TD n˚7 - Dipôles électrostatiques et magnétiques 1 Interaction ion

Physique
TD n˚7 - Dipôles électrostatiques et magnétiques
TD n˚7 - Dipôles électrostatiques et
magnétiques
1 Interaction ion-dipôle
−
On place au point O de l’axe (Ox) un dipôle dont le moment dipolaire électrique →
µ est orienté suivant
−
→
+ux . On place un cation de charge Q sur l’axe (Ox), en un point d’abscisse x > 0 grande devant la taille
caractéristique du dipôle.
1. A partir de l’expression du potentiel électrostatique, déterminer le
−−→
champ Edip créé par le dipôle au niveau du cation.
2. On considère que le dipôle est fixe et que le cation est mobile.
−−→
Quelle est la force Fdip exercée par le dipôle sur le cation ?
L’interaction est-elle attractive ou répulsive ? Interpréter.
−−→
Réponses : 2. Fdip =
Q×2µ −
→.
u
4πε0 x3 x
2 Interaction dipôle-dipôle
→ et −
→, placés dans la configuration indiquée
On considère deux dipôles de moment dipolaire électrique −
µ
µ
1
2
sur la figure ci-dessous, à une distance r l’un de l’autre.
→) et on se place
On choisit un repère en coordonnées polaires (d’origine le milieu du dipôle de moment −
µ
1
dans l’approximation dipolaire.
→.
1. Donner l’expression du champ créé par le dipôle de moment −
µ
1
−
→
2. Exprimer l’énergie potentielle Ep2 du dipôle de moment µ2 placé
→.
dans le champ du dipôle de moment −
µ
1
3. En déduire la relation entre les angles θ1 et θ2 lorsque le dipôle de
→ est dans une position d’équilibre, pour r et θ donnés.
moment −
µ
2
1
Réponses : 3. tan (θ2 ) =
1
2
tan (θ1 ).
3 Molécule polaire placée dans un champ uniforme
On considère une molécule de moment dipolaire électrique µ
~.
On définit l’axe (Ox) d’un repère cartésien tel que le centre de masse de
−
la molécule soit en O, avec →
µ suivant (Ox).
−
→
→.
On applique un champ électrostatique uniforme E0 = E0 −
u
x
On repère la position d’un point M par ses coordonnées polaire (r, θ)
dans le plan de la feuille.
−
→
1. Déterminer l’expression du potentiel V0 (r, θ) associé au champ E0 au point M , en coordonnées polaires.
On prendra comme origine du potentiel V0 le point O.
−
→
2. En déduire le potentiel V (r, θ) créé en M par la molécule et le champ E0 , en se plaçant dans l’approximation dipolaire.
3. Quelle est la nature de la surface équipotentielle V = 0 ?
4. Montrer qu’il existe deux points où le champ est nul, en précisant leur position.
Réponses : 2. V (r, θ) =
µ
4πε0 r 2
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−−−→
− E0 r cos (θ), 4. OM± = ±
1
µ
4πε0 E0
31 −
→.
u
y
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4 Polarisabilité de la matière dans le modèle de Thomson
Dans le modèle de l’atome d’hydrogène proposé par Thomson, le noyau est une boule de centre O et de
rayon a à l’intérieur de laquelle la charge e est uniformément répartie. L’électron est une charge ponctuelle
−e pouvant se déplacer à l’intérieur de cette boule chargée.
1. Déterminer le champ créé par la boule uniformément chargée à l’intérieur
de celle-ci.
2. En déduire la force exercée sur l’électron. on montrera que cette force est
analogue à une force de rappel de ressort dont on précisera la constante
de raideur k. Déterminer la position d’équilibre de l’électron. Est-elle
stable ?
−
→
On applique un champ électrostatique E0 uniforme, supposé ne pas modifier la répartition des charges du noyau.
3. Exprimer la distance req entre la nouvelle position d’équilibre de l’électron et le centre du noyau.
−
4. Pourquoi l’atome d’hydrogène acquiert-il un moment dipolaire →
p ?
−
→
→
−
Exprimer la polarisabilité α définie par la relation p = αε E .
0
0
→
4πε0 a3 −
r→
Réponses : 3. −
E0 , 4. α = 4πa3 .
eq = −
e
5 Moment magnétique d’une spire
1. Rappeler l’expression du champ créé par un dipôle magnétique en un point M quelconque loin du
dipôle. Que devient cette expression dans l’axe du dipôle magnétique, toujours loin de celui-ci ?
2. On rappelle que le champ créé par une spire de rayon R sur son axe est donné par :
µ0 I
→
−
B (M ) =
sin3 α ~uz
2R
où α est l’angle sous lequel est vu la spire du point M , et I est le courant parcourant la spire. Montrer
qu’on retrouve l’expression de la question précédente à grande distance devant le rayon R.
