ENCHAÎNEMENTS D`OPÉRATIONS

C HAPITRE I
E NCHAÎNEMENTS D ’ OPÉRATIONS
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
T1
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T2
Résoudre un problème et rédiger sa solution
N1
Effectuer à la main une succession d’opérations avec parenthèses
N2
Effectuer à la main une succession d’opérations sans parenthèses
N3
Effectuer une succession d’opérations à la calculatrice
N4
Effectuer mentalement un enchaînement d’opérations de la forme
a
a
b
, b , ...
a + bc, a + ,
c b +c
Evaluations
c
N5
Ecrire une expression correspondant à une succession donnée d’opérations
Légende du tableau de compétences :
5ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 1
Page 1
Vocabulaire
Sommes et différences
• Le résultat d’une addition s’appelle une somme, et les nombres
que l’on additionne entre eux sont les termes de la somme.
• Le résultat d’une soustraction s’appelle une différence, et les
nombres que l’on soustrait entre eux sont les termes de la différence. La différence de deux nombres est le nombre qu’il faut ajou-
57 = 27,
24,
3 + 3,
87
|{z}
|{z}
1 | {z }
somme
termes
3
54,
3 − |{z}
33 = 21,
|{z}
1 |{z}
termes
différence
ter à l’un pour trouver l’autre
Ï Exemple : La différence de 13 et 4, 4 est égale à 13 − 4, 4 = 8, 6.
Cette différence (8, 6) est le nombre qu’il faut ajouter à 4, 4 pour obtenir 13 ; autrement dit, cette différence est le terme manquant dans l’addition à trous : 4, 4+? = 13
Produits et quotients
• Le résultat d’une multiplication s’appelle un produit, et les
nombres que l’on multiplie entre eux sont les facteurs de ce pro-
141 × |{z}
8 = 1128
| {z }
|{z}
1
facteurs
duit.
• Le résultat d’une division s’appelle un quotient. Le quotient de
deux nombres est le nombre par lequel il faut multiplier le diviseur
24 ÷ |{z}
5
|{z}
dividende diviseur
produit
=
1
4, 8
|{z}
quotient
pour obtenir le dividende.
Ï Exemple : Le quotient de 24 par 5 est égal à 4, 8.
Ce quotient (4, 8) est le nombre par lequel il faut multiplier 5 pour obtenir 24 ; autrement dit, ce quotient
est le facteur manquant dans la multiplication à trous : 5×? = 24
Compétence N1 : Enchaînements d’opérations avec parenthèses
Règle n°1
Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses, en
commençant par les parenthèses les plus intérieures.
Exemples :
Ï 15 − (7 + 5) = 15 − 12 = 3
Ï (37 − 19) × (7 − 5) = 18 × 2 = 36
£
¤
Ï 34 − (7 + 5) × 2 = 34 − (12 × 2) = 34 − 24 = 10
5ème
Cours CH 1
Page 2
Quotients sous forme fractionnaire
Si, dans une expression, un quotient est écrit sous forme fractionnaire, il convient de faire les calculs
comme s’il y avait des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur.
Exemples :
Ï
45
= 45 ÷ (7 + 2) = 45 ÷ 9 = 5
7+2
Ï
15 − 7
= (15 − 7) ÷ (1 + 3) = 8 ÷ 4 = 2
1+3
Compétence N2 : Enchaînements d’opérations sans parenthèses
1. Enchaînement d’additions et de soustractions
Règle n°2
En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée uniquement d’additions et de
soustractions, on effectue les opérations dans le sens de lecture (de gauche à droite).
Exemples :
Ï 15 − 7 + 5 = 8 + 5 = 13
Ï 10 − 9 + 8 − 7 + 6 = 1 + 8 − 7 + 6 = 9 − 7 + 6 = 2 + 6 = 8
Remarque : s’il n’y a que des additions, il est parfois intéressant de regrouper des termes !
Ï 4, 98 + 6, 7 + 0, 02 = 4, 98 + 0, 02 + 6, 7 = 5 + 6, 7 = 11, 7
2. Enchaînement de divisions et de multiplications
Règle n°3
En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée uniquement de multiplications et
de divisions, on effectue les opérations dans le sens de lecture (de gauche à droite).
Exemples :
Ï 3 × 7 × 5 = 21 × 5 = 105
Ï 54 ÷ 9 × 3 = 6 × 3 = 18
Ï 8 × 9 ÷ 6 = 72 ÷ 6 = 12
Ï 28 ÷ 4 ÷ 10 = 7 ÷ 10 = 0, 7
Remarque : s’il n’y a que des multiplications, il est parfois intéressant de regrouper des facteurs !
