Théorie et exercices

Techniques
fondamentales
de mathématiques
Théorie + Exercices
BA1 en chimie,
mathématiques,
physique,
sciences,
sciences de l’ingénieur (orientation bioingénieur).
Table des matières
1 Présentation et généralités
1.1 Ensembles de nombres, et opérations sur les ensembles . . . . . . . . . .
1
1
2 La droite, le plan, l’espace : représentations
2.1 La droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
8
3 Trigonométrie
3.1 La notion d’angle : généralités . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Le radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Fonctions trigonométriques dans le cercle . . . . . . . . .
3.4 Valeurs importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Retrouver un angle à partir du sinus ou du cosinus
3.5 Relation fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Symétrie par rapport à l’axe des abscisses . . . . .
3.6.2 Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées . . . . .
3.6.3 Symétrie par rapport à l’origine . . . . . . . . . . .
3.6.4 Symétrie par rapport à la première bissectrice . . .
3.6.5 Angles décalés de 90˚ . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 D’autres identités remarquables : formulaire . . . . . . . .
3.8 Fonctions trigonométriques dans les triangles . . . . . . .
3.8.1 Triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20
21
4 Fonctions
4.1 Généralités sur la notion de fonction . . . . .
4.1.1 Fonction et fonction partielle . . . . .
4.1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Nomenclature . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.1 Image . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3.2 Antécédent . . . . . . . . . . .
4.1.3.3 Domaine . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Interprétation de la notion de fonction
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ii
TABLE DES MATIÈRES
4.1.5.1 Association . . . . . . . . . . . . .
4.1.5.2 Transformation . . . . . . . . . . .
4.1.6 Image d’une fonction . . . . . . . . . . . . .
4.1.7 Domaine de définition . . . . . . . . . . . .
4.1.8 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.9 Antécédent . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.10 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.11 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.12 Injectivité et surjectivité . . . . . . . . . . .
4.1.13 Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Quelques familles de fonctions . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Fonctions linéaires, affines et polynomiales
4.2.1.1 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.2 Fonctions polynomiales . . . . . .
4.2.2 Les fonctions exponentielles et logarithmes
4.2.2.1 Exponentielles . . . . . . . . . . . .
4.2.2.2 Logarithmes et logarithme naturel
4.2.2.3 Identités importantes . . . . . . . .
4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Dérivées
5.1 Approche intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Nombre dérivé, fonction dérivée. . . . . . . . . . . .
5.2.1 Notations de la dérivée (et dérivées partielles)
5.3 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Règle de dérivation en chaîne . . . . . . . . .
5.3.3 Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . .
5.4 Application : recherche d’extrema . . . . . . . . . . .
5.5 Application : croissance et décroissance . . . . . . . .
5.6 Application : esquisse du graphe d’une fonction . . .
5.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Intégration
51
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Rappels et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.3 Applications à la physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A De nombreuses notations
A.1 Informations non-écrites et implicites
A.2 Alphabets . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Quantificateurs . . . . . . . . . . . .
A.4 Connecteurs logiques . . . . . . . . .
A.5 Indices et exposants . . . . . . . . . .
A.6 Abbréviations communes . . . . . . .
A.7 Rigueur et formalisme . . . . . . . . .
A.8 Utilisation de la langue . . . . . . . .
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63
TABLE DES MATIÈRES
iii
A.9 Stratégies de lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Index
65
Document réalisé par : Nicolas Brouette, Jonathan Demeyer, Thomas Lessines, Nicolas Richard.
1
Présentation et généralités
Notre expérience a montré que beaucoup d’étudiants doivent ré-apprendre une
partie de la matière vue en secondaire. Si pour certains cela ne sera qu’une formalité,
pour la majorité ce sera un processus nécessitant un investissement en temps qu’il ne
faut pas prendre à la légère.
Afin d’aider les étudiants dans cette ré-appropriation de leurs connaissances mathématiques, le cours « Techniques fondamentales de mathématiques » a été créé.
Celui-ci se décline en deux types d’activité : des cours théoriques et des séances d’exercices. Le présent document sert de support écrit pour ces deux activités.
Ce cours se distingue de la plupart des autres cours en ce qu’il n’est pas question d’apprendre du neuf, mais de ré-apprendre et d’intégrer de la matière supposée
connue. À ce titre, il ne devra pas surprendre le lecteur de voir une notion citée avant
qu’elle soit défnie : cela permet de créer des liens entre les diverses notions.
Quand un terme est introduit, il est en général indiqué en italique et rappelé dans
la marge. Par exemple : l’italique est une forme d’écriture qui consiste à pencher les italique
caractères par rapport à leur forme normale. On notera qu’il y a également une entrée
dans l’index, en fin de document, pour les termes définis de la sorte.
Une version électronique de ce document est disponible au format PDF, et présente deux avantages non-négligeables :
– il est « cherchable », c’est-à-dire que par exemple grâce au raccourci clavier bien
connu Control-f, il est possible de chercher dans le texte du document ; et
– il est « cliquable », en ce sens que les références internes sont des liens hypertextes permettant de se déplacer dans le document par un clic de souris.
La version papier du document présente quant à elle tous les avantages du papier,
comme par exemple :
– il s’emporte facilement, partout,
– il est simple à annoter, commenter, surligner, etc.
Quelle que soit la version choisie, une lecture attentive de la table des matières
peut se révéler utile. Si un nom de section ne vous évoque pas immédiatement son
contenu, il semble raisonnable de la lire.
1.1
Ensembles de nombres, et opérations sur les
ensembles
Dans cette section nous rappelons la terminologie et les conventions usuelles liées
aux nombres et à certaines constructions d’ensembles.
1
2
CHAPITRE 1. PRÉSENTATION ET GÉNÉRALITÉS
Remarque. Nous ne formulons ici aucune définition formelle ou rigoureuse : ces notions sont supposées connues « intuitivement ».
entiers
naturels
entiers
relatifs
nombres
rationnels
Les entiers naturels. Ce sont les nombres qui permettent de compter. L’ensemble
des entiers naturels est noté N. Il contient des nombres tels que 0, 1, 5, 42, 6 841 241 237
et tant d’autres.
Le nombre 0 est donc un nombre entier naturel. La notation N0 désigne l’ensemble
des naturels sauf ce 0.
Notons que les entiers (et les mathématiques en général) sont une simplification
de la réalité : on compte, mais on ne dit pas ce qu’on compte. Cela a l’avantage de pouvoir faire des raisonnements généraux du type « 2 + 3 = 5 », qu’il s’agisse de pommes,
de demi-pommes ou de bombes à neutron. En transposant les résultats mathématiques au monde réel, il faut veiller à bien préciser ce qui est compté.
Les entiers relatifs L’ensemble des entiers relatifs, noté Z et souvent simplement
appelé l’ensemble des entiers, contient les entiers naturels et leur opposé : −42, −5, 4,
−9, 2, 6 et −38 sont tous des entiers.
Les rationnels Quand on compte « il y a une demi-pomme », on compte une (le
nombre entier 1) demi-pomme. La notion de moitié est plus abstraite que du comptage, et demande d’introduire les nombres rationnels. Le nombre rationnel 1/2 est un
nombre caractérisé par le fait que son double vaut 1.
De manière générale, les nombres rationnels sont les nombres qui s’écrivent m
n avec
m un entier et n un entier non-nul. Pour rappel, les fractions s’additionnent et se
multiplient comme suit :
Somme
Produit
a x ay xb ay + xb
+ =
+
=
b y by by
by
a x ax
· =
b y by
Notons encore une fois la simplification du problème physique : en mathématiques, deux demis font un, alors qu’en pratique deux demi-pommes ne font pas une
pomme. Pas convaincus ? Prenez dix milles dix-millièmes de pomme. Alors, bonne à
croquer ?
On notera que l’écriture d’un nombre rationnel sous forme de quotient de deux
entiers n’est pas unique. Par exemple 42 et 12 représentent le même nombre rationnel :
ils sont égaux. En d’autres termes, on peut écrire 24 = 12 . Il existe une autre écriture des
nombres rationnels : le développement décimal. Par exemple, on écrira 12 = 0,5. Si ce
concept ne vous est pas familier, parlez-en à vos enseignants.
nombres
réels
Les nombres réels L’ensemble des nombres réels est plus complexe. Il contient notamment tous les ensembles précédents. Cet ensemble
non-seulement les ra√ contient
2
tionnels, mais également des nombres tels que 4 − 2 ou π + 2/3. Décrire précisément
1.1. ENSEMBLES DE NOMBRES, ET OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES
3
l’ensemble des réels prendrait du temps, et ce n’est pas le but ici. Rappelons-nous simplement qu’on le note R, et qu’on le représente le plus souvent par une droite « sans
trou » (voir aussi la section « La droite », page 5). Les nombres réels, tout comme les
rationnels, possèdent également un développement décimal.
Intervalles Un intervalle s’entend en général comme un intervalle de nombres réels : intervalle
c’est l’ensemble des nombres réels compris entre deux réels fixés. Par exemple [−2, π]
est l’ensemble des réels compris entre −2 et π. Chaque crochet peut être dans un sens
ou dans l’autre selon que la borne correspondante est dans l’intervalle ou pas :
– [−2, π] désigne l’ensemble des réels de −2 (compris) à π (compris),
– ]−2, π] désigne l’ensemble des réels de −2 (non-compris) à π (compris),
– [−2, π[ désigne l’ensemble des réels de −2 (compris) à π (non-compris),
– ]−2, π[ désigne l’ensemble des réels de −2 (non-compris) à π (non-compris),
Opérations sur les ensembles Si A et B sont deux ensembles, on définit
– l’union A∪ B est l’ensemble des éléments qui sont dans A ou dans B (ou dans les
deux),
– l’intersection A ∩ B est l’ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et dans
B,
– la différence A \ B est l’ensemble des éléments qui sont dans A, mais pas dans B.
