TS Devoir Commun de Mathématiques N° 3 Lundi17/11/2014 La

TS
Devoir Commun de Mathématiques N° 3
Lundi17/11/2014
La présentation, la rédaction et la rigueur des résultats entreront pour une part significative dans l’évaluation de la copie.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. La calculatrice est autorisée. La durée du devoir est de 2h.
Exercice 1 : sur 6 points
Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel n , on note Rn
l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » et Rn l’évènement contraire.
Soit xn la probabilité de Rn et yn la probabilité de Rn . La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7.
On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :
 Si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8
 Si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7
1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
a. Compléter l’arbre pondéré ci-dessous, traduisant la situation :
b. Déterminer la loi de probabilité de X
c. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X
2. On s’intéresse maintenant au cas général.
a. Donner les probabilités conditionnelles P R  Rn 1  et P R  Rn 1 
n
n
b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : xn1  0,1xn  0,7.
3. Soit la suite ( un ) définie pour tout entier naturel n non nul, par
un  9 xn  7.
Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation
a. Déterminer la nature de la suite ( un )
b. En déduire la limite de la suite ( xn )
Exercice 2 : Les questions suivantes sont indépendantes sur 5 points
1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des
garçons déjeunent à la cantine. On choisit au hasard un élève du lycée.
a) Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille qui déjeune à la cantine ?
b) Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?
c) Cet élève a déjeuné à la cantine. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? On donnera le résultat à
.
1
.
5
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2 .Donner une valeur approchée du résultat à 103 .
2. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et
3. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l’évènement : « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement : « l’appareil présente
un défaut de fonctionnement »
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que
l’appareil présente au moins l’un des défauts est égale à 0,069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?
4. On considère l’algorithme :
Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la
valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.
Exercice 3 : sur 2.5 points
Répondre par VRAI ou par FAUX à chacune des affirmations suivantes, en justifiant votre réponse .
1
1. Si f est définie sur par f ( x)  x²  x  1 alors f '(0) 
2
2. Si f est définie sur par f ( x)   3x  2  alors la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0 a pour
équation y  36 x  8
sin x
3. La fonction f définie sur ]0; [ par f ( x) 
a pour asymptote en   la droite d’équation y  0 .
x
Exercice 4 : sur 6.5 points
3
1. Soit le polynôme P défini sur
par P( x)  x3  x 2  3x  1
a. Calculer les limites de P en   et en 
b. Déterminer les variations de P sur
c. Démontrer que l’équation P( x)  0 admet une unique solution  sur
et que  [1;0]
d. Donner un encadrement de  à 10
e. Déterminer le signe de P( x) suivant les valeurs de x
2
2
.
x²  1
a. Déterminer les limites de f en   et en 
2. Soit f la fonction définie sur
par f ( x)  x 
b. Déterminer la dérivée de f et montrer que f '( x) 
( x  1) P( x)
 x²  1
2
c. A l’aide de la question 1) e), déterminer le signe de f '( x) et dresser le tableau de variation de la fonction f
CORRIGE
Exercice 1
1. On s'intéresse aux deux premiers services de l'entraînement.
Soit la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services.
a. Déterminer la loi de probabilité de . (On pourra utiliser un arbre de probabilités)
La variable aléatoire prend les valeurs 0, 1 et 2.
De plus, En utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre on obtient:
P(X=0)= 0.3×0.3 = 0.09
P(X=1)= 0.7×0.2+0.3×0.7 = 0.35
P(X=2)= 0.7×0.8= 0.56
D’où la loi de probabilité de X :
En utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre on obtient la loi :
b. Calculer l'espérance mathématique E
de la variable aléatoire
.
2. On s'intéresse maintenant au cas général.
a. Donner les probabilités conditionnelles
D'après l'énoncé on a directement :
et
.
et
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul , on a :
.
On se place à l'étape : et
constituent un système complet d'événements, donc d'après la formule des
probabilités totales :
or
(car et
En remplaçant il vient :
sont complémentaires), donc
.
3. Soit la suite
définie pour tout entier naturel non nul par
.
a. Déterminons la nature de la suite
.
Pour tout entier naturel non nul on a : a. Pour tout entier naturel non nul on a :
Donc
est une suite géométrique de raison
.
b. Déduisons la limite de la suite
.
et de premier terme :
D'après la question précédente on a :
De
, on tire
Comme
soit
;
Donc par opérations sur les limites :
.
.
C
Exercice 2 :
0,35
F
1. On peut traduire l’énoncé à l’aide de l’arbre pondéré ci-contre
en notant F l'événement l'élève est une fille et C l'élève mange à la cantine.
a. On cherche à calculer p( F  C) .
p(F  C)  p(F )  pF (C)  0.55  0.35  0.1925
Donc la probabilité que l’élève soit une fille qui déjeune à la cantine
est égale à 0.1925
0,65
0,55
C
0,45
C
0,3
F
0,7
C
b. On cherche à calculer p(C ) .
D’après la formule des probabilités totales :
p(C)  p( F  C)  p( F  C)  p( F )  pF (C)  p( F )  pF (C)  0.55  0.65  0.45  0.7  0.6725
Donc la probabilité que l’élève ne déjeune pas à la cantine est égale à 0.6725
c. On cherche à calculer pC ( F ) .
p( F  C ) p( F )  pF (C ) 0.55  0.35


