TD 3 - Produits directs et semi-directs

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 3 - Produits directs et semi-directs
Exercice 1 (Les p-Sylow de Sn ). Soit n ≥ 1 et p un nombre premier ≤ n.
1. Calculer la valuation p-adique de n! : c’est le nombre k tel que pk est le cardinal des p-Sylow
de Sn .On pourra remarquer que pour k ∈ N, l’ensemble Ak des éléments de {1, ..., n} de
valuation p-adique égale à k est de cardinal E(n/pk ) − E(n/pk+1 ).
2. Déterminer les p-Sylow de Sp . Montrer en particulier qu’ils sont cycliques. Combien y en
a-t-il ?
3. Soit m ≥ 2. On suppose connu un Sylow S de Spm−1 . Montrer qu’un p-Sylow de Spm est
isomorphe à un produit semi-direct de copies de S et de Z/pZ.On pourra d’abord découper
l’ensemble {1, ..., pm } en p sous-ensembles de cardinal pm−1 et construire un sous-groupe N
de Spm isomorphe à p-copies de S.
P
4. En déduire la forme des p-Sylow de Sn . On écrit n en base p sous la forme n = i ai pi .
A l’aide deP
la première question, montrer que la valuation p-adique vp (n!) de n est égale
à vp (n!) = i ai vp (pi !). En déduire qu’un p-Sylow de Sn est un produit direct de ai copies
d’un Sylow de Spi pour i parcourant N.
Exercice 2 (Groupe dihédral). Soit n ∈ N, n ≥ 3. L’ensemble Rn des racines nième de l’unité
représentées dans C forment un polygône régulier à n côtés centré en 0 auquel on l’identifie. On
note Dn le groupe des isométries affines du plan qui laissent Rn invariant.
1. Exhiber un sous-groupe distingué d’ordre n de Dn et montrer que Dn est de cardinal 2n.
Montrer que Dn ≃ Z/nZ ⋊ Z/2Z.
2. Quel est le cardinal du centre Z(Dn ) du groupe dihédral ?
3. Si d divise n, identifier D nd avec un quotient de Dn .
Exercice 3. Soient n un entier strictement positif et K un corps. On considère la suite exacte
(1)
det
1 → SLn (K) → GLn (K) → K∗ → 1.
1. Montrer que GLn (K) est produit semi-direct de SLn (K) par K∗ .
2. Montrer qu’il existe une section de (1) qui identifie GLn (K) au produit direct SLn (K) × K∗
si et seulement s’il existe un morphisme de groupes s : K∗ → K∗ tel que pour tout x ∈ K∗
on a s(x)n = x.
3. En supposant que K = R, déterminer les valeurs de n pour lesquelles il existe une section
de (1) qui identifie GLn (K) au produit direct SLn (K) × K∗ .
4. Même question avec K = C, puis avec K un corps fini.
Exercice 4 (Groupes d’ordre 8).
1. Soit G un groupe d’ordre 8. En discutant selon la
valeur du maximum des ordres des éléments de G, montrer que G est isomorphe à l’un des
groupes suivants :
Z/8Z, , (Z/2Z)3 , Z/2Z × Z/4Z, D4 , H8
1
2
où H8 = {±1, ±i, ±j, ±k} désigne le groupe des quaternions dont la table est donnée par
i2 = j 2 = k2 = −1,
jk = −kj = i,
ij = −ji = k,
ki = −ik = j.
2. Vérifier que le groupe des quaternions n’est ni un produit direct, ni un produit semi-direct
de deux sous-groupes non triviaux.
3. Décrire les 2-Sylow de SL2 (F3 ).
Exercice 5. Soient p un nombre premier impair et G1 le sous-groupe de SL2 (Fp ) formé des
matrices triangulaires supérieures :
a b
G1 =
, a, b ∈ Fp , a 6= 0 .
0 a−1
Écrire G1 sous forme d’un produit semi-direct. Écrire toutes les classes de conjugaison de G1 .


a 0 b
Exercice 6. Soit G l’ensemble des matrices de GL3 (R) de la forme  0 a c  , ad 6= 0.
0 0 d
1. Vérifier que G est un sous-groupe de GL3 (R).
2. Ecrire G sous la forme d’un produit semi-direct. Est-ce un produit direct ?
Exercice 7. Soient H, N deux groupes.
1. Soit ψ : H → Aut N un morphisme et α un automorphisme de H. On considère ϕ = ψ ◦ α :
H → Aut N . Montrer que N ×ϕ H et N ×ψ H sont isomorphes.
2. Soient p et q deux nombres premiers distincts. Montrer que tout groupe d’ordre pq est
isomorphe à un produit semi-direct de Z/pZ et de Z/qZ. Déterminer à isomorphisme près
tous les groupes d’ordre pq.
3. Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre 21 (resp.35).
Exercice 8 (“Le” groupe (Z/pZ × Z/pZ) ⋊ Z/pZ). Soit p un nombre premier.
1. Montrer que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures unipotentes est un p-Sylow
de GL2 (Fp ). Quel est le nombre de p-Sylow de GL2 (Fp ) ?
2. Soient φ et ψ deux morphismes non-triviaux de Z/pZ dans GL2 (Fp ). Pour tout k ∈ Z, on
note φk le morphisme défini par
φk : Z/pZ → GL2 (Fp ), m 7→ φ(km).
Montrer qu’il existe k ∈ N, P ∈ GL2 (Fp ) tels que ψ = P φk P −1 .
3. En déduire l’existence et l’unicité d’un produit semi-direct (non-direct) (Z/pZ × Z/pZ) ⋊
Z/pZ à isomorphisme près.
4. Montrer que le centre de (Z/pZ × Z/pZ) ⋊ Z/pZ est isomorphe à Z/pZ.
indication : on pourra remarquer que si G est un groupe et H un sous-groupe central tel que
G/H est cyclique, alors G est abélien.
5. Montrer que le sous-groupe de GL3 (Fp ) des matrices triangulaires supérieures unipotentes
est isomorphe à (Z/pZ × Z/pZ) ⋊ Z/pZ. Identifier son centre.