– le produit A × B est l’ensembles des couples d’éléments de la forme (u, v) avec
u ∈ A et v ∈ B.
2
La droite, le plan, l’espace :
représentations
Nous discutons dans ce chapitre de certains objets que sont la droite, le plan et
l’espace. En particulier nous aborderons divers systèmes de coordonnées sur ces objets géométriques. Un système de coordonnées est une manière de désigner les points
(de la droite, du plan, de l’espace, de la terre, . . .) en indiquant leur position par rapport à certaines marques de références. Les plus connus sont le système de latitudelongitude utilisé pour la terre et, pour les étudiants fraîchement sortis du secondaire,
les systèmes de coordonnées cartésiennes voire, pour certains, de coordonnées polaires du plan.
2.1
La droite
Coordonnées cartésiennes. Pour désigner les points d’une droite dessinée, il est
d’usage de les faire correspondre à des nombres réels de la manière suivante : d’abord
on choisit sur cette droite deux points, le premier est nommé « origine » et correspond
à 0, le second correspond à 1 ; ils servent de référence pour placer les autres points
en respectant la proportionnalité : un réel x quelconque correspond à un point placé
à une distance, par rapport à 0, égale à « |x| multiplié par la distance 1 entre 0 et 1 »
avec la condition que les points x et 1 sont
1. du même côté du 0, si x est positif, mais
2. de part et d’autre de 0 si x est négatif.
Si l’on y pense un instant, c’est la chose raisonnable et naturelle à faire.
Cette manière de faire fournit un lien (appelé une bijection) entre les points de la
droite d’une part, et les nombres réels d’autre part. Le nombre réel associé à un point
est appelé abcisse ou coordonnée cartésienne du point. La donnée d’une origine et d’une abcisse
unité sur une droite est appelée un repère cartésien sur la droite.
repère
cartésien
Exercice. Sur la droite ci-dessous, le nombre 1 a été oublié.
R
−4
−2
0
2
4
?
1. Une fois les coordonnées cartésiennes bien comprises, on se rend compte qu’en calculant les
distances dans une unité bien choisie (correspondant à la distance entre 0 et 1 justement) un réel x se
retrouve simplement à distance |x| de 0, et le signe de x donne la position par rapport à 0.
5
6
CHAPITRE 2. LA DROITE, LE PLAN, L’ESPACE : REPRÉSENTATIONS
1. Marquer le nombre 1 où il devrait être.
2. Quel est (approximativement) le nombre marqué d’un point d’interrogation ?
En d’autres termes, quelle est l’abcisse du point sur la droite ?
3. Placer les points d’abcisse −3, π et 1,2.
4. Défi : placer le nombre 15 sans écrire sur la table.
Cet exercice illustre le fait que le système cartésien fonctionne très bien pour repérer des points qui ont déjà été dessinés : les distances en jeu ne dépassent jamais la
taille de la feuille, mais si un point d’abcisse plus grande nous intéresse, que faire ? La
droite est sans limite, et certains points intéressants (pour un problème donné) sont
parfois « loins » de l’origine.
Interlude physique. Nous avons déjà compris qu’un système de coordonnées sur la
droite, ce n’est rien d’autres que d’attribuer un nombre à chaque point de la droite ;
et réciproquement à chaque réel est associé un unique point sur la droite. Les deux
objets en présence, à savoir la droite et l’ensemble des nombres réels, se correspondent
alors.
D’un point de vue géométrique, l’objet intéressant est la droite. Les nombres réels
servent alors d’outils pour repérer des points sur la droite. C’est de la sorte que les
coordonnées cartésiennes ont été introduites.
Inversément il se peut que les données intéressantes soient les nombres réels (par
exemple des grandeurs physiques, comme la masse). Auquel cas c’est la droite qui sert
d’outil pour se représenter ces grandeurs, et dans ce contexte il est courant de vouloir
marquer des points sur une droite en connaissant déjà le nombre réel qu’on veut lui
associer. Un exemple ?
Les planètes du système solaire ont les masses, exprimées en kilos, suivantes :
Planète
Jupiter
Saturne
Neptune
Uranus
Terre
Vénus
Mars
Mercure
Masse (kg)
1,898 6 · 1027
5,684 6 · 1026
1,024 3 · 1026
8,683 2 · 1025
5,973 6 · 1024
4,868 5 · 1024
6,418 5 · 1023
3,302 · 1023
et bien sûr, ces nombres sont beaucoup trop grands que pour les représenter docilement sur une droite en coordonnées cartésiennes où l’on aurait mis 0 et 1 à un distance
de un centimètre, ou même une distance d’un milimètre. Une première possibilité de
changer d’unité : plutôt que des kilos, nous pourrions choisir une unité dans laquelle
Jupiter, la plus massive de ces planètes, serait raisonablement placée sur la feuille.
Prenons donc 1026 kilos comme unité, et voyons les nombres qu’il faudrait placer :
2.1. LA DROITE
7
Planète
Jupiter
Saturne
Neptune
Uranus
Terre
Vénus
Mars
Mercure
Masse (1026 kg)
18,986
5,684 6
1,024 3
0,868 32
0,059 736
0,048 685
0,006 418 5
0,003 302
ce qui, en prenant une distance d’un centimètre entre 0 et 1, nous mettrait Mercure
à 0,03 milimètres de l’origine, et Mars à 0,06 milimètres. Autant dire impossible à
distinguer !
Nous le voyons par cet exemple : si la proportionnalité (dans les coordonnées cartésiennes) facilite la compréhension des données sur la feuille car son principe est
simple, elle n’est pas toujours praticable.
Coordonnées logarithmiques. Pour représenter certaines données sur une droite, il
peut s’avérer nécessaire de ne pas respecter la proportionnalité (qui est à la base des
coordonnées cartésiennes). En coordonnées logarithmiques, nous utilisons la fonction
log (en base 10, voir aussi section 4.2.2) pour représenter des réels tous strictement
positifs.
La technique est la suivante : plutôt que de placer x sur la droite comme si x était
une coordonnée cartésienne, nous plaçons x au point dont la coordonnée cartésienne
est log(x). Par exemple, le nombre 150 s’inscrit en coordonnées logarithmiques de la
façon suivante :
150
0,000 1 0,001
0,01
0,1
1
10
100
1 000 10 000
ce qu’on comprend en « prenant le logarithme (en base 10) de tout cela : »
2,176 . . .
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Cette seconde droite graduée est liée à la première de la manière suivante :
• 10−4 = 0,000 1,
• 10−3 = 0,001,
• 10−2 = 0,01,
..
.
• 103 = 1 000,
• 104 = 10 000,
et bien évidemment : 102,176 = 150.
8
CHAPITRE 2. LA DROITE, LE PLAN, L’ESPACE : REPRÉSENTATIONS
2.2
Le plan
Coordonnées cartésiennes du plan. Des coordonnées cartésiennes du plan sont définies à l’aide du choix d’un point, appelé origine et noté O, et de deux vecteurs, appe−→
lés les vecteurs de base : un premier vecteur, noté −
u→
x , et un second vecteur noté uy (le
vecteurs de
nom des vecteurs importe peu, mais il faut leur donner un nom pour les distinguer).
−→
base
Ces trois objets, (O, −
u→
x , uy ), forment un repère cartésien sur le plan.
Les plus classiques de tous les repères cartésiens sont ceux qui sont orthonormés
repère
(ortho
parce que les vecteurs sont pris orthogonaux (perpendiculaires), et normés
cartésien
parce que ces vecteurs sont tous les deux de même longueur 2 ). Cela étant dit, ce
orthonormés choix n’est pas obligatoire, et on peut se contenter d’un repère n’ayant aucune de ces
bonnes propriétés.
Ayant un tel repère, nous pouvons maintenant repérer un point P en lui attribuant
des coordonnées (x, y) comme suit : on commence par dessiner les droites Dx et Dy
passant par O et allant dans la direction donnée par le vecteur correspondant du
repère, puis il faut projeter le point P sur chacune de ces droites parallèlement à
l’autre, ce qui donne les points a (sur Dx ) et b (sur Dy ).
À ce stade, nous avons d’une part la droite Dx munie d’une origine O et d’une unité
donnée par l’extrémité du vecteur u
~x , et d’autre part Dy munie de la même origine et
de l’unité donnée par l’extrémité de u
~y . Ces données fournissent donc un système de
coordonnée cartésienne sur chacune des deux droites. La coordonnée de a sur Dx est
notée x, la coordonnée de b sur Dy est notée y, et ces deux nombres fournissent le
couple de coordonnées (x, y) de P dans le repère cartésien.
origine
Coordonnées cartésiennes du plan : résumé. Sur le plan, nous avons défini un repère cartésien par la donnée de (O, u
~x , u
~x ), ce qui nous a permis de construire deux
droites, Dx et Dy , chacune étant automatiquement munie d’un repère cartésien. Pour
un point P du plan, trouver ses coordonnées cartésiennes devenait alors équivalent à
trouver les coordonnées cartésiennes de deux points construits à partir de P par projection. En d’autres termes, nous avons ramené un problème de dimension 2 à deux
problèmes de dimension 1.
Coordonnées logarithmiques et semi-log du plan. Nous avons définis les deux coordonnées cartésiennes d’un point P du plan comme étant composé de la coordonnée cartésienne de a sur Dx , et la coordonnée cartésienne de b sur Dy . Or en ce qui
concerne la droite, nous avons également vu que nous pouvions choisir une coordonnée logarithmique plutôt qu’une coordonnée cartésienne. Ceci permet donc de
construire trois autres systèmes de coordonnées sur le plan :
– Les coordonnées logarithmiques, également appelé log-log, définies par (log x, log y),
c’est-à-dire le couple des coordonnées logarithmiques de a et de b.
– Deux systèmes de coordonnées semi-logarithmiques, également appelés semilog, définies par (log x, y) ou par (x, log y), selon l’axe que nous décidons de graduer logarithmiquement.
2. Dans le cas d’un repère normé, comme indiqué dans la note 1 au bas de la page 5, on peut
considérer que cette distance commune vaut 1.
2.2. LE PLAN
9
P
x~
y~
(a) Données de départ : un système cartésien et un point dont on cherche les coordonnées.
P
Dx
Dy
x~
y~
(b) Construction des droites Dx et Dy
P
b
Dx
Dy
x~
a
y~
(c) Construction des points a et b par projection.
Figure 2.1: Constructions des coordonnées cartésienne d’un point P dans un repère
cartésien donné.
10
CHAPITRE 2. LA DROITE, LE PLAN, L’ESPACE : REPRÉSENTATIONS
coordonnées Coordonnées polaires. Pour définir des coordonnées polaires du plan, on se choisit
polaires
une origine O (un point) et une demi-droite issue de ce point. Un point P est alors
repéré dans le plan par deux coordonnées, souvent notées (r, θ), où r correspond à la
distance entre O et P, et θ correspond à l’angle orienté 3 entre la demi-droite choisie et
la demi-droite issue de O passant par P. Cet angle (généralement exprimé en radians)
est défini à un tour complet près (2π radians ou 360 degrés). Afin d’assurer que les
coordonnées de P sont uniques (sauf lorsque P est l’origine), on choisit θ ∈ [0; 2π[.
P
r
θ
Lien entre coordonnées polaires et cartésiennes. Si P possède des coordonnées cartésiennes (x, y) et des coordonnées polaires (r, θ), elles sont reliées par les relations :



