Scientifique (cours)

3e - programme 2012 - mathématiques – ch.G2 - cours
(D’après Sésamath – collection Mathenpoche – ch.G2)
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Ch.G2 : Trigonométrie
1 COSINUS, SINUS ET TANGENTE D'UN ANGLE AIGU
1.1 Définitions
ex. 1 à 3
DÉFINITIONS 1
Dans un triangle rectangle,
le cosinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
adjacent à cet angle par la longueur
de l'hypoténuse ;
le sinus d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur
de l'hypoténuse ;
la tangente d'un angle aigu est le
quotient de la longueur du côté
opposé à cet angle par la longueur
du côté adjacent à cet angle.
Exemple 1 :
Le triangle COR est rectangle en R. Écris les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle
COR, puis la formule donnant la tangente de l'angle OCR .
Solution :
Le triangle COR est rectangle en R donc :
sin COR =
côté opposé à COR
hypoténuse
RC
sin COR =
.
CO
cos COR =
côté adjacent à COR
hypoténuse
RO
cos COR =
CO
tan OCR =
côté opposé à RCO
côté adjacent à RCO
RO
tan OCR =
.
RC
Remarques :

Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1.

La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif.
1.2 Calculer des longueurs
ex. 4 à 8
Exemple 2 : Calculer une longueur
L
On considère un triangle LEO rectangle en E tel que LO = 5,4 cm et
ELO = 62°.
4
5,
a) Calcule la longueur du côté [OE] arrondie au millimètre.
b) Puis, calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre.
cm
O
62°
E
Solution :
a) Dans le triangle LEO rectangle en E,
[LO] est l'hypoténuse ;
[OE] est le côté opposé à l'angle ELO .
sin ELO =
côté opposé à ELO
hypoténuse
sin ELO =
OE
LO
On cite les données de l'énoncé qui permettent de
choisir la relation trigonométrique à utiliser.
On doit utiliser le sinus de l'angle ELO.
On écrit le sinus de l'angle connu.
(La longueur cherchée doit apparaître dans le
rapport.)
OE = LO  sin ELO
On applique la règle des produits en croix.
OE = 5,4  sin 62°
On saisit 5,4 ×
OE  4,8 cm.
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
62 à la calculatrice.
OE est inférieure à LO.
Le résultat est cohérent.
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b) Pour calculer la longueur du segment [EL], on peut utiliser deux méthodes différentes.
Première méthode : On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle LEO rectangle en E.
LO2 = OE2 + EL2
5,42  4,82 + EL2
EL2  5,42 – 4,82  6,12
EL  6,12 donc EL  2,5 cm.
Deuxième méthode : On utilise une deuxième relation trigonométrique.
Dans le triangle LEO rectangle en E,
On cite les données de l'énoncé qui permettent de
[LO] est l'hypoténuse ;
choisir la relation trigonométrique à utiliser.
[EL] est le côté adjacent à l'angle ELO .
On doit utiliser le cosinus de ELO.
cos ELO =
côté adjacent à ELO
hypoténuse
cos ELO =
EL
LO
On écrit le cosinus de l'angle connu.
(La longueur cherchée doit apparaître dans le
rapport.)
EL = LO  cos ELO
On applique la règle des produits en croix.
EL = 5,4  cos 62°
On saisit 5,4 
EL  2,5 cm.
EL est inférieure à LO. Le résultat est cohérent.
62 à la calculatrice.
Exemple 3 : Calculer un angle
F
Soit FUN un triangle rectangle en U tel que : UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm.
5,5 cm
Calcule la mesure de l'angle UNF arrondie au degré.
Solution :
Dans le triangle FUN rectangle en U,
[FU] est le côté opposé à l'angle UNF ;
[UN] est le côté adjacent à l'angle UNF .
tan UNF =
U
N
On cite les données de l'énoncé qui permettent de
choisir la relation trigonométrique à utiliser.
On doit utiliser la tangente de UNF .
côté opposé à UNF
côté adjacent à UNF
UF
tan UNF =
UN
5,5
tan UNF =
et UNF  34°.
8,2
On écrit la tangente de l'angle recherché.
On saisit
calculatrice.
ou
puis
(5,5 ÷ 8,2) à la
2 RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
ex. 9
PROPRIÉTÉS
Pour tout angle aigu A, (cos A)2 + (sin A)2 = 1 et tan A =
sin A
.
cos A
Remarque :
La première formule peut aussi s'écrire cos2 A + sin2 A = 1.
Exemple 4 :
a) Calcule la valeur exacte de sin A sachant que A est un angle aigu tel que cos A = 0,8.
b) Puis calcule la valeur exacte de tan A.
Solution :
a) cos2 A + sin2 A = 1, donc sin2 A = 1 – cos2 A = 1 – 0,82 = 1 – 0,64 = 0,36.
Le sinus d'un angle aigu est un nombre positif, donc sin A =
b) tan A =
8,2 cm
sin A
cos A
=
0,6
= 0,75.
0,8
H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes)
0,36 = 0,6.