0.5878
p(C )
0.3275
1  p(C )
Donc la probabilité que l’élève soit une fille sachant qu’il n’a pas déjeuné pas à la cantine est environ égale à 0.5878
2. On cherche à calculer p(Y  2) .
pC ( F ) 
0
20
1
19
 20   1   4 
 20   1   4 
20
19
p(Y  2)  1  p(Y  0)  p(Y  1)  1                    1   0.8   20  0.2   0.8 
0.93
5
5
5
5
0    
1     
3. On cherche à calculer p( F ) .
D’après l’énoncé, p( A)  0.02 et p( A  F )  0.069 ( probabilité de présenter au moins un défaut )
On a p( A  F )  p( A)  p(F )  p( A  F )  p( A)  p(F )  p( A)  p(F ) puisque A et F sont indépendants
D’où : 0.069  0.02  p(F )  0.02  p(F )  0.02  0.98  p(F )
0.069  0.02
 0.05
Ce qui donne : p( F ) 
0.98
Donc la probabilité que l’appareil présente le défaut F environ égale à 0.05
4. On répète, dans des conditions identiques et indépendantes, 9 fois une même expérience consistant à choisir au
hasard un nombre entier entre 1 et 7, en se demandant si ce nombre est supérieur strictement à 5 ou non.
2
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli dont le succès est S : « A > 5 » avec p(S)= .
7
Dans ces conditions la variable C représente le nombre de succès lors de ces 9 expériences.
2
La variable X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 9 et p =
7
Exercice n°3 :
1. f est définie sur
par f ( x)  x²  x  1
u avec u dérivable et strictement positive sur 
u ( x)  x ²  x  1 donc u '( x)  2 x  1
f est du type
 u  '  2u 'u
f '(0) 
2x 1
2 x²  x  1
donc f '( x) 
1
2
L'affirmation 1 est donc VRAIE
2.
f est définie sur par f ( x)   3x  2  ; f est une fonction polynôme définie et dérivable sur 
f est du type un avec u(x)= (3x+2) et n=2 u'(x)= 3 et comme ( un)'= nu'un–1
3
f '(x)= 3  3(3x+2)² = 9(3x+2)²
La tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0 a pour équation y  f '(0)( x  0)  f (0)
f '(0)=36 et f(0)=8 donc une équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y = 36x+8 .
L'affirmation 3 est donc VRAIE
sin x
3. La fonction f définie sur ]0; [ par f ( x) 
a pour asymptote en   la droite d’équation y  0 ?
x
On calcule la limite de f en +  .
Pour tout réel x , – 1 ≤ sin x ≤ 1.
Pour tout réel x >0 , en multipliant par
Or lim
x 
1 sin x
1
1
on a donc


x
x
x
x
1
1
sin x
 0 et lim
 0 D'après le théorème des gendarmes on peut en déduire que lim
0
x

x

x
x
x
La droite d'équation y=0 est donc asymptote à la courbe de f en +  .
L'affirmation 3 est donc VRAIE
Exercice 4 :
1. a. lim P( x)  lim x3    et lim P( x)  lim x3    ( on utilise la limite d'une fonction polynôme à
x  
x  
x  
x  
l'infini qui est égale à celle de son terme de plus haut degré)
b. P '( x)  3x²  2 x  3 . 3x²  2 x  3 est un polynôme du second degré de discriminant égal à – 32, strictement
négatif. On en déduit que P '( x) est du signe de 3 sur et donc que P '( x)  0 sur . Par suite P est strictement
croissant sur .
c. D’après le tableau de variation, ci-contre , P est strictement
croissante et continue sur , à valeurs dans
0  donc l’équation P( x)  0 a une unique solution  sur .
De plus P(1)   4  0 et P(0)  1  0 donc   [1; 0 ]
remarque : la flèche traduisant la stricte monotonie et la continuité
-4
de P sur , on peut aussi compléter (correctement bien sûr ! ) le
tableau de variations de P avec les limites de P et l'image de –1 (
qui est négative) et celle de 0 (qui est positive ), insérer 0 et son
antécédent  par P , et conclure par la simple phrase :
"d'après le tableau de variation de P , l'équation P(x) = 0 a une solution unique  dans
et cette solution est dans
l'intervalle [–1 ; 0]"
d. A l'aide de la calculatrice ( GRAPHSOLV ou TABLE) on trouve que   [0.3 ;  0.29 ]
(On a P( 0.3) 0.017  0 et P( 0.29) 0.0215  0 )
e. On déduit le signe de P(x) du tableau de variations de P
lim x   



lim
2

2

2. a. x  
f ( x)   
 par différence x lim
2

 
 0
 par quotient x lim
  x²  1
lim x²  1   

x  


x  
De la même façon :
lim x   



lim 2  2

f ( x)   
 par différence x lim
2
x  

 
 0
 par quotient x lim
  x²  1
lim x²  1   

x  


x  
b. f ( x)  x  2 
f '( x)  1  2 
1
1
(de la forme x  2  ) donc
x²  1
u
2 x
x
2

1
2
x

2

2
 1  4x
x
2

1
2

x4  2 x2  4 x  1
x
2

1
2
remarque : on peut aussi écrire f sous forme d'un quotient f ( x) 
x3  x  2
x²  1
x3
1
pour calculer les limites de f en +  et en –  , on aura alors lim f ( x)  lim
 lim  0 x 
x  x ²
x  x
limite d'une fonction rationnelle à l infini-et puis aussi , utiliser la formule de dérivation du quotient pour
calculer f ' d'où f '( x) 
(3x²  1)( x²  1)  ( x3  x)(2 x) x 4  2 x²  4 x  1

( x²  1)²
( x²  1)²
Or ( x  1) P( x)  ( x  1)( x3  x2  3x  1)  x4  2 x2  4 x  1 , on a donc bien f '( x) 
c.
( x  1) P( x)
x
2

1
2