Ï 5 × 14, 3 × 2 = 5 × 2 × 14, 3 = 10 × 14, 3 = 143
3. Enchaînement d’opérations sans parenthèses
Règle n°4
En l’absence de parenthèses, pour calculer une expression constituée d’additions, de soustractions, de
multiplications et de divisions, on effectue d’abord les multiplications et les divisions. On dit que les
multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et soustractions.
Exemples :
Ï 3 × 7 + 5 = 21 + 5 = 26
Ï 15 − 54 ÷ 9 = 15 − 6 = 9
Ï 5 + 8 × 9 = 5 + 72 = 77
Ï 20 − (5 + 28 ÷ 4) = 20 − (5 + 7) = 20 − 12 = 8
5ème
Cours CH 1
Page 3
C HAPITRE II
S YMÉTRIE CENTRALE
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
T1
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T3
Réaliser aux instruments une figure géométrique en suivant un programme de construction
G1
Construire le symétrique d’un point par une symétrie centrale ∗
G2
Construire le symétrique d’un segment, d’une droite, d’un cercle ∗ ,
d’une demi-droite par une symétrie centrale
G3
Construire ou compléter la figure symétrique d’une figure donnée par
une symétrie centrale ∗
G4
Mettre en évidence le centre de symétrie d’une figure
G5
Construire ou compléter une figure ayant un centre de symétrie ∗
G6
Connaître et utiliser les propriétés de la symétrie centrale
Eval.1
Eval.2
Eval.3
Taux de réussite :
............ %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗
: cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.
Légende du tableau de compétences :
5ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 2
Page 4
1. Figures symétriques dans une symétrie centrale
Figures symétriques
Deux figures F et F ′ seront dites symétriques par rapport à un point O si elles se superposent par
demi-tour autour du point O.
E′
b
F′
b
b
A′
C′
D′
b
b
b
O
b
B
B′
b
A
b
b
D
C
F
b
E
Les figures F et F ′ se superposent par demi-tour autour du point O : elles sont symétriques par rapport
au point O. On dit aussi que la figure F ′ est l’image de la figure F par la symétrie centrale de centre O.
Par ce demi-tour, le point A et le point A ′ se superposent ; on dit que les points A et A ′ sont symétriques
par rapport au point O, ou encore que A ′ est l’image du point A par la symétrie de centre O.
On remarque que tous les segments ayant pour extrémités un point et son image (comme [A A ′ ], [BB ′ ],
etc) passent par le point O.
Mieux : le point O est le milieu de chacun des segments [A A ′ ], [BB ′ ], etc
5ème
Cours CH 2
Page 5
2. Symétrique d’un point
Symétrique d’un point
L’image du point A par la symétrie centrale de centre O est le point A ′ tel que O soit le milieu de [A A ′ ].
Compétence G1 : construire le symétrique d’un point
A l’aide d’un quadrillage :
A'
O
O
O
3 arreaux
4 arreaux
3 arreaux
A
A
On veut tracer le symétrique
du point A par rapport au
point O
A
4 arreaux
Pour aller de A à O on se déplace :
– horizontalement, de 4 carreaux vers la droite
– verticalement, de 3 carreaux vers le haut
On se place en O et on effectue le déplacement précédent ; la position finale est
celle du point A ′ , symétrique
de A par rapport au point O.
Sur papier uni :
A′
O
O
A
A
On veut tracer le point A ′ symétrique du point A par rapport au point O
On trace
[AO),
5ème
O
A
la
demi-droite
Cours CH 2
On reporte (au compas) la
longueur AO sur la demidroite [AO) à partir de O,
pour trouver la position du
point A ′ .
Page 6
3. Propriétés de la symétrie centrale
Compétence G2 : construire le symétrique d’un segment, d’une droite, d’un cercle,
d’une demi-droite
Image d’un segment par une symétrie centrale
L’image d’un segment par une symétrie centrale est un segment de même longueur.
On dit que la symétrie centrale conserve les longueurs.
Pour tracer le symétrique d’un segment, il suffit de tracer les symétriques de ses extrémités :
B
B
A′
O
B
A′
O
O
A
A
On veut tracer le symétrique
du segment [AB] par rapport
au point O
On trace les symétriques des
extrémités A et B du segment
B′
A
B′
On trace le segment [A’B’]
obtenu, symétrique du segment [AB]
Image d’une droite par une symétrie centrale
L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.
On dit que la symétrie centrale conserve l’alignement des points.