x = r cos(θ),


y = r sin(θ).
Remarque. Il n’est pas possible d’écrire aisément
θ en terme de x et y, par contre par
p
2
2
le théorème de Pythagore on obtient r = x + y , ce qui permet d’écrire


cos(θ) = √ 2x 2 ,



x +y

y


sin(θ) = √x2 +y 2 .
Pour retrouver un angle à partir de son cosinus et de son sinus, consultez la section 3.3
page 14.
Conclusion sur les systèmes de coordonnées. Nous avons vu jusqu’à présent que
finalement, un système de coordonnées sur la droite n’est rien d’autre qu’une association qui à chaque point de la droite associe un unique réel, et réciproquement : à
chaque réel il est associé un unique point de la droite. De même pour le plan et les
paires de réels, ou l’espace et les triples de réels. Le système de coordonnées est un
outil qui permet de décrire l’objet géométrique (droite, plan, espace), ou des parties
de cet objet (un segment de droite ; un cercle ou un disque dans le plan ; une sphère,
un tore ou un hyperboloïde de révolution dans l’espace).
3. orienté veut dire que l’angle possède un signe : positif dans le sens trigonométrique, et négatif
dans le sens horlogique.
2.2. LE PLAN
11
Ce qui nous fait préférer un système de coordonnées plutôt qu’un autre c’est un
compromis entre la simplicité de la représentation des objets (une sphère, un tore, . . .)
et la simplicité de certains calculs (par exemple un calcul d’aire ou de volume) dans
ce système. Cependant, même si la géométrie du problème et les objets à manipuler
influencent le choix du système de coordonnées et si ce choix influe la technicité des
calculs à réaliser, ultimement, les réponses obtenues ne peuvent pas dépendre du
choix de ce système de coordonnées.
3
Trigonométrie
La trigonométrie c’est l’étude des triangles. Plus spécifiquement, l’étude des liens
entre la mesure des angles et la mesure des côtés. Avant d’étudier les liens, il faut
savoir mesurer, et si la mesure des côtés ne pose aucun problème particulier, mesurer
les angles est déjà une activité plus abstraite.
3.1
La notion d’angle : généralités
Mesurer un angle, c’est mesurer l’idée intuitive qu’on peut faire un « tour complet », mais aussi un demi-tour, un quart de tour, ou toute autre fraction de tour.
La première notion de mesure d’un angle pourrait donc être simplement un nombre
réel, décrivant le nombre de tours. Ce serait tout à fait envisageable, mais ça n’est pas
l’unité qui est la plus communément utilisée.
En fait, il y a deux sous-unités classiques, entre autres : le degré et le radian. De la
même manière qu’un centimètre est le centième d’un mètre, on définit le degré et le
radians en divisant l’unité « tour complet » en parties égales : un tour vaut 360 degrés,
et vaut encore « 2π radians ». On a donc 360° = 2π rad.
En résumé, une mesure d’un angle est donc un réel θ entre 0 et 360 (en degrés), ou mesure
un réel entre 0 et 2π (en radians). Un tel réel s’appelle la détermination principale de
détermination
l’angle considéré.
principale
Si cela est la détermination principale, c’est qu’il y en a d’autres. Et en effet : s’il est
possible de faire un demi tour, il est également possible de faire un tour et demi, et se
retrouver dans la même position. Dès lors, 180° est « équivalent » à 540°. La détermination principale, c’est simplement enlever assez de tours complets pour ramener la
mesure de l’angle entre 0° et 360°, ou entre 0 rad et 2π rad.
Un dernier point est qu’il est possible de faire un quart de tour dans un sens,
ou dans l’autre. Ceci introduit une notion d’orientation d’un angle. Dans le plan, un orientation
angle mesuré dans le sens horlogique est négatif, tandis que mesuré dans le sens antihorlogique est positif. Afin de rajouter à la confusion, on appelle logiquement « sens
trigonométrique » le sens anti-horlogique.
13
14
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
−45°
45°
3.2
radian
Le radian
Le fait qu’il y ait 360 degrés pour un tour complet semble purement historique,
par contre la valeur 2π radians peut s’interpréter géométriquement. Un radian (1 rad)
correspond à l’angle au centre d’un cercle qui intercepte, sur la circonférence, un arc
dont la longueur est égale au rayon du cercle (voir figure 3.1, à droite).
B
r
r
O
r
rα
α rad
r
1 rad
O
r
A
Figure 3.1: Angle de α radian (à gauche), et le cas particulier de l’angle de 1 radian
(à droite). Dans le dessin de droite, les segments OA et OB sont de longueurs égales
entre elles et égales à la longueur de l’arc de cercle AB.
En particulier, un angle de α rad intercepte un arc de longueur αr, si r est le rayon
du cercle (à gauche, sur la figure) ; dès lors un angle de 2π intercepte un arc de longueur 2πr, soit le cercle entier : cet angle correspond à un tour complet.
Le radian est donc une unité de choix dès qu’il faut faire intervenir des longueurs
interceptées par des angles. Il s’avère également l’unité adéquate pour manipuler les
fonctions trigonométriques (cosinus, sinus).
Pour passer du radian au degré et inversement, retenons que 2π rad = 360°. L’habitude nous fera également retenir le tableau suivant :
en radians π/6 π/4 π/3 π/2
π
2π
en degrés 30° 45° 60° 90° 180° 360°
3.3
cercle trigonométrique
Fonctions trigonométriques dans le cercle
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, il permet de représenter géométriquement toutes les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont les fonctions
sinus, cosinus, tangente, cotangente, sécante, cosécante et quelques autres plus rarement utilisées. Nous allons maintenant définir ces fonctions de manière géométrique,
3.4. VALEURS IMPORTANTES
15
en mesurant des longueurs de côtés dans des triangles construit dans un cercle trigonométrique.
Pour fixer les idées, imaginons un système de coordonnées cartésiennes orthonormé dont l’origine est au centre du cercle. On considère un réel θ (un angle en
radians, qu’on va supposer entre 0 et 2π pour simplifier la présentation), et un point P
sur le cercle, tel que l’arc de cercle partant de (1, 0) allant (dans le sens anti-horlogique)
jusque P a pour longueur θ.
Le point P possède deux coordonnées cartésiennes, Px et Py . On définit le cosinus cosinus
def
def
de θ par cos(θ) = Px , et son sinus par sin(θ) = Py . Représentons la situation :
y
θ
P
(0, sin(θ))
(cos(θ), 0)
(1, 0)
x
Figure 3.2: Définition du sinus et du cosinus.
À partir de ces deux fonctions, sinus et cosinus, nous pouvons définir les fonctions
trigonométriques usuelles, à savoir :
sin(θ)
cos(θ)
cos(θ)
cot(θ) =
sin(θ)
tan(θ) =
1
cos(θ)
1
cosec(θ) =
sin(θ)
sec(θ) =
L’ensemble de ces fonctions peut se représenter dans le cercle trigonométrique (voir
figure 3.3).
3.4
Valeurs importantes
Récapitulons les domaines et ensembles images de quelques-unes de ces fonctions
trigonométriques :
π
+ kπ t.q. k ∈ Z → R
tan : R \
2
cot : R \ {kπ t.q. k ∈ Z} → R.
sin : R → [−1, 1]
cos : R → [−1, 1]
sinus
16
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
cot θ =
1
cos θ
sin θ
C
B
P(1, θ)
tan θ =
sin θ
−1
O
θ
cos θ
A
sin θ
cos θ
1
Figure 3.3: Illustration des fonctions sinus, cosinus, tangente et cotangente sur le
cercle trigonométrique (ici, pour l’angle θ = 2π/9 soit 40°).
−1
et voici quelques valeurs importantes des fonctions sinus et cosinus :
angle
0
π/6
π/4
π/3
π/2
cos
tan
cot
√ sin
√0/2 = 0
√1
√0
√@
3/3
3
√1/2 = 1/2 √3/2
2/2 √1
√2/2
√1
1/2
3
3/3
√3/2
4/2 = 1
0
@
0
(3.4.1)
(Il faut connaître ces valeurs et pouvoir reconstruire ce tableau de mémoire.)
3.4.1
Retrouver un angle à partir du sinus ou du cosinus
On considère un angle θ dont on suppose connaître le sinus, le cosinus, la tangente, etc. Que vaut θ ? Discutons du cas où c’est sin(θ) qui est connu.
Ce problème se résoud à l’aide du cercle trigonométrique (rappelez-vous de la
figure 3.2). Il est clair qu’en général deux angles θ sont possibles : l’un se trouve entre
− π2 et π2 , l’autre est son symétrique par rapport à l’axe vertical. Si en plus on connait
cos(θ), alors il ne reste plus qu’un seul choix. (En fait seul le signe de cos(θ) est alors
nécessaire pour lever l’ambiguïté.)
Cependant cette méthode ne fournit pas la valeur exacte de l’angle, seulement une
idée approximative mesurée sur le dessin (sauf si on a la chance d’avoir un sinus ou
un cosinus issu du tableau de la présente page).
En fait si on donne une valeur r quelconque entre −1 et 1 (qui est l’ensemble des
valeurs possibles pour le sinus d’un angle), nous avons maintenant compris qu’il existait un unique θ entre − π2 et π2 tel que sin(θ) = r. On note ce nombre arcsin(r), par
définition. Et c’est là que la technologie entre en jeu : l’ordinateur peut calculer avec
une redoutable précision la valeur de arcsin(r). C’est ensuite à l’humain de prendre le
relais pour savoir si l’angle cherché est arcsin(r) ou son symétrique π −arcsin(r), selon
les autres informations dont il dispose.
Les fonctions arccos et arctan permettent d’obtenir une information similaire si on
connait cos(θ) ou tan(θ).
3.5. RELATION FONDAMENTALE
17




arcsin(r) ou π − arcsin(r)
sin(θ)








