre.
Une fonction est ainsi un objet qui peut être vu sous différentes formes :
• une écriture algébrique ;
• un tableau de nombres ;
• un graphique dessiné dans un système d’axes ;
• une suite d’instructions écrites en français.
On va chercher dans les exercices à montrer le lien entre ces différents aspects et comment
passer de l’un à l’autre.
Algèbre
Français
Tableau de valeurs
Graphique
24
Mathématiques 2C
2.3
Fonction donnée par une formule
C’est la forme sous laquelle on trouve la plupart des fonctions qui peuplent les ouvrages
de mathématiques. Voyons quelques catégories de fonctions.
a) Les polynômes forment une catégorie importante de fonctions, par exemple,
f (x) = 1−x4 ,
h(x) = x5 +x4 +x3 +x2 +x+1,
g(x) = ax+b,
i(x) = x2 −2x+3
sont des polynômes. On pourra faire dessiner leur graphe dans GeoGebra pour se
rendre compte de la forme générale de celui-ci.
b) Les fractions de polynômes en forment une autre, par exemple,
f (x) =
x+1
,
x−2
g(x) =
1
,
x2 + 2x + 5
h(x) =
x2 − 1
2−x
c) Les fonctions racines, puissances, exponentielles et logarithmes sont également importantes. En voici quelques spécimens :
√
f (x) = x, g(x) = x2.38 , h(x) = ex , i(x) = ln x
2.4
Tableau de valeurs
Il est possible de produire un tableau de valeurs à partir de l’expression mathématique
d’une fonction. Par exemple, pour la fonction polynômiale
f (x) = 1 − x −
x2 x3
−
5
10
on construit le tableau ci-dessous :
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1 − (−2.5) −
1 − (−2) −
1 − (−1.5) −
1 − (−1) −
1 − (−0.5) −
(−2.5)2
5
(−2)2
5
−
(−1.5)2
5
(−1)2
5
1 − 0.5 −
1−1−
1 − 1.5 −
1−2−
1 − 2.5 −
02
5
−
0.52
5
12
5
1.52
5
22
5
2.52
5
10
10
(−0.5)3
10
03
10
0.53
10
13
10
−
−
(−1.5)3
(−1)3
−
−
−
(−2.5)3
10
(−2)3
10
−
−
(−0.5)2
5
1−0−
−
1.53
10
23
10
−
2.53
10
3.8125
(−2.5; 3.8125)
3
(−2; 3)
2.3875
(−1.5; 2.3875)
1.9
(−1; 1.9)
1.4625
(−0.5; 1.4625)
1
(0; 1)
0.4375
(0.5; 0.4375)
−0.3
(1; −0.3)
−1.2875
(1.5; −1.2875)
−2.6
(2; −2.6)
−4.3125
(2.5; −4.3125)
Mathématiques 2C
2.5
25
Représentation graphique à partir du tableau de
valeurs
On a déjà montré dans l’introduction que toute fonction peut être représentée dans un
système de coordonnées. On veillera à noter l’échelle sur chaque axe. En guise d’exemple,
les points du tableau précédent on été placés dans le système d’axes ci-dessous :
y
b
b
10
b
y = f (x)
b
5
b
b
b
b
b
b
x
b
b
b
−4
−2
b
2
4
b
b
−5
b
b
−10
b
−15
b
−20
b
Une fois que les points ont été placés, on peut deviner la forme générale de la courbe et
la tracer en reliant tous les points entre eux.
26
2.6
Mathématiques 2C
Le rôle de notre langage : le français
Dans les ouvrages de mathématiques, il est rare de trouver une fonction donné sous la
forme d’une phrase.
À la place du texte suivant :
La cinquième puissance d’un nombre inconnu diminuée du double du carré de
ce nombre, résultat auquel on ajoute le nombre inconnu augmenté de 5,
on trouvera certainement l’expression
x5 − 2x2 + x + 5.
Par contre, très souvent, les problèmes que l’on doit résoudre sont rédigés en français, et il
faut traduire l’énoncé du problème en algèbre. On ne peut donc pas se passer d’un travail
de traduction.
Pour donner un exemple de traduction français-algèbre, considérons le problème ci-dessous :
On veut construire un abri de bus en plexiglas ayant la forme d’un parallélépipède rectangle (voir la figure ci-dessous). Cet abri doit avoir un volume de
16 m3 et une hauteur de 2 m. Quelles dimensions lui donner pour utiliser la
plus petite surface possible de plexiglas ?
