1ère STI - Chapitre 3: Fonctions de référence Introduction : exercice. Dessiner au tableau le graphique ci-dessous à main levée représentant une courbe de température avec le temps (en heures) en abscisses et la température (en degrés Celsius) en ordonnée. On appelle θ la fonction qui, au temps t associe la température. A partir de cette courbe, on peut poser des questions et y répondre en utilisant : – Le langage courant : Quelle était la température à 6 heures ? – Le langage des fonctions : Quelle est l’image de 6 par la fonction θ? – Les notations mathématiques :Déterminer graphiquement θ(6). 1. Traduire dans le langage des fonctions les questions suivantes et y répondre en utilisant les deux langages : (a) Quelle était la température à 14 heures ? (b) Durant quelle(s) période(s) la température diminue-t-elle ? (c) Durant quelle(s) périodes la température était-elle supérieure à 10 degrés ? 2. Traduire dans le langage courant les questions suivantes et y répondre en utilisant les deux langages : (a) Quels sont le ou les antécédents de 10 par la fonction θ ? (b) Résoudre graphiquement l’équation θ(t) = 0. c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007 (c) Quels sont le maximum et le minimum de la fonction θ sur [0; 24] et pour quelles valeurs de t sont-ils atteints ? 3. Traduire par une phrase de chacun des deux langages les affirmations suivantes : (a) θ(10) = 15. (b) θ(t) = 5 pour t = 6, 8 ou t = 20, 2. (c) θ(t) > 5 pour t ∈ [6, 8; 20, 2]. 1 Fonctions de référence. 1.1 1.1.1 Fonctions affines (rappels de seconde). Caractéristiques d’une fonction affine. (a) Définition. Définition 1 On appelle fonction affine toute fonction de la forme x 7→ ax + b, où a et b sont des réels fixés (indépendants de x). Si a = 0, on a une fonction constante (f (x) = b), et si b = 0, on a une fonction linéaire (f (x) = ax). (b) Représentation graphique. Propriété 1 La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Le nombre a s’appelle le coefficient directeur, le nombre b l’ordonnée à l’origine. Exercice 1 Associer une droite à une fonction affine : Exo 7 p.169 Dimathème. Que représente une pente de 10% ? (c) Variations. Soit f une fonction affine définie par f (x) = ax + b. Propriété 2 – Le domaine de définition de f est R tout entier. – Si a > 0, alors f est croissante sur R. – Si a < 0, alors f est décroissante sur R. (Faire deux dessins) Remarque 1 Une fonction croissante (ou décroissante) sur R est dite monotone. Démonstration : Traiter d’abord deux ou trois exemples, puis envisager les deux cas (a > 0, a < 0) et considérer deux réels x1 < x2 . Classer leurs images... (d) Signe. Propriété 3 Si f n’est pas constante (i.e. a 6= 0), la fonction f s’annule en x0 = − ab . Par ailleurs, on peut dresser le tableau de signe de f : Si a > 0, Si a < 0, x −∞ f (x) − x0 0 +∞ x f (x) + −∞ + x0 0 +∞ − (Faire deux dessins) Remarque 2 Attention ! Le tableau de signe n’a rien à voir avec le tableau de variation ! 1.2 Fonction carré (rappels de seconde). Rappels : – Le carré d’un nombre réel est positif ou nul : Quelque soit le réel x, x2 > 0. – Un nombre réel et son opposé ont même carré : Quelque soit le réel x, x2 = (−x)2 . Définition 2 La fonction carré est définie sur R par x 7→ x2 . Propriété 4 La fonction carré est décroissante sur ] − ∞; 0] = R− et croissante sur [0; +∞[= R+ . Elle présente un minimum égal à 0 en 0. Son tableau de variation est donc le suivant : x x2 −∞ 0 ց +∞ ր 0 Sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal est la suivante : Exercice 2 Démontrer la propriété précédente. Sauriez-vous complèter le tableau de variation avec les valeurs de la fonction aux bornes ? Donner le tableau de signe de la fonction ? Définition 3 Dans le plan muni