Résumé. Si on connait r = 
arccos(r) ou − arccos(r)
cos(θ) alors θ = 






arctan(r) ou π + arctan(r)
tan(θ)
Bien entendu, plutôt que de retenir cette recette par cœur, il vaut mieux se rappeler comment elle est obtenue grâce au cercle trigonométrique.
3.5
Relation fondamentale
Le théorème de Pythagore appliqué dans le cercle trigonométrique implique l’importante relation (cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1, ce qu’on écrira plus souvent sous la forme
cos2 θ + sin2 θ = 1.
3.6
(3.5.1)
Symétries
Les fonctions trigonométriques satisfont à des relations algébriques qu’il est indispensable de connaître. Elles découlent facilement de symétries géométriques.
3.6.1
Symétrie par rapport à l’axe des abscisses
x
tan x
sin x
cos x
sin (−x) = − sin (x)
cos (−x) = cos (x)
tan (−x) = − tan (x)
−x
3.6.2
Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées
π−x
x
sin x
tan x
cos x
sin (π − x) = sin (x)
cos (π − x) = − cos (x)
tan (π − x) = − tan (x)
18
3.6.3
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
Symétrie par rapport à l’origine
x
tan x
sin x
sin (π + x) = − sin (x)
cos (π + x) = − cos (x)
cos x
tan (π + x) = tan (x)
π+x
3.6.4
Symétrie par rapport à la première bissectrice
π
−x
2
π
− x = cos (x)
2
π
cos
− x = sin (x)
2
π
tan
− x = cot (x)
2
cot x
x
sin x
cos x
sin
f (x) = x
3.6.5
Angles décalés de 90˚
π
+x
2
cot x
x
sin x
cos x
π
sin
+ x = cos (x)
2
π
cos
+ x = − sin (x)
2
π
tan
+ x = − cot (x)
2
3.7. D’AUTRES IDENTITÉS REMARQUABLES : FORMULAIRE
3.7
19
D’autres identités remarquables : formulaire
Les identités suivantes sont souvent utiles :
sin(A − B) = sin Acos B − cos Asin B
sin(A + B) = sin Acos B + cos Asin B
cos(A − B) = cos Acos B + sin Asin B
cos(A + B) = cos Acos B − sin Asin B
tan A − tan B
tan(A − B) =
1 + tan Atan B
tan A + tan B
tan(A + B) =
1 − tan Atan B
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
sin(2a) = 2 sin a cos a
2 tan a
tan(2a) =
1 − tan2 a
sin(3a) = 3 sin a − 4 sin3 a
cos(3a) = −3 cos a + 4 cos3 a
cos(A + B) + cos(A − B) = 2 cos Acos B,
cos(A + B) − cos(A − B) = −2 sin Asin B,
sin(A + B) + sin(A − B) = 2 sin Acos B,
sin(A + B) − sin(A − B) = 2 cos Asin B.
1 + cos(2A)
cos(A − B) + cos(A + B)
, (en particulier cos2 A =
)
cos Acos B =
2
2
1 − cos(2A)
cos(A − B) − cos(A + B)
, (en particulier sin2 A =
)
sin Asin B =
2
2
sin(A + B) + sin(A − B)
sin Acos B =
,
2
sin(A + B) − sin(A − B)
cos Asin B =
2
p+q
p−q
cos p + cos q = 2 cos
cos
2 2 p+q
p−q
cos p − cos q = −2 sin
sin
2
2
p−q
p+q
sin p + sin q = 2 sin
cos
2 2 p+q
p−q
sin p − sin q = 2 cos
sin
2
2
20
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
3.8
Fonctions trigonométriques dans les triangles
3.8.1
Triangles rectangles
Considérons un triangle rectangle ABC, rectangle en C, tel que dessiné à la figure 3.4 (à gauche). Par une utilisation judicieuse du théorème de Thalès et du cercle
trigonométrique (voir même figure, à droite), on prouve aisément les relations bien
connues
cos θ =
côté adjacent b
=
hypothénuse c
sin θ =
côté opposé
a
=
hypothénuse c
tan θ =
côté opposé
a
=
côté adjacent b
B
B
c
P
1
a
A
C
θ
A
C
b
Figure 3.4: Un triangle rectangle (à gauche), et le même triangle avec un cercle dessiné autour d’un de ses sommets
3.8.2
Triangles quelconques
Soit un triangle de sommets A,B et C, avec la convention que Â, B̂ et Ĉ désignent les
angles (pris entre 0 et π) en chacun des sommets, et a, b et c les mesures des longueurs
(positives) des segments BC, CA et AB respectivement. Ceci est illustré ci-dessous :
B
B̂
Â
Ĉ
A
loi des sinus
C
Loi des sinus Avec ces notations, la loi des sinus s’écrit
sin  sin B̂ sin Ĉ
=
=
.
a
b
c
3.9. EXERCICES
21
Loi des cosinus, ou théorème d’Al-Kashi Une généralisation du théorème de Pyformule
thagore est donnée par la formule d’Al-Kashi
d’Al-Kashi
c2 = a2 + b2 − 2ab cos(Ĉ).
On vérifiera qu’en effet, lorsque le triangle est rectangle en C (Ĉ = π/2), alors cos(Ĉ) = 0
ce qui donne la formule de Pythagore :
c2 = a2 + b2 .
3.9
Exercices
1. Quelle est la mesure en degrés d’un angle de
tour complet cet angle correspond-il ?
π
10
radians ? À quelle fraction d’un
2. Soit ABC un triangle rectangle en A. On donne AB = 5 cm, et B̂ = π6 rad. Représenter la situation, et déterminer les longueurs AC et BC.
3. Si ABC est rectangle en A, que AB vaut 5 unités, BC vaut 6 unités, quelle est la
mesure de l’angle Ĉ ?
4. On donne un trapèze ABCD, où AB est de longueur 3, AD est de longueur 5
et CD de longueur 6. Notons O l’intersection entre les diagonales BD et AC.
Sachant que les côtés AB et AD d’une part, et AD et DC d’autres part sont per[?
pendiculaires, quelle est la mesure de l’angle BOA
5. Soit ABC un triangle ; on donne BC = 25, AC = 36 et B̂ = 72°.
– Déterminer le troisième côté et les deux autres angles en degrés.
– Déterminer la mesure de B̂ en radians (sans calculatrice !)
[ = 42°, Â = 105°, B̂ = 36° et AB = 300 m.
6. Sur la figure, on donne les angles CAH
On demande de déterminer la longueur CH sachant que l’angle dessiné en H
est droit.
7. Des naufragés abordent les côtes d’une île de l’Atlantique Sud, balayées par le
vent. La plage est bien dégagée et recouverte de galets, mais une falaise barre le
22
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
chemin vers l’intérieur de l’île où ils espèrent trouver du secours. Avant de se
préparer pour l’escalade de cette falaise, un membre de l’équipage se propose
d’en mesurer la hauteur. Pour cela, il plante une perche bien droite de 3 m de
longueur, à une distance de 150 m de l’aplomb de la falaise. Ainsi fait, après
avoir vérifié que la perche est bien perpendiculaire au plan de l’horizon, il recule
de 5m, distance juste nécessaire pour que, couché sur le sol, le rayon visuel parti
de son oeil effleure à la fois l’extrémité de la perche et le sommet de la falaise.
Dessiner une figure, puis calculer la valeur trouvée pour la hauteur de la falaise.
8. Deux édifices à toit plat sont distants de 60 m. Du toit du plus petit édifice, qui
a 40 m de hauteur, l’angle d’élévation de l’arête du toît du plus grand édifice est
de 40°. Calculer la hauteur du plus grand édifice.
111111111111
000000
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
x
000000111111
111111
000000
0000
1111
000000
000000 h
111111
40 ˚
0000111111
1111
000000
111111
0000
1111
000000
111111
0000
1111
40 m
000000
1111111111111111111
0000000000000000000
000000000
1111
11111 111111
000000
111111
60 m
9. Deux villes sont vues depuis le centre de la Terre sous un angle de un degré
a) Quelle est la distance qui sépare ces deux villes ?
b) Quelle serait cette distance si l’angle était de un radian ?
Le rayon terrestre vaut environ 6370 km, et on mesure les distances sans creuser
de souterrains.
10. À l’aide du cercle trigonométrique, déterminer les nombres suivants (valeur
exacte) en utilisant les symétries adéquates.
a) cos( 5π
6 )
d) sin( −π
2 )
g) cos( 5π
4 )
b) sin( −π
4 )
e) cos( 7π
3 )
h) cos( −7π
6 )
c) cos( 3π
4 )
f) sin( −4π
3 )
i) sin( 8π
3 )
11. Trouver les valeurs exactes possibles de cos θ et tan θ sachant que sin θ =
puis reporter les arcs correspondants sur un cercle.
7
16 ,
12. Calculer la hauteur d’un phare pour que sa portée soit de 15 km.
13. Pour calculer la distance OA entre deux points situés sur les rives opposées
d’un fleuve, on définit le long d’une des rives un segment BC de 300 m, passant
par O avec OA perpendiculaire à BC. En mesurant les angles B̂ et Ĉ, on trouve
respectivement 67°200 et 53°400 :
3.9. EXERCICES
23
A
67°200
B
53°400
O
C
Calculer la valeur des distances AB et AC. En déduire ensuite celle de la distance
OA.
14. Démontrer les relations suivantes :
sin4 (a) − cos4 (a) = sin2 (a) − cos2 (a)
= 2 sin2 (a) − 1
1
1
tan2 (a) − tan2 (b) =
−
2
cos (a) cos2 (b)
sin2 (θ) − cos2 (φ)
= 1 − cot2 (θ) cot2 (φ)
2
2
sin (θ) sin (φ)
h
i
15. Soit x ∈ − π2 , π2 .
a) Si sin x = − 15 , que vaut la tangente de x ?
b) Si cos x = 31 , quelles sont les valeurs possibles de la tangente de x ?
16. Représenter les graphes des fonctions l et f définies par l(t) = sin(2t + π) et
f (t) = sin(2t) + π.
17. La construction de la tour de Pise a commencé en 1173 et fut achevée en 1350,
avec l’installation de ses sept cloches. C’est une tour creuse, d’un diamètre intérieur de 7.5 m et d’une hauteur h de 54.5 m. Dès la construction du troisième
étage en 1274, l’édifice commence à pencher, à tel point qu’elle est fermée au
public en 1990.
24
CHAPITRE 3. TRIGONOMÉTRIE
d
54, 5 m
θ
53°
46 m
Des travaux très importants sont alors réalisés, qui ont permis de rapprocher le
sommet de la verticale de 43 cm. Ainsi, la tour de Pise a retrouvé l’inclinaison
qu’elle avait il y a deux siècles et peut réouvrir ses portes au public en 2001. Les
scientifiques estiment avoir prolongé la survie du monument d’une centaine
d’années. Il s’agit de déterminer l’inclination qu’avait la tour en 1990. Pour ce
faire, elle est observée à partir d’un point distant de 46 m du centre de sa base,
et la mesure de l’angle d’élévation est de 53°.
Calculer :
– La valeur de l’angle d’inclinaison, par rapport à la verticale θ ;
– La distance d, qui exprime de combien de mètres, le centre du sommet de
la tour s’était écarté de la verticale.
4
Fonctions
Ce chapitre commence par une définition rigoureuse et « un peu formelle » de la
notion de fonction. La manière dont cette définition est présentée est probablement
nouvelle, cependant un tel degré de rigueur devrait éviter bon nombre de malentendus dans la suite. Nous essayons de donner beaucoup d’exemples pour illustrer le
concept. Ensuite les définitions classiques liées aux fonctions sont rappelées.
4.1
Généralités sur la notion de fonction
4.1.1
Fonction et fonction partielle
fonction
Une fonction partielle est la donnée d’un ensemble de départ A, d’un ensemble
partielle
d’arrivée B et d’une règle qui à certains (ou tous) éléments de A associe un (et un seul)
élément de B.
Exemple. Soit A l’ensemble des naturels et B l’ensemble des étudiants à
l’ULB. On veut associer, à chaque numéro matricule n (un nombre naturel), l’étudiant correspondant f (n). Chaque naturel n’est pas forcément le
numéro matricule d’un étudiant, donc f (n) n’est pas définie pour tout n.
(Voir également la notion de domaine.) C’est une fonction partielle.
Une fonction est la donnée d’un ensemble de départ A, d’un ensemble d’arrivée B, fonction
et d’une règle qui à chaque élément de A associe un (et un seul) élément de B.
La différence avec la notion de fonction partielle est donc que tous les éléments de
A ont forcément une image dans ce cas-ci.
Exemple. Soit A l’ensemble des étudiants à l’ULB, soit B l’ensemble des
nombres naturels. On associe, à chaque étudiant, son numéro matricule.
Chaque étudiant à l’ULB possède un tel numéro matricule, c’est donc une
« vraie » fonction.
La plupart du temps, les mathématiciens considèrent des fonctions en connaissant
le domaine, d’où cette notion un peu rigide de fonction dont l’ensemble de départ est
égal au domaine. Cependant dans beaucoup de problèmes pratiques, en particulier
pour des non-mathématiciens, les fonctions partielles sont plus pratiques. C’est généralement le terme « fonction » (sans préciser « partielle » ou non) qui est utilisé, et
le contexte permet de savoir s’il s’agit seulement d’une fonction partielle, ou d’une
« vraie » fonction.
25
26
CHAPITRE 4. FONCTIONS
Exemple. Si on parle de « la fonction de R dans R qui à x associe sa
racine carrée », il s’agit clairement d’une fonction partielle, puisque son
domaine est R+ .
4.1.2
Notation
On note une fonction ou fonction partielle f sous la forme
f : A → B : x 7→ f (x)
ce qui permet de résumer les trois objets qui la définissent : son ensemble de départ
A, son ensemble d’arrivée B et la règle pour passer de l’un à l’autre x 7→ f (x).
4.1.3
Nomenclature
Ci-après, f : A → B : e 7→ f (e) désigne une fonction partielle.
4.1.3.1
image
ensemble
image
antécédent
Soit x est un élément de A auquel f associe un élément, alors cet élément, noté
f (x), est appelé l’image de x. On appelle parfois ensemble image l’ensemble des éléments f (x) ainsi obtenus.
4.1.3.2
Antécédent
Si x possède une image f (x), on dit que x est un antécédent de f (x). Donc : un
élément b ∈ B possède un antécédent (par f ) si et seulement s’il existe un élément
a ∈ A tel que b = f (a). Ou encore, si et seulement si il appartient à l’ensemble image
de f .
4.1.3.3
domaine
Image
Domaine
Le domaine de f est l’ensemble des éléments de A qui possèdent une image, c’està-dire l’ensembles des éléments x tels que f (x) existe. Cet ensemble est noté dom f .
D’après nos définitions, f sera une « vraie » fonction si et seulement si dom f = A.
4.1.4
Exemples
Exemple. Voici quelques objets qui ressemblent à des fonctions ou des
fonctions partielles :
– f : R → R : x 7→ x2 est une fonction de domaine R.
– g : R → R+ : x 7→ x2 est une autre fonction, différente de la précédente
car son ensemble d’arrivée est distinct.
– h : R+ → R+ : x 7→ x2 est une fonction, différente de la précédente et
de f car le domaine est différent.
√
√
– j : R → R : x 7→ x est une fonction partielle : x n’est pas défini pour
x négatif. Le domaine est R+ .
4.1. GÉNÉRALITÉS SUR LA NOTION DE FONCTION
27
√
– k : R → R : x 7→ 3 x est une fonction.
– l : R+ → R : x 7→ x est une fonction.
– m : R+ → R : x 7→ |x| est une fonction, égale à la précédente : même
domaine, même ensemble d’arrivée, et l(x) = m(x) pour tout x.
En pratique, les ensembles A et B seront souvent des sous-ensembles de R, et
expression
la règle qui donne f (x) est simplement une formule (également appelée expression
algébrique
algébrique) contenant la variable x.
Exemple. Si l’on parle d’une fonction f définie par f (x) = x2 + 1, la formule x2 + 1 est une expression algébrique de f .
Il n’est cependant pas obligatoire d’avoir une formule, il faut simplement une règle
bien définie.
Exemple.
On pourra définir :