2m
On négligera l’épaisseur des plaques de plexiglas.
Ce problème fait référence à des nombres inconnus à partir desquels celui qui veut le
résoudre devra poser un certain nombre de calculs avec des fonctions, ce qui lui permettra
de trouver les équations nécessaires à la résolution.
On pose
a) x pour la largeur du rectangle qui forme le toit de l’abri ;
b) y pour la longueur du même rectangle ;
La fonction qui donne l’expression du volume de l’abri en fonction de x et de y est :
P (x; y) = 2 · x · y = 2xy
On peut finalement écrire une fonction qui donne la surface de l’abri, toujours en fonction
de x et de y :
Q(x; y) = 2 · 2 · x + 2 · y + x · y = 4x + 2y + xy
Mathématiques 2C
2.7
27
Etude d’une fonction
Comme dit précédemment, l’un des buts de l’analyse est l’étude d’une fonction donnée
par une expression mathématique ou formule. On cherche à connaître le comportement
de la fonction pour tous les nombres et à dessiner fidèlement le graphe de la fonction à
étudier. Pour ce faire, il faut en général suivre la procédure ci-dessous :
1) trouver l’ensemble de définition ;
2) résoudre l’équation f (x) = 0 dont les solutions sont les zéros de la fonction ;
3) en déduire le signe de la fonction ;
4) étudier le comportement de la fonction au voisinage des points où elle n’est pas
définie et à l’infini ;
5) esquisser le graphe de la fonction.
2.8
Ensemble de définition
La donnée d’une fonction par une formule
f (x) = . . .
ne garantit pas du tout le fait que le calcul soit faisable pour toute valeur mise à la
place de l’inconnue x. On doit donc se méfier, trouver les éventuelles valeurs à exclure et
les éliminer de la discussion pour trouver l’ensemble de définition de la fonction que
l’on notera en général
ED(f ) ou Df
et qui correspond à l’ensemble des valeurs que l’on peut mettre à la place de x dans
l’expression définissant la fonction f .
Pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction, il nous faudra chercher les nombres
à exclure en utilisant généralement l’un des trois principes illustrés ci-dessous par des
exemples :
a) La formule utilisée pour définir la fonction peut contenir une division par zéro.
Par exemple, si
1
f (x) =
x
l’inconnue x ne peut pas prendre la valeur 0. On a, dans ce cas,
Df = R − {0} = R⋆
Ou encore, si
1
1 − x2
l’inconnue x ne peut prendre ni la valeur 1, ni la valeur −1. On a donc
g(x) =
Df = R − {−1; 1},
l’ensemble de définition de g est composé de tous les nombres réels sauf 1 et −1.
28
Mathématiques 2C
b) La formule utilisée pour définir la fonction peut contenir la racine d’un nombre
négatif. Considérons, par exemple, la fonction
√
f (x) = x
Cette fonction n’accepte pas de nombre négatifs. Son ensemble de définition est
donc :
Df = R+ =]0; +∞[
Soit maintenant
g(x) =
√
3−x
Il faut que 3 − x, le contenu de la racine, soit toujours positif ou nul, ce qui revient
à résoudre l’inéquation
3−x≥0
⇔
3≥x
⇔
x≤3
Il faut donc éviter de mettre des nombres supérieurs à 3 dans x si l’on veut pouvoir
calculer g(x). En conclusion :
Dg =] − ∞; 3]
c) Lorsqu’on aura affaire à des fonctions logarithmiques, il faudra tenir compte du fait
que la fonction log ne peut pas s’appliquer à des valeurs négatives ou nulles.
On va conclure la discussion sur l’ensemble de définition d’une fonction par un exemple
un peu plus complexe. Pour la fonction f ci-dessous,
f (x) =
x+1
√
x· x−1
on doit prendre en compte les éléments suivants :
a) La fonction f étant construite à l’aide d’une fraction, on pourrait avoir un problème
de division par 0. On se pose alors la question suivante :
La partie de f (x) qui se trouve sous la barre de fraction peut-elle prendre la valeur 0 ?