Pour tracer le symétrique d’une droite, il suffit de tracer les symétriques de deux de ses points :
A'
B
O
(d)
B
On veut tracer le symétrique
de la droite (d) par rapport
au point O ; on prend deux
points A et B sur cete droite.
(d′ )
B
O
B'
(d)
A
A'
A
On trace les symétriques des
points A et B
O
B'
(d)
A
On trace la droite (d’), symétrique de la droite (d), obtenue en joignant les points A’
et B’
Remarque : si le point O est sur la droite (d ), alors la droite (d ) est sa propre symétrique.
5ème
Cours CH 2
Page 7
Image d’une demi-droite par une symétrie centrale
L’image d’une demi-droite par une symétrie centrale est une demi-droite.
Pour tracer le symétrique d’une demi-droite, il suffit de tracer le symétrique de son origine, ainsi que le
symétrique de l’un de ses points.
Image d’un cercle par une symétrie centrale
L’image d’un cercle par une symétrie centrale est un cercle de même rayon.
Pour tracer le symétrique d’un cercle, il suffit de tracer le symétrique de son centre :
A'
A'
O
C
O
C
R
R
A
A
A
On trace le symétrique du
centre A du cercle
C′
O
C
R
On veut tracer le symétrique
du cercle C de centre A et de
rayon R par rapport à O
R
On trace le cercle de centre A’
et de rayon R
Image d’un angle par une symétrie centrale
L’image d’un angle par une symétrie centrale est un angle de même mesure.
On dit que la symétrie centrale conserve les angles.
Pour tracer le symétrique d’un angle, il suffit de tracer les symétriques de son sommet et de ses côtés :
C
O
C
A'
B
A'
B
O
O
B'
A
On veut tracer le symétrique
 par rapport
de l’angle BAC
au point O
5ème
B'
C'
A
On trace le symétrique du
sommet A de l’angle, ainsi
que des points B et C, situés chacun sur un côté de
l’angle
Cours CH 2
C'
A
ƒ
On trace l’angle B’A’C’
Page 8
Remarque : en particulier, l’image d’un angle droit par une symétrie centrale est un angle droit ; ainsi :
– si deux droites sont perpendiculaires, leurs images sont elles aussi des droites perpendiculaires
– si un triangle est rectangle, alors son image est également un triangle rectangle
Image d’une figure par une symétrie centrale
L’image d’une figure par une symétrie centrale est une figure ayant le même périmètre et la même aire.
4. Centre de symétrie d’une figure
Centre de symétrie
Lorsqu’une figure est sa propre image par une symétrie centrale de centre O, on dit que le point O est un
centre de symétrie de cette figure.
La figure F se superpose à elle-même lors du demi-tour autour du point O :
F
O
5ème
Cours CH 2
Page 9
C OMPÉTENCE G2 : SYMÉTRIQUES DE SEGMENTS ET DE DROITES
E XERCICE 1
Dans chaque cas, construire en rouge le symétrique du segment [AB] par rapport au point O :
A
A
B
O
O
B
A
O
O
B
B
A
E XERCICE 2
Dans chaque cas, construire en rouge le symétrique de la droite (d) par rapport au point O :
A
(d)
A
B
O
O
(d)
(d)
(d)
O
O
5ème
Exercices CH 2
Page 1
C OMPÉTENCE G2 : SYMÉTRIQUES DE CERCLES ET DE DEMI - DROITES
E XERCICE 1
Dans chaque cas, construire en rouge le symétrique du cercle C par rapport au point O :
C
A
O
O
A
C
O
A
O
A
C
C
E XERCICE 2
Dans chaque cas, construire en rouge le symétrique de la demi-droite (d) par rapport au point O :
(d)
A
A
B
O
O
(d)
(d)
(d)
O
O
5ème
Exercices CH 2
Page 1
C OMPÉTENCE G2 : SYMÉTRIQUES DE SEGMENTS , DROITES , CERCLES
E XERCICE 1
Dans chaque cas, construire en rouge le symétrique du segment [AB] par rapport au point O :
B
B
A
O
O
A
B
O
O
A
A
B
E XERCICE 2
Dans chaque cas, construire en rouge le symétrique de la droite (d) par rapport au point O :
(d)
O
(d)
O
B
A
A
E XERCICE 3
Dans chaque cas, construire en rouge le symétrique du cercle C par rapport au point O :
C
O
O
C
5ème
Exercices CH 2
Page 1
C OMPÉTENCE G3 : SYMÉTRIQUE D ’ UNE FIGURE (1)
Dans chaque cas, construire en rouge la figure symétrique de la figure donnée par rapport au point O :
O
O
O
O
O
O
O
5ème
O
Exercices CH 2
Page 1
C OMPÉTENCE G3 : SYMÉTRIQUE D ’ UNE FIGURE (3)
Dans chaque cas, construire en rouge la figure symétrique de la figure donnée par rapport au point O :
O
O
O
O
O
O
O
5ème
O
Exercices CH 2
Page 1
C OMPÉTENCE G3 : SYMÉTRIQUE D ’ UNE FIGURE (4)
Dans chaque cas, construire en rouge la figure symétrique de la figure donnée par rapport au point O :
O
O
O
O
O
O
5ème
Exercices CH 2
Page 1
C OMPÉTENCE G4 : M ET TRE EN ÉVIDENCE LE CENTRE DE SYMÉTRIE D ’ UNE FIGURE
E XERCICE 1
Observez les figures suivantes, nommez-les, et placez :
– en rouge le centre de symétrie de la figure, s’il existe ;
– en vert les axes de symétrie de la figure, s’il y en a.