x
f : R → R : x 7→ 

−x
si x ≥ 0,
sinon.
ce qui n’est autre que la fonction « valeur absolue » définie sur R : f (x) = |x|.
Un autre exemple est la fonction f : N0 → R définie par : f (n) est le
nombre de diviseurs naturels de n. Dans ce cas, f (1) = 1, f (2) = 2, f (3) = 2,
f (4) = 3, etc. (Notons que l’entier 0 a « une infinité » de diviseurs, c’est la
raison pour laquelle nous n’avons pas inclus 0 au domaine de f .)
Si seule la formule (« expression algébrique ») est donnée, alors il manque A et
B pour constituer une fonction ou une fonction partielle. Cependant, en pratique,
on choisit A et B (implicitement) pour que la formule ait du sens. Par exemple, si
on donne f (x) = 1/x, alors on choisira (sans doute) A = R0 et B = R pour avoir une
fonction (ou simplement A = B = R pour avoir une fonction partielle.) De la sorte, on
considère implicitement la fonction
1
R0 → R : x 7→ .
x
Tandis que si on parle de « la fonction x3 », on considère implicitement la fonction
R → R : x 7→ x3 .
Par abus de langage, on parlera donc parfois de « la fonction f (x) » (ou même pire :
de « la fonction y = f (x) »). En général le contexte permet d’éviter toute ambiguïté.
Remarque. Ces abus de langage sont très pratiques à certains moments, mais sont
malheureusement également source de nombreuses confusions à d’autres moments.
Il ne faut surtout pas hésiter à demander des précisions lorsque les choses ne sont pas
claires.
4.1.5
Interprétation de la notion de fonction
La notion de fonction n’est pas introduite pour le plus pur plaisir du mathématicien, mais parce qu’elle correspond à une formalisation de diverses notions intuitives
intéressantes. Relevons-en deux : les notions d’association (d’objets/valeurs à d’autres
objets/valeurs) et de transformation (d’un ensemble).
28
CHAPITRE 4. FONCTIONS
4.1.5.1
Association
Dans cette vision de la notion de fonction, A représente un certain nombre d’objets
(physiques ou idéalisés), et B représente un ensemble de valeurs ou d’objets potentiellement associés aux objets du domaines. La fonction réalise l’association : à l’objet
x ∈ A, la fonction f associe une valeur ou un objet noté f (x).
Exemple.
– Pour chaque point d’une pièce, on peut associer à la température (en
degrés Celsius) de l’air en ce point. Dans ce cas, A est l’ensemble des points de
la pièce, et B est l’ensemble des réels. La fonction prend un point p de la pièce
et lui associe la température f (p).
– Pour chaque personne vivant sur Terre, on peut associer son âge (en nombre
d’années) à un moment fixé. A est la population mondiale au moment fixé, B est
l’ensemble des réels (on peut même se restreindre aux réels positifs.)
– Pour chaque personne inscrite sur Facebook, on peut lui associer son nombre
d’amis facebook. Ici le domaine A est un sous-ensemble de la population mondiale (à savoir uniquement les inscrits sur Facebook ; oublions les faux-comptes
et les doublons), tandis que l’ensemble d’arrivée B est a priori N, l’ensemble des
entiers. (On pourrait dire R, mais on sait bien que seuls les entiers seront utiles).
4.1.5.2
Transformation
Dans cette seconde vision des fonctions, on imagine que le domaine est « déplacé »
dans l’ensemble d’arrivée.
Exemple.
La fonction f : R → R : x 7→ −x correspond à « retourner » la droite réelle. C’est la
symétrie centrale de centre 0.
La fonction f : R2 → R2 : (x, y) 7→ (−x, y) correspond à « retourner » le plan par une
symétrie orthogonale. Le « miroir » est la droite des ordonnées.
Pour la fonction f : R → R2 : x 7→ (x, x), on imagine que la droite réelle R est « envoyée » sur une droite du plan (à savoir la première bissectrice).
Pour la fonction R → R : x 7→ |x|, on imagine plutôt qu’on plie la droite en deux, en
recollant la partie négative sur la partie positive.
4.1.6
image
ensemble
image
Image d’une fonction
Rappelons que si f : A → B est une fonction, il faut que f (x) soit défini pour tout
x dans A, mais il n’est pas obligatoire que tout y de B soit de la forme f (x) pour un
certain x.
L’image (ou ensemble image) de la fonction de f est la collection des f (x) pour x
parcourant A. C’est un sous-ensemble de B, il est noté Im f ou, par abus de notation,
f (A).
Exemple. L’image de la fonction f : [0, 2] → R : x 7→ x2 est [0, 4] ; c’est
bien un sous-ensemble de la droite réelle. Cet ensemble est représenté en
trait gras sur la figure 4.1.
4.1. GÉNÉRALITÉS SUR LA NOTION DE FONCTION
29
y
5
y = x2
4
3
2
1
0
1
x
2
Figure 4.1: Le graphe de [0, 2] → R : x 7→ x2 .
y
1
0
1
2
3
4
y=
x
ln(x−1)
x
−1
−2
Figure 4.2: Le graphe de (1, +∞) ⊂ R → R : x 7→
4.1.7
ln(x − 1)
.
x
Domaine de définition
domaine de
Le domaine de définition de f est simplement l’ensemble de départ A, on le note
définition
aussi dom f .
Comme cela a été dit précédemment, parfois l’expression algébrique de f est donnée mais A n’est pas donné. Il faut alors trouver les conditions d’existence (de la formule) pour deviner A.
Exemple.
On devine que le domaine de définition de la fonction
f : A ⊂ R → R : x 7→
ln(x − 1)
x
est A = (1, ∞) d’après les conditions d’existence : x − 1 > 0 et x , 0.
4.1.8
Graphe
Le graphe d’une fonction f : A → B est l’ensemble {(x, f (x)) ∈ A × B t.q. x ∈ A}. En graphe
pratique, ce graphe se représente souvent par un dessin dans le plan ou dans l’espace
30
CHAPITRE 4. FONCTIONS
muni d’un repère cartésien. De tels exemples de graphes dessinés ont déjà été donnés
dans les figures précédentes, mais rappelons tout de même les bases.
Le graphe d’une fonction f : A ⊂ R → R se dessine de la manière suivante : pour
(théoriquement) chaque valeur x du domaine, on marque le point (x, f (x)) du plan. Le
nombre x est l’abcisse du point (repérée sur l’axe horizontal), f (x) en est l’ordonnée
(repérée sur l’axe vertical).
« Axe des ordonnées » y
3
f (π)
2
(π, f (π))
f (x) = 12 x + sin(x) + 1
1
0
1
2
3 π 4
5
x « Axe des abcisses »
Chaque axe peut être muni de son repère propre ; par exemple les unités de l’axe
des ordonnées peuvent différer des unités de l’axe des abcisses :
y
3
f (π)
(π, f (π))
f (x) = 21 x + sin(x) + 1
2
1
0
4.1.9
antécédent
1
2
3 π4
5
x
Antécédent
Si x, élément de A, vérifie f (x) = y, on dit que x est un antécédent de y (pour la
fonction f ). Un élément y de B peut très bien avoir plusieurs antécédents ou n’en
avoir aucun.
Exemple. Les antécédents de 4 par la fonction f : R → R : x 7→ x2 sont
−2 et 2. L’unique antécédent de 0 est 0. Par contre −4 n’a aucun antécédent
pour cette fonction.
4.1.10
Parité
Une fonction f : A → B, avec A ⊂ R et B ⊂ R est :
4.1. GÉNÉRALITÉS SUR LA NOTION DE FONCTION
31
paire
– paire si et seulement si pour tout x de A, on a −x ∈ A et f (x) = f (−x).
– impaire si et seulement si pour tout x de A, on a −x ∈ A et f (−x) = −f (x).
impaire
Exemple. La fonction cos(x) est une fonction paire et la fonction sin(x)
est une fonction impaire, mais ln(x − 1)/x (voir figure 4.2) n’est ni l’un ni
l’autre.
y
1
−4
−3
−2
−1 0
1
2
3
4
x
f (x) = cos(x)
1
2
3
4
x
f (x) = sin(x)
y
1
−4
−3
−2
−1 0
Propriété. Si f est une fonction paire, son graphe est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées (symétrie bilatère). Si f est impaire et si le graphe est dessiné dans les coordonnées cartésiennes d’un repère orthonormé, le graphe de f est symétrique par rapport
à l’origine (symétrie centrale).
4.1.11
Composition
Que se passe-t-il si l’on applique successivement une fonction g puis une fonction
f ? On passe de l’ensemble de départ de g à l’ensemble d’arrivée de f . Ceci nous définit
une nouvelle fonction entre ces deux ensembles. Cette fonction s’appelle la composée
de g et f .
Définition. La composée de deux fonctions f : A2 → A3 et g : A1 → A2 se note f ◦ g et composée
est définie comme suit :
f ◦ g : A1 → A3 : x 7→ f (g(x)).
Il est important de noter que dans la notation f ◦ g, c’est d’abord la fonction g qui
est appliquée, puis la fonction f . Ceci permet d’écrire simplement (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
On résumera la situation en écrivant que f ◦ g est la composée des flèches
g
f
E1 −→ E2 −→ E3
ce qui est également illustré sur la figure figure 4.3
32
CHAPITRE 4. FONCTIONS
E1
E2
g
E3
f
R
R
f ◦g
Figure 4.3: Composition de fonctions
Surjection
Injection
(pas injectif)
(pas surjectif)
Bijection
(injectif et surjectif)
Figure 4.4: Injectivité, surjectivité.
4.1.12
Injectivité et surjectivité
Soit une fonction f : A → B. Nous définissons et illustrons (voir figure 4.4) les
notions d’injectivité, de surjectivité, de bijectivité et d’inversibilité.
injective
Injection La fonction f dite injective lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée
de f a au plus (c’est-à-dire au maximum) un antécédent par f . Une telle fonction est
appelée une injection.
C’est équivalent à dire que si f (x) = f (y) pour un x et un y de A, alors forcément
x = y.
surjective
Surjection La fonction f est dite surjective lorsque tout élément de l’ensemble d’arrivée est image par f d’au moins un élément de l’ensemble de départ. En d’autres
termes, f est surjective si et seulement si son image est l’ensemble d’arrivée tout entier. Une telle fonction est appelée une surjection.
C’est équivalent à dire que pour a ∈ B, l’équation f (x) = a possède toujours une
solution x.
bijective
Bijection La fonction f est dite bijective (ou est une bijection) si elle est à la fois
injective et surjective.
4.2. QUELQUES FAMILLES DE FONCTIONS
33
Ceci veut dire que les éléments du domaine et les éléments de l’ensemble d’arrivées se correspondent parfaitement par f .
4.1.13
Fonction réciproque
La fonction f : A → B est inversible si il existe une fonction g : B → A telle que
g(f (x)) = x
∀x ∈ A
et
f (g(y)) = y
∀y ∈ B.
La fonction g est appelée l’inverse ou la fonction réciproque de f , et se note f −1 .
def
Exemple. Attention à ne pas confondre f −1 (x) avec f (x)−1 = 1/f (x) ! Par
exemple, les fonctions
f : R0 → R0 : x 7→ x
inversible
et g : R0 → R0 : x 7→
inverse
fonction
réciproque
1
x
vérifient f (x)−1 = g(x) pour tout x ∈ R0 , par contre f −1 = f et g −1 = g
(exercice facile).
Propriété.
1. Une fonction est inversible si et seulement si c’est une bijection.
2. Si g est l’inverse de f , alors f est l’inverse de g. En d’autres termes,
−1
f −1
=f.
Exemple.
La fonction
f : [0, ∞) → [0, ∞) : x 7→ x2
est bijective et admet la fonction réciproque
√
f −1 : [0, ∞) → [0, ∞) : x 7→ x
mais par contre la fonction
f : R → [0, ∞) : x 7→ x2
n’est pas injective (donc n’admet pas de réciproque).
4.2
4.2.1
Quelques familles de fonctions
Fonctions linéaires, affines et polynomiales
Les fonctions linéaires et affines sont généralement bien connues car à la fois très
simples et très importantes : les graphes de ces fonctions représentent des droites.
Une fonction linéaire est, dans notre contexte, une fonction de la forme f : R → R :
x 7→ ax pour un certain réel a. Ce nombre réel a s’appelle le coefficient angulaire ou
la pente. On peut interpréter ce nombre comme suit : si (x0 , y0 ) et (x1 , y1 ) sont deux
y −y
points distincts du graphe de f , alors a = x11 −x00 .
fonction
linéaire
coefficient
angulaire
pente
34
CHAPITRE 4. FONCTIONS
Démonstration. Nous allons, dans un instant, prouver cette dernière égalité. Néanmoins il serait plus profitable au lecteur qu’il vérifie cette égalité par lui-même, et
ne s’en réfère au calcul ci-dessous que si cela est nécessaire (ou pour vérification, par
curiosité).
Puisque les points sont distincts on a x1 , x0 , et par ailleurs puisqu’ils sont sur
le graphe, on a y0 = f (x0 ) et y1 = f (x1 ), dès lors le quotient suivant a un sens et se
calcule :
y1 − y0 f (x1 ) − f (x0 ) (ax1 + b) − (ax0 + b)
=
=
x1 − x0
x1 − x0
x1 − x0
ax + b − ax0 − b ax1 − ax0 a(x1 − x0 )
= 1
=
=
= a (4.2.1)
x1 − x0
x1 − x0
x1 − x0
ce que nous avions annoncé.
fonction
affine
ordonnée à
l’origine
Plus généralement, une fonction affine est de la forme R → R : x 7→ ax + b pour
certains réels a et b. Le nombre a s’appelle encore coefficient angulaire et possède la
même interprétation que précédemment. Le nombre b s’appelle ordonnée à l’origine et
est la valeur de la fonction lorsque la variable x = 0 (c’est évident, mais faites-le !).
4.2.1.1
Graphe
Le graphe de toute fonction affine est une droite, et si la fonction est en fait linéaire
(c’est-à-dire b = 0) alors la droite passe par l’origine.
Lorsque le graphe d’une fonction affine est dessiné en coordonnées cartésiennes
d’un repère orthonormé (c’est-à-dire que les axes des abcisses et des ordonnées sont
orthogonaux et gradués de la même manière), alors le coefficient angulaire possède
l’interprétation suivante : si θ est la mesure (avec son signe) de l’angle entre le demiaxe des abcisses positives et le graphe de la fonction au dessus de ce demi-axe, alors
a = tan θ. Ceci est bien sûr incompréhensible sans un dessin :
y
3
2
1
∆y
θ
0
1
2
3
∆x
4
5
x
Observez que les relations usuelles dans un triangle rectangle (voir aussi la section 3.8.1)
∆y
impliquent en effet que tan θ = ∆x , et que ce dernier quotient est égal au coefficient
angulaire d’après l’équation (4.2.1).
Remarquons que cette interprétation ne tient plus si les axes ne sont pas gradués
à l’identique :
4.2. QUELQUES FAMILLES DE FONCTIONS
35
y
3
2
1
?
0
1
2
3
4
5
x
Exercice. Déterminer l’angle approximatif dessiné, sachant que θ valait 35 ˚ (dans
la figure précédente) et que la nouvelle figure a été obtenue en doublant la valeur de
l’unité sur l’axe des abcisses par rapport au graphe précédent. (calculatrice autorisée).
4.2.1.2
Fonctions polynomiales
4.2.2
Les fonctions exponentielles et logarithmes
4.2.2.1
Exponentielles
fonctions
Les fonctions polynômiales sont des fonctions de la forme x 7→ a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + polynôan xn pour certaines constantes réelles a0 , . . . , an et un certain entier n qu’on appelle miales
degré de la fonction (si an , 0). Une fonction affine dont le coefficient angulaire est
degré
non-nul est donc une fonction polynomiale de degré 1.
Rappelons qu’une droite est caractérisée par deux points distincts. En particulier,
si on choisit deux points dont les abcisses sont distinctes, on peut imaginer –et c’est
vrai– qu’il existe une unique fonction affine dont le graphe passe par ces deux points.
Il est nécessaire que les abcisses soient distinctes sinon la droite serait verticale, ce qui
ne peut pas être le graphe d’une fonction.
Cette propriété se généralise aux polynômes comme suit : se donnant n + 1 points
dont les abcisses sont distinctes deux-à-deux (c’est-à-dire qu’aucun point ne se trouve
« au dessus » d’un autre), il existe une unique fonction polynomiale de degré au plus
n (c’est-à-dire de degré n ou moins que n) dont le graphe passe par les n + 1 points.
Les fonction exponentielles sont les fonctions du type f (x) = ax pour un certain
réel positif a, appelé la base de l’exponentielle. Lorsqu’on parle de la fonction expo- base
nentielle, c’est la fonction exponentielle dont la base est a = e, où e ' 2.7182818 . . . est
une constante appelée. . .« le nombre e. »
Le domaine des fonctions exponentielles est R, leur image est l’ensemble R+0 =
]0, ∞]. Remarquons que lorsque base est inférieure à 1, l’exponentielle dans cette base
est décroissante, alors que pour une base plus grande que 1, l’exponentielle est croissante.
La fonction exponentielle a pour propriété remarquable d’être sa propre dérivée
(voir section 5) :
d x
e = ex .
dx
36
CHAPITRE 4. FONCTIONS
Figure 4.5: Graphe de ex et de ln x. Ces deux graphes sont symétriques l’un de l’autre
par rapport à la droite d’équation y = x.
Cette propriété en fait une fonction omniprésente dans la description de nombreux
phénomènes naturels, à chaque fois qu’une quantité varie proportionellement à sa
valeur instantannée. C’est une raison pour laquelle on parle de la fonction exponentielle.
4.2.2.2
logarithme
en base a
logarithme
naturel
logarithme
népérien
Logarithmes et logarithme naturel
Les fonctions logarithmes sont les fonctions réciproques des fonctions exponentielles. Lorsque a > 0 et a , 1, la fonction exponentielle x 7→ ax est une bijection. Sa
fonction réciproque est le logarithme en base a, il se note loga .
Exemple. Puisque 102 = 100, il est vrai que log10 (100) = 2.
Il y a quelques fonctions logarithmes fort utilisées :
– le logarithme décimal, en base 10, souvent noté simplement log,
– le logarithme en base e, souvent noté ln, et
– le logarithme en base 2, noté log2
sont les plus utilisés. C’est ce dernier qui est le plus souvent utilisé en mathématiques
et en physique, il est appelé logarithme naturel, ou logarithme népérien (hommage à
l’écossais John Napier).
Les fonctions logarithmes sont définies sur le domaine R+0 et ont pour ensemble
image R.
4.2.2.3
Identités importantes
Les identités suivantes sont essentielles. Ici, a, b > 0 et x, y ∈ R.
i. eln a = a et ln(ex ) = x,
ii. e0 = 1 et ln 1 = 0,
iii. ex+y = ex ey et ln(ab) = ln(a) + ln(b),
iv. ln(ax ) = x ln a
v. loga (x) =
ln(x)
.
ln(a)
4.3. EXERCICES
4.3
37
Exercices
Les exercices demandant de tracer le graphe de certaines fonctions supposent
connu la notion de dérivée, exposée dans le chapitre 5, qui permet de déterminer
le taux de coissance ou de décroissance.
1. On donne les fonctions f et g définies sur R par f (x) = 2x et g(x) = sin(x).
a) Calculer f (π/2), g(π/2), (g ◦ f )(π/2) et (f ◦ g)(π/2)
b) Quelles sont les expressions algébriques de f ◦ g et g ◦ f ?
2. Si f (x) = 1/(1 − x), donner les domaines et expressions algébriques de f , f ◦ f et
f ◦f ◦f .
3. Soit f la fonction définie par