Cela revient à poser l’équation suivante :
√
√
x−1 =0
x · x − 1 = 0 ⇔ x = 0 ou
⇔ x = 0 ou x − 1 = 0
⇔ x = 0 ou x = 1
On doit donc exclure 0 et 1 de l’ensemble de définition de f .
b) Comme f est aussi construite à l’aide d’une racine carrée, on doit prendre garde à
ce que le contenu de la racine ne soit pas négatif. La question qu’il faut se poser est
alors :
La partie de f (x) qui se trouve sous la racine peut-elle être négative ?
Ce qui nous donne la condition suivante :
√
x − 1 existe ⇔ x − 1 ≥ 0
⇔x≥1
Ce qui fait que x doit être supérieur à 1 pour que le calcul de f soit faisable.
Mathématiques 2C
29
L’ensemble de définition de la fonction est formé dans ce cas de tous les nombres strictement plus grands que 1 :
Df =]1; +∞[
2.9
Zéros
Considérons la fonction
f (x) =
dont le graphe est tracé ci-dessous :
1
− 3x2 + 3
3x
y = f (x)
(−0.94; 0)
(1.05; 0)
b
b
b
(−0.11; 0)
On observe sur le graphe ci-dessus que la courbe coupe l’axe horizontal en trois points :
(−0.94; 0) (−0.11; 0) et (1.05; 0)
On dira que les trois valeurs −0.94, −0.11 et 1.05 sont les zéros de la fonction. Ils partagent
la propriété suivante :
f (−0.94) = f (−0.11) = f (1.05) = 0.
En règle générale, on devra chercher les zéros d’une fonction sans avoir son graphe au
préalable. Il s’agira alors d’utiliser une technique algébrique pour résoudre l’équation
f (x) = 0
Pour notre exemple, l’équation s’écrit
1
− 3x2 + 3 = 0
3x
équivalente à
9x3 − 9x + 1 = 0
qui est difficile à résoudre à la main. En utilisant un logiciel de calcul formel, on obtient
les trois solutions approchées ci-dessous, qui confirment ce que l’on avait obtenu plus haut
par voie graphique :
x1 = −1.05150767,
x2 = 0.1125363187 et x3 = 0.9389713509.
Dans les exercices, les équations permettant de trouver les zéros d’une fonction seront
relativement faciles à résoudre à l’aide de techniques algébriques standard.
30
Mathématiques 2C
b
b
b
2.10
Signe
b
On considère la fonction donnée par son graphe ci-dessous :
6
y
5
+
4
+
+
y = f (x)
3
+
2
+
+
1
+
b
−4
−3
−2
x
b
b
−
−1
−
−1
−
−
b
1
2
3
4
−
−
−2
−
−
−3
On distingue deux zones séparées par l’axe Ox: la zone supérieure, dans laquelle le graphe
de la fonction est “positif ” et la zone inférieure, dans laquelle le graphe de la fonction est
“négatif”. On observe en outre que le graphe de la fonction f change de signe en
(−2.03; 0) (−1.05; 0) (0.97; 0) et (3.62; 0)
qui correspondent aux zéros de la fonction.
En supposant que notre intérêt ne porte que sur le signe de la fonction, on peut décrire
grossièrement le comportement de celle-ci comme suit :
–
–
–
–
–
f
f
f
f
f
prend
prend
prend
prend
prend
des
des
des
des
des
valeurs
valeurs
valeurs
valeurs
valeurs
négatives sur l’intervalle ] − ∞; −2.03[ ;
positives sur l’intervalle ] − 2.03; −1.05[ ;
négatives sur l’intervalle ] − 1.05; 0.97[ ;
positives sur l’intervalle ]0.97; 3.62[ ;
positives sur l’intervalle ]3.62; +∞[.
Cette manière de décrire le comportement de la fonction est lourde et ne permet pas de
se représenter la situation clairement en un coup d’oeil. L’idée vient alors de représenter
la situation par un dessin :
−2.03
−
−1.05
+
0.97
−
3.62
+
−
5
Mathématiques 2C
31
On appelle tableau de signe de la fonction le tableau ci-dessous qui est une manière
conventionnelle de représenter la figure précédente.
x
f (x)
−∞
−2.03
−
−1.05
+
0
0.97
−
0
+
0
+∞
3.62
0
−
On mettra en évidence les zéros de la fonction en plaçant un zéro sur le trait vertical
indiquant tout changement de signe.
Ce qui précède montre que l’on peut facilement associer au graphe d’une fonction un
tableau qui décrit, partiellement tout au moins, le signe de la fonction.