Figure 1 : . . . . . . . . . . . .
Figure 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figure 3 : . . . . . . . . . . . .
........................
Figure 4 : . . . . . . . . . . . .
........................
Figure 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figure 6 : . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 2
Observez les figures suivantes, et placez :
– en rouge le centre de symétrie de la figure, s’il existe ;
– en vert les axes de symétrie de la figure, s’il y en a.
5ème
Exercices CH 2
Page 1
E XERCICE 3
Même consigne :
E XERCICE 4 Même consigne :
E XERCICE 4 Même consigne (en donnant la signification de chaque panneau) :
...............
...............
...............
...............
...............
...............
...............
...............
...............
...............
...............
...............
E XERCICE 5 Même consigne :
5ème
Exercices CH 2
Page 2
C OMPÉTENCE G5 : UTILISER LES PROPRIÉTÉS DE LA SYMÉTRIE CENTRALE
E XERCICE 1
Sur ton cahier, construis un triangle ABC isocèle en A tel que AB=7 cm et BC=5 cm.
Sois I le milieu de [BC], et J celui de [AB]. Construis le symétrique de ce triangle par rapport au point C
(on appellera D, E, K et L les symétriques respectifs des points A, B, I et J par rapport au point C).
1. Combien vaut la longueur DE ? Justifie ta réponse, en complétant ce texte :
① D est le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de A par rapport au point C.
. . . . . . est le symétrique de . . . . . . par rapport au point . . . . . . .
Le symétrique du segment [AB] par rapport au point C est donc le segment [ . . . . . . . . . ].
② Or le symétrique d’un segment est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . de même . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
③ On peut donc en conclure que [AB] et [ . . . . . . . . . ] sont de même longueur,
et donc que DE= . . . . . . . . . . . . cm.
Pour démontrer, tu dois rédiger en trois étapes :
① Ecris les données de l’exercice qui te seront utiles (et ici, pense à interpréter ces données
dans le cadre d’une symétrie centrale).
② Enonce une propriété ou une définition du cours, quetu vas utiliser
③ Ecris la conclusion
Sur le même modèle, réponds aux questions suivantes :
2. Quel est le périmètre du triangle CDE ? Justifier.
3. Démontrer que la droite (DE) est parallèle à la droite (AB).
4. Les droites (AI) et (BC) sont perpendiculaires. Que peut-on dire des droites (DJ) et (CE) ? Justifier.
5. Démontrer que K est le milieu du segment [CE]. (difficile)
6. Soit O le point d’intersection des droites (AI) et (CJ) ; on appelle P le symétrique de ce point par rapport au point O. Justifier avec soin que P est le point d’intersection des droites (CL) et (DK). (difficile)
E XERCICE 2
Sur ton cahier, trace un cercle C de centre O et de rayon 6cm. Trace deux diamètres [AB] et [EF] de ce
cercle.
1. Démontre avec soin que les droites (AE) et (BF) sont parallèles.
2. Démontre que les longueurs EB et AF sont égales.
E XERCICE 3
Trace sur ton cahier un triangle équilatéral ABC de 6 cm de côté. Soit I le milieu de [AB], et soit O le
milieu de [AI]. Soit D le symétrique de B par rapport au point O.