1

si x < 0,


x

 2
f (x) = 
x
si 0 ≤ x ≤ 2,



x + 2 si 2 < x.
a) Calculer f (−2), f (0), f (3/2), f (2) et f (3).
b) Esquisser le graphe de f .
c) Déterminer le domaine de définition et l’image de f .
d) Déterminer la fonction réciproque de f si elle existe ; si elle n’existe pas,
expliquer pourquoi.
4. Vrai ou faux ? La fonction f : R → R : x 7→ x2 + 3x + 2 est
a) injective
b) bijective
c) inversible
d) surjective
5. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer le domaine de définition et
la fonction réciproque si elle existe. Représenter la fonction et sa fonction réciproque sur le même graphique.
√
a) y = x
q
2x+1
b) y = 3(x−1)
c) R− → R+ : x 7→ x2
6. Calculez les quantités suivantes si elles existent :
a) log10 (100),
b) log20 (400),
c) log1 (1),
d) log1 (2),
e) 210 ,
f) 103 ,
38
CHAPITRE 4. FONCTIONS
g) log10 (1024) (calculette autorisée),
h) log2 (1000) (calculette autorisée. La section 4.2.2.3 peut vous aider à manipuler la calculatrice pour en obtenir ce que vous souhaitez.)
7. Les égalités suivantes sont elles vraies ou fausses ?
a) log√2 (2) = 2,
b) log√3 (3) = 3,
c) log√4 (4) = 2,
d) log√2 (4) = 4,
e) log √3 2 (1) = 0,
f) log1/2 (16) = −5,
g) log−5 (16) = 1/2,
8. Sans calculette, simplifiez :
2
a) ln e 3
b) e1+ln 6
c) ln
4
e3
2
e5
!
9. Résoudre, dans R, les équations :
a) ln(x2 ) = ln(12 − x)
b) ln x + ln(x + 6) = 12 ln 9
10. Les séismes sont des phénomènes qui vont d’un léger mouvement des couches
profondes de l’écorce terrestre, à peine perceptible en surface, à une catastrophe
gigantesque qui peut alors changer complètement la topographie d’une région.
Autrement dit, entre ces deux extrêmes, la différence est considérable. C’est
pour cela que l’échelle de mesure de l’intensité des tremblements de Terre, développée en 1935 par le sismologue américain Charles-Francis Richter, est basée
sur le logarithme décimal. Il s’agit, à partir d’une mesure de l’amplitude A donnée par un sismographe, de la comparer à une amplitude A0 de référence. On
obtient alors la magnitude M du séisme 1 ,
!
A
M = log
A0
Ainsi, une différence de un degré sur cette échelle correspond à un rapport des
amplitudes de 10. On entend parfois que l’échelle de Richter comprend 9 degrés, c’est à la fois vrai et faux. En fait elle n’a aucune limite, c’est simplement
qu’un tremblement de Terre dont la magnitude soit supérieure à 9 ne se produit
que tous les deux siècles environ.
Application numérique L’énergie E libérée au foyer du séisme est liée à la magnitude par
log E = a + bM
où a et b sont des constantes.
1. La fonction notée log est le logarithme en base 10, c’est-à-dire la fonction réciproque de f (x) =
10x . Néanmoins, les propriétés vues pour le logarithme naturel restent valables pour le logarithme en
base 10.
4.3. EXERCICES
39
a) Placer sur l’échelle de Richter les séismes de
– San Francisco, en 1906 : A = 1,78 · 108 A0
– Los Angeles, en 1971 : A = 5,01 · 106 A0
b) Déterminer les valeurs de a et de b, sachant qu’un séisme de magnitude 8
met en jeu environ 30 000 fois plus d’énergie qu’un séisme de magnitude
5, lui-même libérant une énergie de 0,2 · 1020 J.
11. Le graphe d’une fonction est la droite passant par (0, 2) et (3, 0). Déterminer une
équation pour cette droite.
12. Dessiner la droite d’équation y = x dans un système de coordonnées semi-logarithmique.
13. On donne le graphique suivant, où l’axe des abcisses est logarithmique, l’axe des
ordonnées étant cartésien. Donner une équation de cette courbe.
y
5
4
3
2
1
101
10−3
−2
−3
104
x
5
Dérivées
5.1
Approche intuitive
Prenons une fonction f , et deux points P1 = (x1 , y1 ) et P2 = (x2 , y2 ) sur le graphe
de f (c’est-à-dire y1 = f (x1 ) et y2 = f (x2 )). La variation de la fonction entre ces deux
points est donnée par ∆y = y2 − y1 . On peut rapporter (diviser) cette variation ∆y à
la variation ∆x = x2 − x1 de la coordonnée x entre ces deux points, ce qui donne le
nombre (dépendant de P1 et de P2 )
∆y
.
∆x
Cette quantité indique dans quelle proportion varie la fonction f entre les deux
points : c’est la pente de la droite reliant P1 à P2 (voir figure 5.1).
a(P1 , P2 ) =
y 6
P1
P2
∆y
y
6
y = f (x)
P
P1 2
y = f (x)
∆x
-
-
x
x
Figure 5.1: La droite entre deux points d’un graphe.
Tout en restant sur cette courbe, supposons maintenant que l’on approche le point
P1 du point P2 . Qu’advient-il alors de la droite reliant ces deux points ? Pour P1 suffisamment proche de P2 , la droite en question s’approche de la notion (intuitive) de
nombre
tangente à la courbe au point P2 . Le nombre dérivé de f en x2 est défini comme la pente
dérivé
de cette droite, autrement dit c’est la limite (si elle existe) :
f (x2 ) − f (x1 )
x1 →x2
x2 − x1
f 0 (x2 ) = lim a(P1 , P2 ) = lim
P1 →P2
(Une approche rigoureuse sera vue plus tard, après avoir revu la notion précise de
limite.)
Remarque. Une autre manière de décrire le nombre dérivé est la suivante :
f (x2 + h) − f (x2 )
.
h
h→0
f 0 (x2 ) = lim
Cette formule est en fait identique à la précédente en définissant h = x1 − x2 .
41
42
5.2
dérivable
fonction
dérivée
CHAPITRE 5. DÉRIVÉES
Nombre dérivé, fonction dérivée.
Nous l’avons vu, le nombre dérivé en un point x d’une fonction f s’obtient par un
processus limite :
f (x + h) − f (x)
.
f 0 (x) = lim
h
h→0
La quantité f 0 (x), lorsqu’elle existe, est un nombre réel et on dit que f est dérivable en
x. Ceci peut se faire pour toute valeur de x, et on peut donc créer une nouvelle fonction, notée f 0 , qui à chaque x associera la valeur de f 0 (x). Cette fonction f 0 s’appelle
naturellement la fonction dérivée de f .
Exemple.
Le nombre dérivé de la fonction x 7→ x2 au point 3 est 6, car
(3 + h)2 − 32
9 + 6h + h2 − 9
= lim
= lim 6 + h = 6.
h
h
h→0
h→0
h→0
lim
En général, le nombre dérivé de cette fonction au point x est 2x, car
(x + h)2 − x2
x2 + 2xh + h2 − x2
= lim
= lim 2x + h = 2x.
h
h
h→0
h→0
h→0
lim
On conclut que la fonction dérivée est la fonction x 7→ 2x.
5.2.1
Notations de la dérivée (et dérivées partielles)
Pour la lecture de cette section, on se donne une fonction f : A ⊂ R → R. Il est
indispensable de distinguer
– la fonction f , en tant qu’objet abstrait,
– f (x) vu comme un nombre réel (x étant un élément de A).
À côté de cela, rappelons qu’il existe la notion floue d’expression algébrique : c’est
se donner f (x) sans fixer x. Typiquement on utilise cette notion pour parler d’une
fonction sans lui donner de nom, par exemple « la fonction x2 ».
La notation 0 est classique : si f est la fonction, f 0 est sa dérivée.
Lorsqu’on a l’expression algébrique d’une fonction à laquelle on n’a pas donné de
nom, par exemple x3 + 1, on se permettra d’écrire que sa dérivée a pour expression :
(x3 + 1)0 = 3x2 .
Si la notation pour la variable n’est pas x mais par exemple t, cela ne pose pas de
problème particulier à condition que le contexte soit clair : (t 3 + 1)0 = 3t 2 .
Mais que ce passe-t-il lorsque l’expression contient plusieurs variables ? Par exemple,
le sens à donner à (x2 + y 3 )0 est-il 2x ? 3y 2 ? Peut-être même 2x + 3y 2 ? Pour éviter toute
ambiguïté, il y a une autre notation lorsque plusieurs variables sont en présence :
∂(x2 + y 3 )
= 2x
∂x
dérivée
partielle
∂(x2 + y 3 )
= 3y 2
∂y
Il suffit de dériver par rapport à la variable dont le nom est indiqué, les autres étant
alors considérées comme des constantes. Ceci s’appelle une dérivée partielle, car on ne
dérive que par rapport à une seule variable.
5.3. RÈGLES DE DÉRIVATION
43
Exemple.
2
2
∂(exy )
= exy y 2
∂x
2
2
∂(exy )
= exy 2y.
∂y
Même lorsqu’il n’y a qu’une seule variable, il arrive d’écrire la dérivée sous la
forme
d(x3 + 1)
= 3x2
dx
où cette fois le symbole d (« d droit ») remplace le symbole ∂ (« partial ») parce que
justement il n’y a qu’une seule variable.
Dans les deux dernières notations, que se passe-t-il si on a une fonction par exemple
3
x + 1 dont on veut écrire le nombre dérivé en un point donné, autre que « x » ? En efd(x3 +1)
fet, dx donne l’expression de la dérivée, mais comment l’évaluer pour une valeur
x fixée, disons x = 1 ? Il est évidemment hors de question d’utiliser
d(13 + 1)
dx
car cela voudrait dire de dériver la constante 13 + 1 (ce qui donne bien entendu 0).
Nous voulons en fait d’abord dériver, et puis évaluer. On va représenter l’évaluation
par une barre verticale, ce qui donne :
d(x3 + 1) 2 =
3x
= 3 · 12 = 3
x=1
dx x=1
La notation
d
dx
peut encore s’utiliser dans le cadre d’une fonction nommée. Ainsi
df
le nombre dérivé de f : x 7→ f (x) au point a pourra s’écrire dx (a) ou f 0 (a). La seconde
forme est la préférée (étant donné que f n’a qu’une seule variable).
∂
peut également être utilisée si on est en présence d’une fonction
La notation ∂x
nommées de plusieurs variables.
Exemple. Si A : (x, y) 7→ xy représente l’aire d’un rectangle de côtés x et y, alors on
pourra parler des dérivées partielles de A au point (a, b) : ∂A
(a, b) et ∂A
(a, b) (qui valent
∂x
∂y
respectivement b et a).
Remarque. Ces notions de dérivées partielles ne sont pas supposées connues, et ceci
ne doit en rien être considéré comme une introduction au sujet. Il faut simplement
y voir, pour le moment, une notation pratique de la dérivée lorsqu’il y a plusieurs
variables dans la formule.
5.3
5.3.1
Règles de dérivation
Règles de calcul
Obtenir la dérivée d’une fonction dont on a une expression algébrique est rendue
simple grâce aux identités suivantes :
Propriété. Pour a une constante, et f et g des fonctions dérivables, on a
44
CHAPITRE 5. DÉRIVÉES
1. (af )0 = af 0
2. (f + g)0 = f 0 + g 0
3. (f g)0 = f 0 g + f g 0
d((f (x))a )
4.
= a f a−1 (x)f 0 (x)
dx
et en particulier : (xa )0 = a xa−1
f 0 f 0 g−f g 0
5. Si g est non-nulle : g = g 2 .
Une dernière règle importante sera donnée dans la section 5.3.2 : la dérivée d’une
composée de deux fonctions.
Exemple. Pour chacune de ces règles voici un exemple. Rappelons déjà ici que la
dérivée de sinus est cosinus, alors que la dérivée de cosinus est l’opposé du sinus (voir
aussi section 5.3.3 page ci-contre).
1. (cos(1) sin(x))0 = cos(1) sin0 (x) = cos(1) cos(x)
2. (sin(x) + cos(x))0 = sin0 (x) + cos0 (x) = cos(x) − sin(x)
3. (sin(x) sin(x))0 = sin0 (x) sin(x)+sin(x) sin0 (x) = cos(x) sin(x)+sin(x) cos(x) = 2 sin(x) cos(x)
4. (sin(x)2 )0 = 2 sin(x) sin0 (x) = 2 sin(x) cos(x)
sin0 (x) cos(x)−sin(x) cos0 (x) cos(x) cos(x)+sin(x) sin(x)
sin x 0
=
=
5. cos
x =
cos(x)2
cos(x)2
1
.
cos(x)2
Ces exemples appellent quelques commentaires :
– dans le premier exemple, cos(1) est une constante (car 1 est constant). Il n’y a
donc pas lieu de dériver ce cos là.
– Dans tous les exemples, nous aurions pu écrire indifféremment sin0 (x) ou sin(x)0 .
– Par contre, sin0 (2x) = cos(2x) et sin(2x)0 = 2 sin0 (2x) = 2 cos(2x) sont des fonctions
différentes !
– Remarquons qu’on a écrit sin(x)2 , ce qui est très correct mais souvent, pour des
raisons esthétiques, on écrira sin2 (x). (Voir par exemple la formule de Pythagore 3.5.1.
5.3.2
Règle de dérivation en chaîne
Soit deux fonctions f : E2 → E3 et g : E1 → E2 et considérons la composée f ◦
g : E1 → E3 de g et f . On peut exprimer la dérivée de cette composée en terme de la
dérivée de f et de g par la règle de la dérivation en chaîne :
(f ◦ g)0 (x) = [(f 0 ◦ g)(x)] g 0 (x)
qu’on écrira souvent sous la forme
((f ◦ g)(x))0 = f 0 (g(x))g 0 (x)
(ce qui procède d’un léger abus de notation), ou encore
df (g(x)) df (u) dg(x)
=
dx
du u=g(x) dx
5.4. APPLICATION : RECHERCHE D’EXTREMA
45
ce qui peut se lire la dérivée d’une fonction composée est égale à la dérivée de la fonction
externe évaluée en la valeur de la fonction interne fois la dérivée de la fonction interne évaluée en l’argument de la fonction composée.
Exemple. Considérons la fonction h : x 7→ (x − x2 )2 . Sa dérivée peut se
calculer comme suit : on écrit h(x) comme la composée des fonctions
f : x 7→ x2
g : x 7→ x − x2 .
dont les dérivées sont respectivement 2x et 1−2x. La dérivée de h est donc :
h0 (x) = f 0 (g(x)) g 0 (x) = 2g(x − x2 ) (1 − 2x) = 2(x − x2 ) (1 − 2x)
(En développant le carré dans h(x) et en dérivant, on peut vérifier qu’on
retrouve bien le même résultat.)
Bien souvent, afin de s’épargner de longues lignes douloureuses au poignet, on n’écrira pas explicitement des fonctions dont h est la composée.
On écrira plutôt ceci :
((x − x2 )2 )0 = 2(x − x2 )(x − x2 )0 = 2(x − x2 )(1 − 2x).
5.3.3
Dérivées des fonctions usuelles
Rappelons également ici les formules de dérivations de quelques fonctions bien
connues, dont les fonctions trigonométriques :
cos0 = − sin sin0 = cos tan0 = 1 + tan2
mais aussi les fonctions exponentielles et logarithmes en base e
ln0 (x) =
ou en base 10
log0 (x) =
1
x
1
ln(10)x
exp0 (x) = exp(x)
(10x )0 = 10x ln(10)
Rappelons que la fonction f : x 7→ |x| n’est pas dérivable lorsque x = 0 ; pour les
autres valeurs on a