d’un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction carré est une parabole dont l’origine du repère est le sommet. Propriété 5 La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées : On dit que la fonction carré est une fonction paire (voir TD p.72) 1.3 Fonction inverse (rappels de seconde). Définition 4 La fonction inverse est définie sur R \ {0} = R∗ par x 7→ x1 . Propriété 6 La fonction inverse est décroissante sur ] − ∞; 0[= R∗− et décroissante sur ]0; +∞[= R∗+ . Elle ne présente pas d’extrémum. Son tableau de variation est le suivant : x 1 x −∞ 0 ց +∞ ց Sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal est la suivante : Exercice 3 Démontrer la propriété précédente. Sauriez-vous complèter le tableau de variation avec les valeurs de la fonction aux bornes ? Donner le tableau de signe de la fonction ? Définition 5 Dans le plan muni d’un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole (équilatère). Propriété 7 La courbe représentative de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine du repère dans lequel on la trace : On dit que la fonction inverse est une fonction impaire (voir TD p.72) 1.4 Fonction cube. 1.5 Fonction racine carrée. 1.6 Fonctions circulaires : sinus et cosinus. On considère le cercle trigonométrique : Cercle C de centre 0, de rayon 1, orienté (voir figure : sens + = sens direct ou sens trigonométrique). A un angle x on fait correspondre la longueur de l’arc qu’il intercepte sur C. Le périmètre p de C vaut 2π. On définit le radian (unité de mesure d’angles) par la correspondance : 2π rad = 360◦ 1.6.1 Cosinus et sinus d’un angle. Définition 6 Le point M a pour coordonnées (cos; sin). Remarque 3 Cette définition correspond bien à la définition de 3e (voir module). Valeurs remarquables. x en rad cos x sin x 0 π 1 −1 0 0 π 2 0 1 π 3 1 √2 3 2 π √4 2 √2 2 2 π √6 3 2 1 2 Propriété 8 On ”enroule” la droite des réels sur le cercle trigonométrique (en plaçant l’origine au bon endroit !) dans le sens trigonométrique. On a alors pour tout réel x : – −1 6 cos x 6 1. – −1 6 sin x 6 1. – cos2 x + sin2 x = 1 (nb : cos2 x = (cos x)2 ). 1.6.2 Fonctions cosinus et sinus (fonctions de référence). (a) Propriétés communes. – Les fonctions cos et sin sont définies sur R. – Les valeurs prises par ces fonctions sont comprises entre -1 et 1. – Ces fonctions sont périodiques de période 2π : ∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x. (b) La fonction cosinus : cos . – Exercice. 1. Complèter les points sur le cercle trigonométrique. 2. Remplir le tableau suivant : 0 x cos x π 6 π 4 π 3 π 2 3. En déduire la courbe de la fonction cos dans un repère orthonormé sur [−π; π], puis sur [−3π; 3π]. – Autres propriétes. – La fonction cos est paire : ∀x ∈ R, cos(−x) = cos x. – Les variations de la fonction cos sur [−π; π] sont les suivantes : −π 0 π x 1 cos x ր ց -1 -1 – Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de fois sur R. (c) La fonction sinus : sin . – Exercice. 1. D’après la figure de l’exercice précédent, remplir le tableau suivant : x 0 π6 π4 π3 π2 sin x 2. En déduire la courbe de la fonction sin dans un repère orthonormé sur [−π; π], puis sur [−3π; 3π]. – Autres propriétes. – La fonction sin est impaire : ∀x ∈ R, sin(−x) = − sin x. – Les variations de la fonction sin sur [−π; π] sont les suivantes : π x π −π − π2 2 0 1 sin x ց ր ց -1 0 – Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de fois sur R. 2 Résolution d’équations trigonométriques. 2.1 Équation “cos x = cos a”. 2.2 Équation “sin x = sin a”. 2.3 Cas généraux : Exemples et exercices. 3 Fabrication de nouvelles fonctions. 3.1 Opérations sur les fonctions. cf. TP2 p.167 3.2 Composition des fonctions. 3.2.1 Définition-Exemples. 3.2.2 Sens de variation des fonctions composées.