1. Démontre que les droites (DI) et (AB) sont parallèles.
2. Calcule la longueur AD.
5ème
Exercices CH 2
Page 1
C HAPITRE III
D ISTRIBUTIVITÉ & C ALCUL LITTÉRAL
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
T1
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
N6
Sur des exemples numériques, utiliser les égalités
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb dans les deux sens ∗
N7
Utiliser (∗ ) et produire des expressions littérales
N8
Simplifier, réduire l’écriture d’une expression littérale (∗ )
N9
Sur des exemples littéraux, utiliser les égalités k(a + b) = ka + kb et
k(a − b) = ka − kb dans les deux sens
N10
Tester si une égalité comportant des nombres indéterminés est vraie
lorsqu’on leur attribue une valeur numérique
Eval.1 Eval.2 Eval.3
Taux de réussite :
............ %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗
: cette compétence fait partie du socle commun.
Légende du tableau de compétences :
5ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 3
Page 10
Compétence N6 : Distributivité de la multiplication sur l’addition
Sous ce titre compliqué se cache un principe plutôt simple, que l’on utilise parfois sans même le savoir
consciemment. Prenons un exemple : Calcul de l’aire d’un rectangle
7, 8
9, 7
Dans chacun des cas suivants, il existe deux manières de calculer l’aire du rectangle hachuré :
1
4
6
10
Première façon
Deuxième façon
Première façon
Deuxième façon
forme "produit"
forme "somme"
forme "produit"
forme "différence"
9, 7 × (6 + 4)
9, 7 × 6 + 9, 7 × 4
7, 8 × (10 − 1)
7, 8 × 10 − 7, 8 × 1
Les deux calculs, une fois effectués en respec-
Les deux calculs, une fois effectués en respec-
tant les règle de priorité, produisent bien évi-
tant les règle de priorité, produisent bien évi-
demment les mêmes résultats. Mais dans ce cas
demment les mêmes résultats. Mais dans ce cas
précis, la forme "produit" semble beaucoup plus
précis, la forme "différence" semble beaucoup
facile à utiliser pour calculer l’aire de rectangle ;
plus facile à utiliser pour calculer l’aire de rec-
elle vaut
tangle ; elle vaut
2
7, 8 × 10 − 7, 8 × 1 = 78 − 7, 8 = 70, 2 cm2 .
9, 7 × (6 + 4) = 9, 7 × 10 = 97 cm .
Définitions - formules de distributivité
• Développer un produit consiste à le transformer en somme (ou en différence).
On utilise les formules
k × (a + b) = k × a + k × b
et
k × (a − b) = k × a − k × b
• Factoriser une somme (ou une différence) consiste à la transformer en produit.
On utilise les mêmes formules, mais lues "à l’envers" :
k × a + k × b = k × (a + b)
et
k × a − k × b = k × (a − b)
Exemples avec application au calcul réfléchi :
• 12, 4 × (10 + 1) = 12, 4 × 10 + 12, 4 × 1
• 19 × 12, 7 − 19 × 2, 7 = 19 × (12, 7 − 2, 7)
On a "distribué" 12,4 sur chaque terme de la
19 est un "facteur commun" aux deux termes de
somme entre parenthèses ; on a développé cette
la somme entre parenthèses ; on a factorisé cette
expression numérique. Il est plus simple de cal-
expression numérique. Il est plus simple de cal-
culer cette expression sous sa forme développée
culer cette expression sous sa forme factorisée
(12, 4×10+12, 4×1 = 124+12, 4 = 136, 4) que sous
(19 × (12, 7 − 2, 7) = 19 × 10 = 190) que sous sa
sa forme factorisée (12, 4 × (10 + 1) = 12, 4 × 11 =?)
forme développée (19 × 12, 7 − 19 × 2, 7 =?−? =?)
5ème
Cours CH 3
Page 11
Compétence N7 : Expressions littérales
Définitions
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par
des lettres.
Exemples :
c
• Le périmètre d’un losange de côté c est donné par
l’expression littérale 4 × c.
Si le losange considéré a un côté mesurant 6 cm, alors
son périmètre sera de 4 × 6 = 24 cm.
• Le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l est donné par l’une des deux expressions littérales suivantes : 2 × (L + l ) ou 2 × L + 2 × l .
Si la longueur de ce rectangle vaut 8 cm, et sa largeur 5
cm,
alors son périmètre sera de 2 × 8 + 2 × 5 = 16 + 10 = 26
cm. (ou 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 cm).
l
L
Compétence N8 : Simplification de l’écriture d’une expression littérale
Suppression du signe ×
Pour simplifier l’écriture d’une expression littérale, on peut supprimer le signe "×" :
– devant une lettre,
– devant une parenthèse.
Exemples :
2 × y s’écrira 2y
3 × (5 − a) s’écrira 3(5 − a)
a × 3 s’écrira 3a
2 ×(x +1) s’écrira 2(x +1)
B 2 × 5 ne peut pas s’écrire 25 ! !