si x > 0,
1
0
f (x) = 

−1 si x < 0.
On écrit parfois f 0 (x) =
5.4
|x|
x.
Application : recherche d’extrema
La notion de dérivée facilite la recherche d’extrema, grâce à la propriété suivante :
46
CHAPITRE 5. DÉRIVÉES
Proposition. Si f : R → R admet un extremum (minimum ou maximum) en x et si est
dérivable au point x, alors f 0 (x) = 0.
Exemple.
Considérons la fonction
f : R → R : x4 − 6x2 + 8 .
Pour trouver ses extremas, obtenons sa dérivée. Cependant la fonction
« valeur absolue » n’est pas dérivable en 0, donc f n’est pas a priori
√ dé2
4
rivable
√ lorsque 6x − x − 6 s’annule, c’est-à-dire x = 2, x = −2, x = 2 et
x = − 2 (saviez-vous résoudre cette équation ?). Pour les autres valeurs,
nous avons :
4 − 6x2 + 8
x
f 0 : x 7→ 4
(4x3 − 12x)
2
x − 6x + 8
√
√
et ceci s’annule lorsque x = 0 ou x = 3 ou x = − 3.
La propriété ci-dessus indique donc que s’il existe un ou plusieurs extrema, ils se trouvent en les valeurs suivantes de x :
√
√ √
√
−2, − 3, − 2, 0, 2, 3, 2.
Ces valeurs sont des « candidats extrema ».
Dans le cas présent, une étude du signe de la dérivée (voir section suivante) montre que ce sont tous des extréma. Le premier est un minimum,
le deuxième un maximum, et ainsi de suite en alternance.
points
critiques
Les points où la dérivée d’une fonction f s’annule sont appelés des points critiques
de f . On pourrait appeler « candidat extremum » tout point qui est soit point critique,
soit tel que f n’est pas dérivable. En effet, les autres points (où f est dérivable et sa
dérivée ne s’annule pas) ne sont pas des extréma grâce à la propriété.
Remarquons que les candidats extrema ne sont pas toujours des extrema.
Exemple. La fonction R → R : x 7→ x3 admet un point critique en 0,
néanmoins cela ne correspond ni à un minimum, ni à un maximum.
Moins utilisé mais toutefois intéressant, rappelons le critère suivant :
Proposition. Si f : R → R est dérivable, si x est un point tel que f 0 (x) = 0 et f 00 (x) > 0
(resp. f 00 (x) < 0), alors f atteint un minimum (resp. maximum) en x.
Remarque. Le mot « resp. » veut dire « respectivement », et permet d’éviter de se répéter. La propriété ci-dessus énonce donc les deux choses suivantes :
1. Si f : R → R est dérivable, si x est un point tel que f 0 (x) = 0 et f 00 (x) > 0, alors f
atteint un minimum en x.
2. Si f : R → R est dérivable, si x est un point tel que f 0 (x) = 0 et f 00 (x) < 0, alors f
atteint un maximum en x.
(Voir également A.6 page 62.)
5.5. APPLICATION : CROISSANCE ET DÉCROISSANCE
5.5
47
Application : croissance et décroissance
La propriété suivante est bien connue des étudiants du secondaire, qui font beaucoup d’études de fonction :
Proposition. Si f est dérivable et f 0 est positive (resp. négative) sur un intervalle, alors f
y est croissante (resp. décroissante).
Exemple. Reprenons l’exemple de la section précédente, où la dérivée
d’une fonction f donnée valait :
f 0 : x 7→
x4 − 6x2 + 8
x4 − 6x2 + 8
(4x3 − 12x)
Cette fonction peut changer de signe lorsque le domaine comporte un trou
(c’est-à-dire lorsque 6x2 − x4 − 6 = 0, ou lorsqu’elle s’annule (c’est-à-dire
12x − 4x3 = 0).
x
Signe
de f 0 (x)
Valeur
de f
−∞
√
− 3
−2
−
+
0
√
− 2
−
√
0
+
1
0
√
2
−
+
8
0
0
0
+∞
2
3
−
+
1
0
0
Voyons ce que donnait le graphe de la fonction f de départ :
y 15
10
5
−2, 5
2, 5
x
Mentionnons également, à ce sujet qu’une fonction continue ne peut changer de
signe que si elle s’annule, ou si son domaine comporte un trou, mais ce n’est pas
2
obligatoire. Par exemple la fonction x 7→ x2x−1 a le comportement suivant :
48
CHAPITRE 5. DÉRIVÉES
y
50
40
30
20
10
−2
−1 −10
1
2
x
−20
−30
−40
On observe que la fonction s’annule pour x = 0, mais ne change pas de signe. Par
contre elle change de signe en −1 et 1.
5.6
Application : esquisse du graphe d’une fonction
En pratique, pour tenter de comprendre le comportement d’une fonction et en
dessiner le graphe, la technique est la suivante :
1. déterminer le domaine de la fonction si ce n’est pas donné dans l’énoncé,
2. déterminer les points d’intersection du graphe avec les axes : les points où la
fonction s’annule et la valeur de la fonction en 0 (s’il appartient au domaine),
3. déterminer la dérivée et obtenir un tableau de signes,
4. déterminer les éventuelles asymptotes.
5.7
Exercices
1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
a) y = x6 − 3x4 + 19x3 − 8x + 4
b) y = (2 − x)(1 − 5x)
√
c) y = (2x + 1)(3x + 2) 3 3x + 2
d) x 7→ x2 + ln(x2 + 1)
e) f (x) = e(1+ln(x))/x
f) y =
x8
8(1−x2 )4
2. Calculer, si elles existent, les valeurs des dérivées première, deuxième et troisième des fonctions suivantes au point indiqué.
a) y = x3/2 en x = 0
b) y = x + 1/x en x = 1/2
3. Calculer la dérivée première par rapport à x de
5.7. EXERCICES
49
√
a) y = t 2 − 4t si t = 2x2 + 1
√
b) y = t − 3t 2 si t = x2 − 6x + 3
√
c) y = 3t 2 − 5t + 4 si t = x2
4. Former les équations des tangentes à la courbe d’équation
y = (x − 1)(x − 2)(x − 3)
aux points d’intersection avec l’axe des abscisses. Tracer la courbe et la tangente.
Rappel L’équation de la droite tangente à une courbe y = f (x) en un point
(a, f (a)) de la courbe, est y = f 0 (a)(x − a) + f (a).
5. La figure ci-dessous donne la variation de la vitesse d’un mobile en mouvement
rectiligne en fonction du temps.
v(t) (m/s)
1
0.5
t(s)
-1
0
1
2
3
4
5
-1
a) Que valent les vitesses minimales et maximales atteintes par le mobiles ?
b) Combien de temps s’écoule-t-il entre ces deux valeurs extrêmes ?
c) Durant quel(s) intervalle(s) de temps le mobile accélère-t-il (accélération
positive) ?
d) Durant quel(s) intervalle(s) de temps le mobile décélère-t-il (accélération
negative) ?
e) A quel(s) instant(s) l’accélération est-elle nulle ?
f) A quel instant le mobile est-il le plus loin de son point de départ ?
g) Quelle est la distance parcourue par le mobile pendant les 4 secondes du
mouvement ?
6. La figure ci-dessous représente le graphe d’une fonction. Dessiner le graphe de
sa dérivée.
50
CHAPITRE 5. DÉRIVÉES
6
1
1
−1
2
3
-
−1
7. On considère un disque dont le rayon varie avec le temps. Sachant que le rayon
augmente à la vitesse constante de 0.1cm/sec, quelle est la vitesse à laquelle augmente l’aire de la surface considérée, lorsque
a) le rayon a 10 cm
b) le rayon a 20 cm
8. Calculer la dérivée première des fonctions suivantes :
a) y = sin(x2 + 1)
b) y = cos(2πt)
c) y = cot(x)/ sin(x)
d) y = (sin(x) + cos(x))/(sin(x) − cos(x))
e) y = arcsin(5x)
9. On donne le graphe de la fonction dérivée f 0 d’une fonction f . Que peut-on dire
de f (x) (maxima, minima, points d’inflexion, croissance, décroissance, etc ...) ?
Dessiner grossièrement f (x) si on suppose f (0) = 0.
y
6
1
a)
1
−1
x
b)
−3 −2 −1
1
2
3
-
−1
−1
10. Le rayon d’une sphère augmente de 0.25 m/sec. Lorsque le rayon vaut 3 m,
quelle est la vitesse de variation
a) de la surface de la sphère ?
b) du volume de la boule ?
11. Le volume d’un cône est donnée par la formule :
πr 2 h
V(r, h) =
3
où r est le rayon du disque formant la base du cône, et h est la hauteur du cône.
Calculer la dérivée partielle de cette fonction par rapport à r.
6
Intégrales, aire sous la courbe et
primitives
6.1
Introduction
Étant donnée une fonction f : [a, b] → R, définie sur un intervalle [a, b] et à valeurs
dans R, on peut se demander comment calculer (et donc en particulier définir avec
rigueur) l’aire qui se trouve entre le graphe de cette courbe et l’axe des abcisses.
Une approche, qui sera détaillée et rendue rigoureuse au cours théorique le moment venu, est de subdiviser l’intervalle [a, b] en de petites zones qu’on imagine infiniment petites. Sur chacune de ces zones, on construit alors un rectangle (dont l’aire
est facile à calculer) et on fait la somme des aires de ces rectangles pour obtenir une
approximation de l’aire recherchée. L’aire sous la courbe s’obtient alors comme un
processus limite, où l’épaisseur des zones est de plus en plus petite. Cette méthode
s’appelle la méthode des sommes de Darboux ou des sommes de Riemann, et conduit
à définir ce qui s’appelle l’intégrale de Riemann.
51
52
CHAPITRE 6. INTÉGRATION
Étant donné qu’on s’intéresse à des rectangles de plus en plus fins, on peut interpréter l’intégrale comme une somme infinie : en chaque point x de [a, b], on place
un rectangle de largeur dx (qu’on imagine infiniment petit) et de hauteur f (x). L’aire
du rectangle vaut alors f (x) dx, et il ne reste qu’à faire la somme sur tous les x de
l’intervalle [a, b]. Cette façon d’imaginer les choses a l’avantage de donner une interprétation intuitive à la notion d’intégrale, mais comme toute interprétation il faut la
manier avec prudence.
Définissons donc l’intégrale de la fonction f entre a et b comme « l’aire algébrique »
comprise entre l’axe des abcisses et le graphe de f , entre x = a et x = b. Le mot « algébrique » veut dire que si la courbe est dessus de l’axe, l’aire se rajoute à l’intégrale,
mais que si la courbe est en dessous de l’axe, l’aire se soustrait à l’intégrale. L’aire
possède donc un signe (positif ou négatif).
L’intégrale ainsi « définie » (l’absence totale de rigueur n’aura pas échappée au
R
Rb
Rb
lecteur) se note [a,b] f ou encore a f et même le plus fréquemment a f (x) dx. À toute
fin pratique, le « Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral » permet de
calculer effectivement cette intégrale dans de nombreux cas.
Théorème 1 (Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral). Soit f une
fonction dont on recherche l’intégrale sur un intervalle [a, b]. Si F est une fonction définie
et dérivable sur [a, b] telle que F0 = f , alors
Z
b
f (x) dx = F(b) − F(a)
a
primitive
Ce théorème, fondamental comme son nom l’indique, lie donc la notion « d’aire
sous la courbe » avec la notion de dérivée.
Au vu de ce théorème, il est naturel de donner un nom aux fonctions
R F dont la
dérivée est une fonction f fixée
R : F est une primitive de f et on note F = f ou encore
le plus fréquemment F(x) = f (x) dx.
6.2. RAPPELS ET EXERCICES
53
R
? Remarque. La notation f n’est pas bien définie. En effet, à l’évidence si F est une
R
primitive Rde f , F + 1 en sera une également ; nous serions alors tenté d’écrire F = f
et F + 1 = f , et par conséquent F = F + 1, ce qui est une
R contradiction. Sachant cela,
il faut être prudent en maniant des égalités contenant f .
Rb
Par contre, la notation a f (x) dx est bien définie lorsque f est continue : la notation
a toujours un sens et le réel représenté est unique.
Dans les exercices sont développées des méthodes pour déterminer les primitives
d’une fonction donnée.
6.2
Rappels et exercices
Dans la suite, f : [a, b] → R et g : [a, b] → R désignent des fonctions continues.
Rappel 1. Une primitive de f est une fonction F : [a, b] → R dérivable vérifiant F0 = f . Si primitive
F0 = f , les autres primitives de f sont de la forme F + constante.
Remarquons que pour vérifier qu’une fonction F donnée est bien une primitive
d’une autre fonction f donnée, il suffit de dériver F. Par contre, la seule connaissance
de f ne permet pas toujours de manière simple d’écrire une formule pour une primitive. C’est grâce à la pratique que l’on finit par pouvoir déterminer des primitives d’un
nombre de plus en plus grand de fonctions. C’est l’objet de la plupart des exercices
ci-après.
Avant de proposer des « trucs » pour intégrer tel ou tel type de fonction, rappelons
que l’intégration est un processus linéaire, c’est-à-dire :
linéaire
Rappel 2. Pour tout α ∈ R, pour toutes fonctions continues f et g :
Z
Z
Z
Z
Z
αf = α f
(f + g) = f + g.
Polynômes et puissances
Rappel 3. Pour α , −1 :
Z
xα dx =
1 α+1
x
α+1
Z
x
−1
Z
=
1
dx = ln |x|
x
Trouver une primitive pour chacune des fonctions suivantes
x3 + 3x + 1
1.
√
x
2. x
2
3. 3(x2 + 1)2
2x3
4. √
x
5. (y 2 + y −2 )2
√
6. x(1 − x)2
7. (3x2 − 6x)3 (x − 1)
54
CHAPITRE 6. INTÉGRATION
Intégration par changement de variable
Rappel 4. Si l’on pose x = Φ(t),
Z
Z
f (x) dx = f (Φ(t))Φ 0 (t) dt
t=Φ −1 (x)
(où la barre verticale signifie qu’après avoir intégré par rapport à t, on remplace t par
Phi −1 (x) ; ici Φ −1 est la réciproque de Φ.)
On retiendra et manipulera aisément cette formule en écrivant x = Φ(t) ⇒ dx = Φ 0 (t) dt.
Il n’est pas toujours nécessaire d’expliciter t en fonction de x : pour calculer
Z
√
(t + 1) t 2 + 2t − 1 dt
on pose x = t 2 + 2t − 1, de sorte que dx = 2(t + 1) dt, dont on tire :
Z
Z
√
√
1
2
(t + 1) t + 2t − 1 dt =
2(t + 1) t 2 + 2t − 1 dt
2
Z
3
1 √
1 3
1
2
=
x dx = x + C = (t 2 + 2x − 1) 2 + C
2
2
3
x=t +2t−1 3
√
1. sin2 (x2 + 1) cos(x2 + 1)x
√
2. 3t t 2 + 6
10.
3. 3y 2 cos(y 3 + 4)
1
4.
x+2
5. tan x
x
6.
2 − 7x2
1
7.
x(1 + ln(x))
1
8.
tan x sin x
x3
9.
pour b ∈ R
4x4 + b
12. (1 + e3x )2 e3x
2+t
√
11. 1 + ex ex
13.
14.
15.
1
√ √
(2 + x) x
ln x
x(1 − ln2 (x))
1 + cos x
x + sin x
16. cot xeln sin
17.
e
2x
√
x +x
√
x
L’exponentielle
Rappel 5.
Z
ex dx = ex
Ex. 6.1. Trouver une primitive pour chacune des fonctions suivantes
6.2. RAPPELS ET EXERCICES
55
etan(y)
cos2 y
1. 52x
2. esin(2t) cos(2t)
4.
e x
3. √
x
5. (e2x − e−2x )2
√
Inverse d’un trinome
Rappel 6.
Z
dx
= arctan x
2
x +1
Z
dx
1 x − 1 = ln x2 − 1 2 x + 1 ±1
Grâce à ces formules, on intègrera toute les fonctions de la forme (x+α)
2 ±β2 par le changement
x+α
de variable t = β .
1.
Ex. 6.2.
1
x2 − 5
1
3.
5x − x2
1
4. 2
x +4
1
2x − 10 − x2
5.
1
9x2 − 1
2.
6.
7.
4
5x2 + 6x + 7
4
5x2 − 7x − 6
Inverse de la racine carrée d’un trinome
Rappel 7.
Z
√
dx
2
= ln x + x + 1
√
x2 + 1
Z
√
dx
x2 − 1
√
2
= ln x + x − 1
Grâce à ces formules, on intègrera toute les fonctions de la forme √
ment de variable t =
1. √
Ex. 6.3.
2. √
3. √
4. √
x+α
β .
1
5. √
4 − 9x2
1
6. √
x2 + 2x
1
7. √
9 − 8x + 7x2
1
1
2x − x2
2
5 − 4x − 3x2