Dans le cadre de l’étude d’une fonction, la donnée de départ est l’expression mathématique
de la fonction, en général et le but final est le tracé du graphe. On devra donc étudier le
signe de la fonction avant d’avoir le graphe, à partir de l’étude des zéros et de l’ensemble
de définition. On utilisera alors la propriété fondamentale suivante :
Une fonction donnée par une formule ne peut changer de signe qu’au
voisinage d’un zéro ou d’un point à exclure de son ensemble de définition.
L’une des procédures possibles pour établir le tableau de signe d’une fonction f est donc
la suivante :
a) trouver l’ensemble de définition de f ;
b) déterminer les zéros de f ;
c) calculer une valeur de la fonction pour chaque intervalle déterminé par les zéros et
points critiques de f , n’en conserver que le signe.
d) dresser le tableau sous forme standard.
Considérons, par exemple la fonction
f (x) =
x2 + x − 6
1−x
a) On a Df = R − {1}. Le seul problème que l’on pourrait en effet rencontrer ici est
celui d’une division par zéro lorsque x vaut 1.
b) L’équation f (x) = 0 se ramène à
(x − 2)(x + 3) = 0
qui nous donne les nombres 2 et −3 comme zéros de f .
c) Il s’agit maintenant de choisir à sa guise une valeur dans chaque intervalle déterminé par les nombres −3, 1 et 2,
b
−4
−3
1
0
b
b
1.5
2
3
32
Mathématiques 2C
vu que l’on sait que la fonction ne change jamais de signe à l’intérieur de l’un de ces
quatre intervalles déterminés par les trois nombres trouvés aux points a) et b). On
choisit en général les nombres pour lesquels il est le plus facile de calculer f (x). Dans
le cas qui nous occupe, nous choisissons les nombres −4, 0, 1.5 et 3. On applique la
fonction à chaque nombre, ce qui nous donne le tableau ci-dessous :
x
f (x)
signe
−4
1.2 > 0
+
1.5
−6 < 0
4.5 > 0
−
−3 < 0
−
0
3
+
d) Il ne reste plus qu’à rassembler les informations ci-dessus pour établir le tableau du
signe de f :
x
f (x)
−∞
−3
+
0
1
−
+∞
2
+
0
−
Le trait double en dessous du 1 rappelle que la fonction n’est pas définie en 1 et
qu’elle peut changer de signe à cet endroit.
Chapitre 3
Trigonométrie
3.1
La mesure des angles
La trigonométrie est la branche des mathématiques qui s’occupe des relations entre les
longueurs et les angles des triangles. Le mot trigonométrie est dérivé des trois mots grecs
tri, gonôs et metron, mots qui signifient : trois, angle et mesure. La trigonométrie est donc
la «mesure des trois angles».
Notion d’angle
On travaillera par la suite avec la notion intuitive d’angle, illustrée par le dessin de l’angle α
sur la figure 3.1 ci-dessous:
α
b
Figure 3.1 – Notion d’angle
Deux unités de mesure d’angle : les degrés et les radians
Comme on peut le voir sur la figure 3.2, il est possible de graduer un cercle en 360 degrés
ou en 2π radians. La relation entre ces deux unités est donnée par la formule suivante
αrad
αdeg
=
360
2π
Pour convertir un angle de degrés en radians ou de radians en degrés, une simple règle de
trois suffit.
33
34
Mathématiques 2C
90˚
180˚
π/2
π
0
360˚
0
2π
270˚
3π/2
Figure 3.2 – Deux graduations possibles du cercle unité
Arcs et secteurs circulaires
On considère un angle au centre α dans un cercle de rayon r.
A
b
α
ℓ
r
Pour calculer la longueur ℓ de l’arc de cercle en fonction du rayon r et de l’angle α, on
procède comme suit :
αdeg
ℓ = r · αrad ou ℓ = r ·
· 2π
360
Pour la valeur de l’aire A du secteur circulaire, on procède de manière analogue :
A=
1 2
· r · αrad
2
ou A = π · r 2 ·
αdeg
360
Mathématiques 2C
35
Exemple
Un angle au centre θ est sous-tendu par un arc de 10 cm sur un cercle de 4 cm de rayon.