Carrés, cubes
– Le produit a × a s’écrit a 2 , et se prononce "a au carré".
– Le produit a × a × a s’écrit a 3 , et se prononce "a au cube".
Exemples :
3 × 3 s’écrira 32
5 × 5 × 5 s’écrira 53
x × x s’écrira x 2
u × u × u s’écrira u 3
8 × 8 × c × c × c s’écrira 82 × c 3
2 × y × 2 × y × y s’écrira 22 × y 3
5ème
Cours CH 3
Page 12
Compétence N9 : Distributivité appliquée au calcul littéral
Développement
Factorisation
• 8 × (x + 3) = 8 × x + 8 × 3 = 8x + 24
• 12 × x − 12 × y = 12 × (x − y) = 12(x − y)
On a "distribué" 8 sur chaque terme de la somme
12 est un "facteur commun" aux deux termes de
entre parenthèses ; on a développé cette expression littérale.
5(3 − 2x) = 5 × 3 − 5 × 2x = 15 − 10x
2(6x + 5) = 2 × 6x + 2 × 5 = 12x + 10
la somme entre parenthèses ; on a factorisé cette
expression littérale.
14y − 28 = 14 × y − 14 × 2 = 14 × (y − 2)
5m − 5 = 5 × m − 5 × 1 = 5 × (m − 1)
Un cas particulier intéressant de factorisation : la réduction d’une expression littérale
• 12b + 5b = (12 + 5)b = 17b
• 10x − 4x = (10 − 4)x = 6x
• 7m + m = 7m + 1m = (7 + 1)mb = 8m
Compétence N10 : Tester si une égalité est vraie
Notion d’égalité
Une égalité est composée de deux membres séparés par le symbole "=".
Pour que l’égalité soit dite vraie (ou vérifiée), il faut que les deux membres aient la même valeur.
Exemples :

 d’une part, le premier membre vaut 5 × 3 = 15
5 × 3 = 7 × 2 + 1 est une égalité vraie, car
 d’autre part, le second membre vaut 2 × 7 + 1 = 14 + 1 = 15

 d’une part, 5 × (6 − 2) = 5 × 4 = 20
5 × (6 − 2) = 1 + 3 × 4 est une égalité fausse, car
 d’autre part, 1 + 3 × 4 = 1 + 12 = 13
Tester une égalité
Pour tester si une égalité comportant des nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue une
valeur numérique, il faut procéder ainsi :
– d’une part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par
leur(s) valeur(s) dans le membre de gauche de l’égalité.
– d’autre part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par
leur(s) valeur(s) dans le membre de droite de l’égalité.
Si les deux résultats obtenus sont égaux entre eux, alors l’égalité est vérifiée ; par contre, si les deux
résultats trouvés sont différents, l’égalité n’est pas vérifiée.
Exemple : Tester si l’égalité 2x + 4 = 13 − x est vraie pour x = 3
D’une part, le premier membre vaut 2×3+4 = 6+4 =10, d’autre part le second membre vaut 13−3 =10
Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vérifiée.
5ème
Cours CH 3
Page 13
D ISTRIBUTIVITÉ DE LA MULTIPLICATION SUR L’ ADDITION ET LA SOUSTRACTION
1. Il existe deux façons de calculer l’aire du rectangle hachuré ci-contre :
Première façon : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Deuxième façon : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä une somme
,
Le premier calcul est
ä un produit
ä une somme
alors que le second calcul est
ä un produit
6
3
Dans chaque cas, écrire les deux calculs possibles. Entourez le calcul qui vous semble le plus facile à
10
2
6
6,6
27
15,8
effectuer.
5,5
4
4,5
Somme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Il existe deux façons de calculer l’aire du rectangle hachuré ci-contre :
Première façon : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Deuxième façon : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ä une différence
Le premier calcul est
,
ä un produit
ä une différence
alors que le second calcul est
ä un produit
3
8
Dans chaque cas, écrire les deux calculs possibles. Entourez le calcul qui vous semble le plus facile à
2,74
1
10
8,1
35
11,3
effectuer.
12,74
4,5
5,5
Différence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Différence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Différence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5ème
Activité CH 3
Page 1
3. Pour résumer (et en prenant des lettres pour donner des formules utilisables) :
Il existe deux manières, tout aussi valables l’une que l’autre, pour calculer l’aire du rectangle hachuré
k
k
ci-dessous :
b
a
Première façon
forme "produit"
k × (a + b)
a
b
Deuxième façon
forme "somme"
k ×a +k ×b
Première façon
forme "produit"
k × (a − b)
Deuxième façon
forme "différence"
k ×a −k ×b
Exercice 1 : Transformer ces produits en sommes en utilisant la formule k × (a + b) = k × a + k × b :
• 8 × (5 + 7) = 8 × . . . . . . + 8 × . . . . . .