6 Moment des forces de Laplace
Considérons une spire circulaire C de rayon R et d’axe (Oz), parcourue par un courant d’intensité I
−
→
constante. On note M le moment dipolaire magnétique de la spire.
→
−
La spire est plongée dans un champ magnétique uniforme et permanent B 0 défini par :
→
−
B 0 = B0x ~ux + B0z ~uz
avec B0x = cste et B0z = cste
z
M
B0
O
x
M
I
→
−
Déterminer le moment résultant des efforts de Laplace Γ O s’exerçant sur la spire en O.
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7 Oscillations d’un petit aimant
−
→
Un petit aimant de masse m et de moment magnétique M est suspendu au bout d’une tige rigide de masse négligeable de longueur L,
pouvant effectuer des mouvements de rotation autour de l’axe (O, ~uz ).
Discuter de l’évolution du système en fonction de la valeur du champ
→
−
magnétique B = B~ux , uniforme, dans lequel est plongé ce système, le
signe de B pouvant être positif ou négatif.
r
Réponses : T0 = 2π/
y
z
O
Β
x
L
θ
M
g
MB
+
.
L mL2
8 Moteur synchrone
Un montage convenable de bobines parcourues par des courants alternatifs de pulsation ω0 produit dans
→
−
un certain volume un champ magnétique B , d’amplitude B0 , qui tourne dans un plan (xOy) autour d’un
axe (Oz) avec la pulsation ω0 constante.
D’autre part, une pièce mobile autour de l’axe (Oz) (le rotor) constituée d’un petit aimant permanent
−
→
portant un moment magnétique permanent M, orthogonal à (Oz), tourne dans le plan (xOy) avec un
mouvement de rotation uniforme de pulsation ω.
a)
b)
y
O
y
c)
B
B
ω0t+α
α
ωt
M
x
O
β(t)
M
x
~ tournant à une pulsation Ω sur un moment magnétique M
~
Figure 1: Action d’un champ magnétique B
tournant à la vitesse angulaire ω. a) Configuration à t = 0, et b) configuration à l’instant t. c)
Exemple de moteur synchrone.
−
→ →
−
La valeur de l’angle (M, B ) à l’instant initial est noté α comme indiqué sur la figure ci-dessous.
→
−
1. Calculer la valeur instantanée du couple magnétique Γ exercé par le champ sur la pièce mobile. En
déduire sa valeur moyenne au cours du temps.
2. Pour quelles valeurs de ω et α ce dispositif fonctionne-t-il en moteur ?
3. Un régime permanent de fonctionnement moteur est dit stable si, lorsque le moteur prend accidentellement de l’avance (ou du retard) sur son régime permanent, le jeu des forces qu’il subit lui fait perdre
cette avance (ou ce retard) ; il est instable dans le cas contraire.
À partir du graphe Γ(α), déterminer le domaine de α correspondant à un régime de fonctionnement
stable lorque le moteur fournit un couple utile Γu .
Réponses : 2. Pmax = MB0 ω0 sinα.
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9 Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène
1. Donner l’ordre de grandeur de la masse et de la charge d’un électron, ainsi que de la distance entre
l’électron et le proton.
2. En considérant l’électron en orbite circulaire autour du proton
(supposé fixe) du fait de l’interaction coulombienne entre les deux
particules, déterminer la vitesse de l’électron. Commentaire.
On négligera le poids de l’électron dans le bilan des forces.
On utilisera
1
4π0
= 9.109 S.I.
Pour expliquer l’existence de spectres de raies, Bohr eut l’idée d’introduire pour l’atome le même genre
de quantification que pour la lumière, en disant que seule certaines orbites circulaires étaient stables.
→
−
Il admit que pour qu’une orbite circulaire soit stable il fallait que le moment cinétique de l’électron L
vérifie la relation :
→
−
|| L || = n~ avec n ∈ N ∗
et
~=
h
2π
avec
h = 6, 62.10−34 J.s.
3. Démontrer que cette relation conduit à une quantification du rayon de la trajectoire sous la forme :
r = a0 × n2
avec a0 =
4π0 ~2
me e2
le rayon de Bohr. Donner la valeur numérique de a0 , on prendra me = 9, 1.10−31 kg.
4. A partir de cette relation, démontrer que l’énergie totale de l’électron se met sous la forme :
En =
et calculer la valeur de la constante
r
Réponses : 2. v =
−e2
8π0 a0
en eV .
e2
= 1.5 × 106 m.s−1 , 4. a0 =
4π0 me r
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−e2
1
×
8π0 a0 n2
4π0 ~2
m e e2
4
= 52.8pm, 5.
−e2
8π0 a0
= −13.6eV .
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