Déterminer la mesure de θ en degrés, ainsi que l’aire du secteur circulaire déterminé par θ.
b
θ
b
b
3.2
Le triangle rectangle
Dans ce paragraphe, nous allons définir les rapports trigonométriques pour les angles aigus.
Considérons un angle aigu de sommet A et des droites perpendiculaires à l’un ou à l’autre
de ses côtés.
B3
b
C2
b
C1
b
A
α
b
b
B1
b
b
C3
B2
Les triangles rectangles ainsi formés AB1 C1 , AB2 C2 , AB3 C3 , ... ont deux angles isométriques (celui en A et l’angle droit), ils sont donc semblables 1 . On en déduit entre autres
les égalités suivantes :
1. Deux triangles ABC et A′ B ′ C ′ sont dits semblables si
AB
A′ B ′
=
BC
B′ C ′
=
AC
A′ C ′ .
36
Mathématiques 2C
coté opposé
B1 C1
B2 C2
B3 C3
=
=
=
= ...
hypoténuse
AC1
AC2
AC3
AB1
AB2
AB3
coté adjacent
=
=
=
= ...
hypoténuse
AC1
AC2
AC3
coté opposé
B1 C1
B2 C2
B3 C3
=
=
=
= ...
coté adjacent
AB1
AB2
AB3
AB1
AB2
AB3
coté adjacent
=
=
=
= ...
coté opposé
B1 C1
B2 C2
B3 C3
Ainsi, tous ces rapports ne dépendent que de l’angle aigu α et non du choix du triangle
ABC rectangle en B et dont l’angle en A mesure α. Nous pouvons donc définir les relations
suivantes, appelées rapports trigonométriques du triangle rectangle :
cos(α) =
coté adjacent
hypoténuse
sin(α) =
coté opposé
hypoténuse
tan(α) =
coté opposé
coté adjacent
cot(α) =
coté adjacent
coté opposé
Ces rapports définissent les fonctions trigonométriques pour les angles aigus.
Exemples a) Déterminer les valeurs exactes des rapports trigonométriques des angles
de 30˚, 45˚et 60˚.
Considérons un triangle équilatéral dont les côtés ont une longueur de 2. En utilisant
l’un de ses axes de symétrie, on peut déduire :
cos(60˚) =
sin(60˚) =
tan(60˚) =
cot(60˚) =
cos(30˚) =
sin(30˚) =
tan(30˚) =
cot(30˚) =
Considérons un triangle isocèle rectangle dont les deux côtés isométriques ont une
longueur de 1. On peut en déduire :
cos(45˚) =
sin(45˚) =
tan(45˚) =
cot(45˚) =
Mathématiques 2C
37
b) Résoudre 2 le triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 7 cm et l’une de ses cathètes 4 cm.
3.3
Les fonctions trigonométriques
Cercle trigonométrique
Par définition, le cercle trigonométrique est un cercle
a) dont le rayon vaut 1 unité ;
b) dont le centre est (0; 0).
Il n’y a qu’un seul cercle trigonométrique...
Voici le cercle trigonométrique dans lequel on a placé à titre d’exemple l’angle α = 4π/3 :
1.0
0.5
α = 4.1888
b
−1.0
b
0.5
−0.5
1.0
−0.5
b
−1.0
On peut représenter un angle quelconque compris entre 0 et 2π dans le cercle trigonométrique, de manière naturelle. On associe également un angle à tout nombre réel x, de la
façon suivante :
a) si x est positif et inférieur à 2π, on le place naturellement sur le cercle trigonométrique ;
2. Résoudre un triangle consiste à calculer les éléments non donnés (côtés et angles).
38
Mathématiques 2C
b) si x est positif et plus grand que 2π, on fait « plusieurs fois le tour », autant que
nécessaire ;
c) si x est négatif, on change le sens de rotation de l’angle et on procède comme pour
les points a) et b).
Mathématiques 2C
39
fonction cosinus
Considérons un angle x dans le cercle trigonométrique, défini par un point sur ce cercle
et dont la valeur est exprimée en radians. On associe à cet angle x un nombre compris
entre −1 et 1, de la façon suivante : On projette le point du cercle associé à x sur l’axe
horizonal Ox et on lit la valeur qui correspond. Cette valeur s’appelle le cosinus de x et
se note cos(x).
1.0
b
0.5
x = 2.27
b
−1.0
b
−0.5
b
0.5
1.0
cos(x)
−0.5
−1.0
http://www.b3s.ch/grapheCosinus.html
On a représenté ci-dessous le graphe de la fonction cosinus.