• 3 × (12 + 5) = . . . . . . × . . . . . . + . . . . . . × . . . . . .
• 10 × (5, 1 + 17, 6) = . . . . . . × . . . . . . + . . . . . . × . . . . . .
• 1, 2 × (9 + 7, 9) = . . . . . . × . . . . . . + . . . . . . × . . . . . .
Exercice 2 : Transformer ces produits en différences en utilisant la formule k × (a − b) = k × a − k × b :
• 3 × (15 − 7) = 3 × . . . . . . − 3 × . . . . . .
• 13 × (22 − 15) = . . . . . . × . . . . . . − . . . . . . × . . . . . .
• 100 × (0, 56 − 0, 31) = . . . . . . × . . . . . . − . . . . . . × . . . . . .
• 47 × (19 − 11, 2) = . . . . . . × . . . . . . − . . . . . . × . . . . . .
Exercice 3 : Transformer ces sommes en produits en utilisant la formule k × a + k × b = k × (a + b) :
• 7 × 4 + 7 × 11 = 7 × (. . . . . . + . . . . . .)
• 13 × 14, 2 + 13 × 5, 8 = . . . . . . × (. . . . . . + . . . . . .)
• 5 × 14 + 13, 2 × 14 = (. . . . . . + . . . . . .) × . . . . . .
• 5 × 11 + 11 × 17 = . . . . . . × (. . . . . . + . . . . . .)
Exercice 4 : Transformer ces différences en produits en utilisant la formule k × a − k × b = k × (a − b) :
• 5 × 14 − 5 × 7 = 5 × (. . . . . . − . . . . . .)
• 113 × 1, 5 − 113 × 0, 8 = . . . . . . × (. . . . . . − . . . . . .)
• 25 × 17 − 12 × 17 = (. . . . . . − . . . . . .) × . . . . . .
• 5 × 11, 2 − 11, 2 × 1, 4 = . . . . . . × (. . . . . . − . . . . . .)
5ème
Activité CH 3
Page 2
C OMPÉTENCE N7 : U TILISER ET PRODUIRE DES EXPRESSIONS LIT TÉRALES (1)
7
E XERCICE 1 Ecrire une expression littérale donnant le périmètre de chaque figure, et simplifiez-la :
a
11
7
x
P = ..............................
Quand x = 13 cm, P = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .
P = ..............................
Quand a = 4 cm, P = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .
d
r
P = ..............................
Quand d = 10 cm, P = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .
P = ..............................
Quand r = 2, 5 cm, P = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .
8
L−2
E XERCICE 2 Ecrire une expression littérale donnant l’aire de chaque figure, et simplifiez-la :
L
a
A = ..............................
Quand a = 5 cm, A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .
y
A = ..............................
Quand L = 20 cm, A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .
c
7
y
10
c
A = ..............................
Quand c = 6 cm, A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .
5ème
A = ..............................
Quand y = 3 cm, A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . .
Exercices CH 3
Page 1
C OMPÉTENCE N7 : U TILISER ET PRODUIRE DES EXPRESSIONS LIT TÉRALES (2)
E XERCICE 1
On considère le programme de calcul suivant, valable pour un nombre quelconque que l’on désignera
par la lettre x :
• multiplier le nombre par 7 ;
• ôter 6 au résultat ;
• multiplier par 3 et annoncer le résultat.
1. Parmi les expressions littérales suivantes, laquelle correspond à ce programme de calcul ?
• A = 7x − 6 × 3
• C = 7(x − 6) × 3
• B = (7x − 6) × 3
• D = 7(x − 6 × 3)
2. Quel résultat donne ce programme de calcul lorsque l’on prend x = 1 ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
et x = 5 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 2
On considère le programme de calcul suivant, valable pour un nombre quelconque que l’on désignera
par la lettre x :
• augmenter le nombre de 2 ;
• multiplier le résultat par 4 ;
• ôter 10 et annoncer le résultat.
1. Écris une expression littérale correspondant à ce programme de calcul.
..........................................................................................................
2. Quel résultat donne ce programme de calcul lorsque l’on prend x = 2 ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
x = 10 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 3
On considère l’expression littérale suivante : A = 4 × (3x − 2) + 1
1. Ecris un programme de calcul qui corresponde à cette expression littérale :
•
•
•
•
2. Quel résultat donne le programme de calcul que tu as écrit lorsque l’on prend x = 3 ? . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
3. Vérifie que tu trouves bien le même résultat en remplaçant x par 3 dans l’expression littérale A. . . . . .
..........................................................................................................