6
9 − 8x + 7x2
x2 + 3x + 2
Intégration par parties
Rappel 8.
Z
0
fg =fg−
Z
f 0g
Z
√
dx
1 − x2
±1
(x+α)2 ±β2
= arcsin x
par le change-
56
CHAPITRE 6. INTÉGRATION
Exemple.
Z
Z Z
Z
1
ln x dx =
ln x1 dx = (ln x)x −
· x = x ln(x) − x = x(ln(x) − 1)
x
2 x
Ex. 6.4.
1. x3 arctan(x)
7. x sin
2
2. x3 ln(x)
xex
8. e2x sin x
3.
(1 + x)2
9. x sin x
4. y 2 sin(2y)
10. xex
5. x2 e3x
6. sin(x) cos(3x)
11. x2 cos x
Fonctions trigonométriques
Rappel 9.
Z
sin x dx = − cos x
Z
cos x dx = sin x
Z
tan x dx = − ln |cos x|
Z
x sin(2x)
−
2
4
Z
x 1
dx = ln tan
sin x
2 sin2 x dx =
√
cos( x)
Ex. 6.5.
1.
√
x
2. tan2 (x)
6.3
3.
1
1 − sin(3x)
4. cos(πx)
Applications à la physique
1. La position d’un mobile s’exprime en fonction du temps par
x(t) =
sin(πt)
t
lorsque le temps est en secondes, et la position est exprimée en mètres ; l’argument du sinus étant exprimé en radians. Que vaut la vitesse à l’instant t = 0.5 s ?
2. La vitesse d’un mobile est donnée en fonction du temps par l’expression v(t) =
−3e−3t , où v est exprimée en mètres par seconde, et t en secondes.
Sachant que le mobile se trouve à la position x = 3 m à l’instant t = 0 s, établissez
l’équation horaire du mobile. À quelle position se trouve le mobile à l’instant
t = 1s ?
6.3. APPLICATIONS À LA PHYSIQUE
57
3. La vitesse d’un mobile est donnée en fonction du temps par l’expression v(t) =
2
t+1 . Sachant que le mobile se trouve à la position x = 3 à l’instant t = 0, établissez
l’équation horaire du mobile. À quelle position se trouve le mobile à l’instant
t = 2?
A
De nombreuses notations
Afin de transmettre la connaissance, nous avons besoin de notations. Les notations
ont énormément évolué au fil du temps et évoluent encore. Certaines notations sont
bien établies, comme par exemple le rapport de la circonférence d’un cercle à son
diamètre : il se note rarement autrement que par la lettre grecque π. La plupart des
notations, cependant, changent énormément d’une culture à l’autre, d’une science à
l’autre, d’une langue à l’autre, voire d’un auteur ou d’un cours à l’autre !
Sachant cela, nous n’allons donc pas tenter de répertorier l’ensemble des notations
possibles : c’est impossible. Nous pouvons cependant relever certains usages établis,
et noter quelques unes des différences qui peuvent apparaître.
A.1
Informations non-écrites et implicites
Motivation. Considérons le problème suivant : « résoudre l’équation x2 −2 = 0 ». Toute
personne ayant suivi un cursus normal en mathématique
√ devrait, sans hésiter trop
√
longtemps, énoncer les deux solutions : x = − 2 et x = 2. Si nous considérons à présent le problème « résoudre l’équation x2 +1 = 0 », certains répondront que l’ensemble
des solutions de cette équation est vide, d’autres diront que l’équation est impossible,
et d’autres encore diront qu’il existe deux solutions complexes x = i et x = −i. La vérité
est que ces deux problèmes, tels qu’ils sont posés, ne sont pas décrits complètement :
nous ne savons pas dans quel ensemble nous cherchons des solutions.
De manière générale il n’est, en tout cas en pratique, pas possible de décrire une
situation de manière complète et rigoureuse. Il y a toujours un certain nombre d’inforinformations
mations qui sont sous-entendues,. Ces informations implicites sont pourtant capitales !
implicites
Lire ces informations « entre les lignes » fait partie de l’apprentissage scientifique :
n’hésitez pas à demander en cas de doute.
A.2
Alphabets
Notre alphabet latin comporte 26 lettres : c’est bien trop peu. Il est courant d’utiliser des lettres provenant d’autres alphabets, tels l’alphabet grec. La table A.1 présente un résumé de l’alphabet grec à l’usage des mathématiciens. Les lettres qui ne
sont pas dans la table ne sont simplement pas (ou peu) usitées en mathématiques (par
exemple, parce qu’elles ressemblent trop à une de « nos » lettres.).
59
60
ANNEXE A. DE NOMBREUSES NOTATIONS
Table A.1: L’alphabet grec pour mathématiciens.
Lettre grecque
α
β
χ
δ
η
γ
ι
κ
λ
µ
ν
ω
φ
π
ψ
ρ
σ
τ
θ
ξ
ζ
variante
majuscule
∆
ε
Γ
κ
Λ
ϕ
$
Ω
Φ
Π
Ψ
%
Σ
ϑ
Θ
Υ
Ξ
« nom »
« alpha »
« beta »
« chi »
« delta »
« epsilon »
« eta »
« gamma »
« iota »
« kappa »
« lambda »
« mu »
« nu »
« omega »
« phi »
« pi »
« psi »
« rho »
« sigma »
« tau »
« theta »
« upsilon »
« xi »
« zeta »
De l’alphabet hébreux, vous croiserez peut-être la lettre ℵ (« aleph »). Un autre
symbole fréquemment rencontré est le symbole ∇ (« nabla ») (à ne pas confondre avec
le « delta » majuscule ∆ grec).
A.3
quantificateurs
Quantificateurs
Deux symboles sont appelés quantificateurs : il s’agit de ∀ (« pour tout ») et ∃ (« il
existe »). Par exemple
∃x : x = x2
se lit « il existe x tel que x = x2 », et se traduit par « il existe (au moins) une valeur de
la variable x pour laquelle x = x2 ». (Ceci est vrai, puisque la valeur x = −1 convient
par exemple.) Par contre,
∀x, x = x2
se lit « pour tout x, x = x2 », et veut dire « pour n’importe quel x (sous-entendu :
nombre réel), l’égalité x = x2 est vraie ». (Ceci est évidemment faux.)
A.4. CONNECTEURS LOGIQUES
61
On utilise souvent une virgule après un « ∀ » et un double-point après un « il
existe ». La virgule se lit comme une virgule, c’est-à-dire ne se prononce pas, tandis
que le double-point se lit en général comme « tel que ».
A.4
Connecteurs logiques
Implication L’implication est notée → ou ⇒. Une implication notée
A→B
(prononcé « A implique B ») veut dire qu’à chaque fois que A est quelque chose de
vrai, alors B est également quelque chose de vrai.
Il arrive qu’on note l’implication dans l’autre sens :
B←A
(encore prononcé « A implique B »). À ne pas confondre avec B → A, comme le montre
l’exemple suivant.
Exemple. Considérons l’affirmation
Lorsqu’il pleut, je prends mon parapluie.
Cette affirmation est une implication de la forme : « A → B » où A est « il pleut » et B
est « je prends mon parapluie ». La phrase « Je prends mon parapluie dès qu’il pleut »
est la même implication, reformulée. Par contre, la phrase « Lorsque je prends mon
parapluie, il pleut » est une implication différente : c’est la réciproque de l’implication réciproque
précédente, écrite B → A en symboles, et bien sûr son sens est différent.
Équivalence L’équivalence se notera ↔ ou ⇔, et se prononce « si et seulement si ».
L’équivalence « A si et seulement si B » veut dire que lorsque A est vrai, alors B est
vrai ; mais si A est faux, alors B est faux. Une équivalence n’est autre qu’une implication et sa réciproque : (A ↔ B) est la même chose que A → B et B → A.
Exemple Il est important de comprendre l’utilisation de ces connecteurs logiques
pour exposer un raisonnement. Par exemple :
Considérons l’égalité x2 + x = 0. Comme x(x + 1) = x2 + x, l’équation précédente est équivalente à x(x + 1) = 0. Or un produit de deux réels s’annule
si et seulement si l’un de ces réels s’annule, dès lors : x(x + 1) = 0 si et
seulement si x = 0 ou x = −1.
Les mots en gras indiquent tous qu’il y a une implication/équivalence qui a été utilisée ou écrite.
Le lecteur attentif remarquera que cet argument présente deux niveaux de raisonnement : afin de montrer l’équivalence x2 + x = 0 ↔ (x = 0oux = −1), nous procédons
par implications. En d’autres termes, pour montrer successivement :
x2 + x = 0 ↔ x(x + 1) = 0 ↔ (x = 0 ou x = −1)
62
ANNEXE A. DE NOMBREUSES NOTATIONS
nous avons justifié chaque équivalence par un résultat connu : la première équivalence se justifie par l’égalité x(x + 1) = x2 + x, la seconde équivalence se justifie par
l’équivalence : ab = 0 ↔ (a = 0 ou b = 0).
Lorsque le besoin se fait sentir de distinguer plusieurs niveaux de raisonnement,
il peut être utile d’utiliser les flèches simples →, ↔ pour le niveau inférieur, et les
flèches doubles ⇒, ⇔ pour le niveau supérieur.
A.5
Indices et exposants
Une notation courante est la mise en indice ou en exposant. (Tellement courante
que beaucoup ne se poseront jamais la question de savoir comment l’interpréter.)
Dans une expression telle que x13 , le 1 est dit en indice, le 3 est dit en exposant.
Il n’y a pas de règle absolue sur la signification de l’indice et de l’exposant, néanmoins le plus souvent :
– l’exposant est une opération sur un nombre donné. x3 sera en général une notation pour écrire x · x · x (le produit de x avec x, encore multiplié par x), tandis
que
– l’indice indique qu’il s’agit d’un nombre dans une séquence d’autres nombres :
x1 serait un nombre, x2 un autre, x3 un troisième, etc. En d’autres termes, il
s’agit simplement de noms donnés à des nombres. Il n’y a pas de nombre « x »
sur lequel on effectue une opération pour obtenir x1 et autres.
La signification de l’indice et de l’exposant devrait être claire dans le contexte. Par
exemple, x13 sera probablement un nombre noté x1 dont on a pris le cube.
A.6
resp.
Abbréviations communes
L’abbréviation « resp. « veut dire « respectivement » et s’utilise lorsqu’on veut écrire
plusieurs choses de forme fort similaire. Par exemple,
Si f est une fonction dont la dérivée est positive (resp. négative), alors f
est croissante (resp. décroissante).
A.7
Rigueur et formalisme
Le formalisme, c’est par exemple écrire
∀x ∈ R, ∀ > 0, ∃q ∈ Q : |x − q| < formalisme
rigueur
au lieu d’écrire : « Tout réel peut être approximé autant que voulu par des rationnels. »
Par l’utilisation correcte des quantificateurs et des connecteurs logiques, le formalisme permet un degré de précision qu’il est difficile d’atteindre dans le langage naturel. L’avantage du formalisme est que cette écriture suit des règles faciles à vérifier. Il
n’y a (en théorie) pas de place pour les sous-entendus.
La rigueur, c’est de ne pas se tromper dans ses raisonnements logiques.
Il est important de bien voir que le formalisme n’est qu’une manière d’exprimer
les choses. La rigueur, par contre, est à la base des mathématiques. Un raisonnement
A.8. UTILISATION DE LA LANGUE
63
doit être mené avec rigueur, sans quoi il n’aura aucune valeur. Le choix d’être formel
ou non est souvent affaire de goût, mais n’est en aucun cas une garantie de rigueur.
A.8
Utilisation de la langue
La langue utilisée pour transmettre la connaissance –dans ce cours il s’agit du
français– a son importance, et ses subtilités peuvent influencer la manière dont on
comprend un énoncé ou un raisonnement. Il est important d’avoir une bonne maîtrise
de la langue française dès lors qu’elle influence la compréhension.
Un exemple est l’utilisation de l’article défini « le » ou de l’article indéfini « un ».
S’il est question de l’ensemble A, cet ensemble doit être bien défini et unique dans
le contexte. On parlera par exemple de l’ensemble des réels pour dire : l’ensemble de
tous les réels. Cet ensemble est unique, tout le monde a le même (et il est noté R). S’il
est question d’un ensemble de réels, cela sous-entend que cet ensemble n’est pas a
priori unique. Nous avons donc un ensemble inclus dans R, mais pas forcément égal
à R tout entier.
A.9
Stratégies de lecture
Un texte mathématique, tel qu’un cours, ne se lit pas comme une histoire dont
on se bercerait doucement. En fait seules les histoires se lisent comme des histoires,
tout le reste requiert une certaine activité de la part du lecteur. Par exemple, la lecture d’une définition ou d’un théoèrme doit s’accompagner de la recherche active
d’exemples d’objets vérifiant la définition ou le théorème. En général de tels exemples
sont également donnés dans le texte, mais il est bon de chercher par soi-même, puis
ensuite de regarder les exemples donnés et de vérifier que ce sont vraiment des exemples
et que vous pouvez le prouver. La lecture d’un exercice, quant à elle, doit être suivie
par une tentative de résolution au minimum mentale.
La plupart des textes mathématiques supposent généralement que les lecteurs
d’une page n fixée ont déjà lu et compris toutes les pages numérotées i pour i variant de 1 à n − 1. Deux exceptions notables : certains livres présentent une table des
chapîtres avec leurs interdépendances, et d’autres contiennent des annexes dont la
lecture ne dépend généralement que d’une partie du reste du livre, voire pas du tout
du reste du livre.
Similairement, la résolution d’un exercice passe certainement par la lecture de son
énoncé, et la capacité à donner du sens à chacun des mots de cet énoncé. Par ailleurs,
lorsqu’un énoncé assez général est posé, faire de petits exemples ou dessins aidera
bien souvent.
Index
entier, 2
naturel, 2
relatif, 2
expression algébrique, 27
A
abcisse, 5
Al-Kashi (théorème d’), 21
angle
détermination principale, 13
mesure, 13
orienté, 13
antécédent, 26, 30
F
fonction, 25
affine, 34
linéaire, 33
partielle, 25
polynômiale, 35
fonction dérivée, 42
fonction réciproque, 33
formalisme, 62
fraction
addition, 2
multiplication, 2
B
base, 35
bijective, 32
C
cercle trigonométrique, 14
coefficient angulaire, 33
composée, 31
coordonnées
cartésiennes
de la droite, 5
du plan, 8
logarithmique
de la droite, 7
du plan, 8
polaires, 10
semi-log, 8
cosinus, 15
G
graphe, 29
I
image, 26, 28
impaire, 31
informations implicites, 59
injective, 32
intervalle, 3
inverse, 33
inversible, 33
italique, 1
D
degré, 35
dérivable, 42
dérivée partielle, 42
domaine, 26
domaine de définition, 29
L
linéaire, 53
logarithme
en base a, 36
naturel, 36
népérien, 36
E
ensemble image, 26, 28
65
66
INDEX
loi
des sinus, 20
N
nombre
entier, voir entier
rationnel, 2
réel, 2
nombre dérivé, 41
O
ordonnée à l’origine, 34
origine, 8
orthonormés, 8
P
paire, 31
pente, 33
points critiques, 46
primitive, 52, 53
Q
quantificateurs, 60
R
radian, 14
réciproque, 61
repère
cartésien
de la droite, 5
du plan, 8
resp., 62
rigueur, 62
S
sinus, 15
surjective, 32
V
vecteurs de base, 8