1.0
b
b
y = cos(x)
0.5
1.57
3.14
−0.5
−1.0
b
4.71
6.28
40
Mathématiques 2C
fonction sinus
Considérons un angle x dans le cercle trigonométrique, défini par un point sur ce cercle et
dont la valeur est exprimée en radians. On associe à cet angle x un autre nombre compris
entre −1 et 1, de la façon suivante : On projette le point du cercle associé à x sur l’axe
vertical Oy et on lit la valeur qui correspond. Cette valeur s’appelle le sinus de x et se
note sin(x).
1.0
0.5
x = 5.46
b
−1.0
0.5
−0.5
1.0
sin(x)
−0.5
b
b
−1.0
http://www.b3s.ch/grapheSinus.html
On a représenté ci-dessous le graphe de la fonction cosinus.
1.0
0.5
b
y = sin(x)
b
b
1.57
−0.5
−1.0
3.14
b
4.71
6.28
Mathématiques 2C
41
fonction tangente
Considérons un angle x dans le cercle trigonométrique, défini par un point sur ce cercle
et dont la valeur est exprimée en radians. On associe à cet angle x un autre nombre qui
peut varier entre −∞ et +∞, de la façon suivante : On mène la tangente t au cercle
trigonométrique par le point (1; 0). La tangente de l’angle α est la longueur du segment
qui relie ce point (1; 0) avec l’intersection de la droite support de l’angle et de la tangente t.
1.0
b
0.5
tan(x)
α = 3.66
b
−1.0
b
0.5
b
−0.5
−0.5
−1.0
http://www.b3s.ch/grapheTangente.html
On a représenté ci-dessous le graphe de la fonction tangente.
2
1
b
1.57
−1.57
y = tan(x)
−1
−2
1.0
42
Mathématiques 2C
3.4
Le triangle quelconque
Généralités
Rappelons les conventions de notation concernant les sommets, les côtés et les angles d’un
triangle :
C
b
γ
b
a
A
α
b
β
c
b
B
On rappelle également qu’un triangle est entièrement déterminé par
a) la donnée des longueurs de ses trois côtés a, b et c ;
b) la donnée de la longueur de deux de ses côtés et de la mesure de l’angle compris
entre ces deux côtés ;
c) la donnée de la mesure de deux de ses angles et de la longueur d’un de ses côtés.
Exemples
1) Soit ABC un triangle dont on connaît la longueur des trois côtés :
a = 5 cm,
b = 4 cm,
c = 6 cm
C
b
b
a
A
b
c
b
B
Pour la construction, on procède comme décrit à la page suivante.
a) On trace pour commencer un segment de longueur c et on nomme A et B ses
extrémités.
Mathématiques 2C
43
b) On trace ensuite un arc de cercle de rayon b centré en A et un arc de cercle de
rayon a centré en B.
c) On choisit enfin une des deux intersections de ces arcs qui donne le point C. Il
ne reste plus qu’à tracer les deux côtés restants.
2) Soit ABC un triangle dont on connaît la longueur de deux côtés et la mesure de
l’angle compris entre ces deux côtés :
b = 3 cm,
b
A
b
b
c = 8 cm,
α = 30˚
C
α = 30˚
a
b
B
Pour la construction, on procède comme ci-dessous.
a) On trace pour commencer un segment de longueur c et on nomme A et B ses
extrémités.
b) On trace ensuite l’angle α en A et la demi-droite support du côté AC.
c) L’intersection de cette demi-droite avec un arc centré en A de 3 cm de rayon
donne le sommet C. Il ne reste plus qu’à tracer le côté BC.
44
Mathématiques 2C
3) Soit ABC un triangle dont on connaît la longueur d’un côté et la mesure de deux
de ses angles. On peut supposer que les angles que l’on connaît sont adjacents au
côté dont on connaît la mesure :
c = 5.5 cm,
α = 52˚,
β = 83˚
C
b
b
a
A
b
α = 52˚
β = 83˚
c
b
B
Pour la construction, on procède comme ci-dessous.
a) On trace pour commencer un segment de longueur c et on nomme A et B ses
extrémités.
b) On trace ensuite l’angle α en A, l’angle β en B et les demi-droites support des
côtés AC et BC.
c) Ces deux droites se coupent en C. Il ne reste plus qu’à tracer les côtés AC et
BC.
Mathématiques 2C
45
Théorème du cosinus
Dans tout triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres,
diminuée du double produit de ces côtés par le cosinus de l’angle qu’ils comprennent :
A
b
b
α
c
γ
β
b
C
a
b
B
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(α)
b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos(β)
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)
Preuve:
À titre d’illustration, on démontre le théorème en se restreignant au cas dans lequel les
angles α et β sont aigus :
C
a
b
γ
b
β
b
b
B
H
c
α
b
A
En calculant des rapports trigonométriques dans les triangles AHC et BHC on peut
écrire :
cos(β) =
HB
a
⇒
HB = a · cos β
et
sin(β) =
HC
a
⇒
HC = a · sin β
Vu que H se trouve sur le segment AB, on a
AB = AH + HB
⇔
AH = AB − HB
⇔
AH = c − a · cos β
46
Mathématiques 2C
En appliquant le théorème de Pythagore au triangle AHC, on obtient
⇔
⇔
⇔
⇔
AH 2 + HC 2 = AC 2
(c − a · cos β)2 + (a · sin β)2 = b2
c2 − 2 · a · c cos β + a2 · cos2 β + a2 · sin2 β = b2
c2 − 2 · a · c cos β + a2 · (cos2 β + sin2 β) = b2
{z
}
|
=1
b2 = c2 + a2 − 2 · a · c cos β
qui est l’une des formules de l’énoncé du théorème.
Le théorème du cosinus est une généralisation aux triangles quelconques du théorème de
Pythagore.
Mathématiques 2C
47
Théorème du sinus
Dans tout triangle, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés. Le facteur
de proportionnalité est égal au double du rayon r du cercle circonscrit au triangle :
b
c
a
=
=
= 2r
sin(α)
sin(β)
sin(γ)
Preuve:
Soit Γ le cercle circonscrit au triangle ABC centré en O. On trace le diamètre AOA′ de
Γ.
C
b
Γ
γ
a
b
b
A′
γ
b
O
A
b
c
b
B
Vu que Γ est le cercle de Thalès du segment AA′ , le triangle ABA′ est rectangle en B.
′ B.
[ = AA
\
Par le théorème de l’angle inscrit, on a γ = ACB
Comme sin(γ) =
c
c
c
=
, on en déduit que
= 2 · r.
′
AA
2·r
sin(γ)
De manière identique, on obtient les autres égalités.
Théorème de l’aire
L’aire d’un triangle est égale au demi-produit de deux de ses côtés par le sinus de l’angle
compris :
1
1
1
A = · b · c · sin(α) = · a · c · sin(β) = · a · b · sin(γ)
2
2
2
48
Mathématiques 2C
Preuve:
La hauteur issue de C vaut b · sin(α). Ainsi
A=
1
1
· base · hauteur = · b · c sin(α)
2
2
On obtient les autres égalités de manière analogue.
Mise en garde
Si α est l’angle d’un triangle, la valeur de cos(α) permet de déterminer l’angle α sans
ambiguïté. Par contre, la valeur de sin(α) ne permet pas de déterminer α de manière
unique, car deux angles dont la somme vaut 180˚ont le même sinus, vu les définitions du
paragraphe 3.2.
Il est donc primordial d’être prudent lors de l’utilisation du théorème du sinus en envisageant toutes les solutions et en éliminant celles qui sont indésirables : il faut que la
condition α + β + γ = 180˚ soit satisfaite ou que le plus grand angle soit opposé au plus
grand côté.
Dans le but d’éviter des fautes liées à l’utilisation du théorème du sinus, il est vivement
conseillé, lors de la recherche d’un angle, d’utiliser d’abord de théorème du cosinus, si le
problème le permet.
Exemples a) Déterminer les angles du triangle ABC et le rayon de son cercle circonscrit si a = 4, b = 7 et c = 10. Construire ce triangle et donner la marche à suivre de
la construction.
Mathématiques 2C
49
b) Déterminer l’aire du triangle ABC déterminé par a = 5, β = 114˚ et γ = 31˚.
Construire ce triangle et donner la marche à suivre de la construction.
c) Déterminer les angles et la longueur du côté inconnu du triangle ABC si a = 5,
c = 4 et γ = 30˚. Construire ce triangle et donner la marche à suivre de la construction.