5ème
Exercices CH 3
Page 1
C OMPÉTENCE N10 : T ESTER UNE ÉGALITÉ
E XERCICE 1
Parmi les égalités suivantes, entourer en vert celles qui sont vraies, et en rouge celles qui sont fausses :
2×7+1 = 5×3
20 ÷ 4 + 1 = (12 + 6) ÷ 3
1+2+3+4+5 = (5×6)÷2
20 − 10 × 0, 3 = 12 − 9
2 × (15 − 4 × 2) = 11
10 = 13 − (2 × 5 − 7)
4 × 2 × 3 = 31 − 3 + 4
52 − 4 × 5 + 1 = 3 × 5 − 9
Pour tester si une égalité comportant des nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue une
valeur numérique, il faut procéder ainsi :
– d’une part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par
leur(s) valeur(s) dans le membre de gauche de l’égalité.
– d’autre part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s)
par leur(s) valeur(s) dans le membre de droite de l’égalité.
Si les deux résultats obtenus sont égaux entre eux, alors l’égalité est vérifiée ; par contre, si les deux
résultats trouvés sont différents, l’égalité n’est pas vérifiée.
E XERCICE 2
Question
Tester si l’égalité
2x + 3 = 5
est vraie pour x = 2
Tester si l’égalité
2x + 3 = 6 − x
est vraie pour x = 1
Tester si l’égalité
5(x + 2) = 19 + 2x
est vraie pour x = 3
Tester si l’égalité
2, 5x + 4 = 7(10 − 2x)
est vraie pour x = 4
Tester si l’égalité
0, 2x = (x + 8) ÷ 9
est vraie pour x = 10
Tester si l’égalité
4 − x = y + 1 est vraie
pour x = 3 et y = 1
Tester si l’égalité
5x + y = x + 7y est vraie
pour x = 3 et y = 2
Tester si l’égalité
2(y − 2x) = x + 1 est
vraie pour x = 5 et
y = 12
5ème
Calculs
Conclusion
D’une part, le membre
de gauche vaut
2×...+3 = ...
D’autre part, le
membre de droite vaut
...
Donc l’égalité
............
vérifiée
D’une part, le membre
de gauche vaut
2×...+3 = ...
D’autre part, le
membre de droite vaut
6−... = ...
Donc l’égalité
............
vérifiée
D’une part, le membre
de gauche vaut
........................
D’autre part, le
membre de droite vaut
........................
Donc l’égalité
............
vérifiée
D’une part, le membre
de gauche vaut
........................
D’autre part, le
membre de droite vaut
........................
Donc l’égalité
............
vérifiée
D’une part, le membre
de gauche vaut
........................
D’autre part, le
membre de droite vaut
........................
Donc l’égalité
............
vérifiée
D’une part, le membre
de gauche vaut
........................
D’autre part, le
membre de droite vaut
........................
Donc l’égalité
............
vérifiée
D’une part, le membre
de gauche vaut
........................
D’autre part, le
membre de droite vaut
........................
Donc l’égalité
............
vérifiée
D’une part, le membre
de gauche vaut
........................
D’autre part, le
membre de droite vaut
........................
Donc l’égalité
............
vérifiée
Exercices CH 3
Page 1
C HAPITRE IV
T RIANGLES
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
T1
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T3
Construire une figure géométrique aux instruments d’après un programme de construction
G7
Utiliser le résultat sur la somme des angles dans un triangle (∗ )
G8
Utiliser les propriétés relatives aux angles des triangles particuliers (∗)
G9
Utiliser l’inégalité triangulaire (∗ )
G10
Construire un triangle connaissant trois longueurs, deux longueurs et
un angle ou une longueur et deux angles(∗ )
G11
Utiliser la définition de la médiatrice d’un segment ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d’équidistance (∗ )
G12
Tracer la médiatrice d’un segment par différentes méthodes
G13
Construire le cercle circonscrit à un triangle (∗ )
G14
Utiliser la définition d’une médiane, d’une hauteur dans un triangle
Eval.1 Eval.2 Eval.3
Taux de réussite :
............ %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗
: cette compétence fait partie du socle commun.
Légende du tableau de compétences :
5ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 4
Page 14
Compétence G7 : Somme des mesures des angles dans un triangle
Somme des angles dans un triangle
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°
Exemple d’utilisation : Calculer la mesure d’un angle dans un triangle
C
Dans le triangle ABC, la somme des mesures des angles vaut 180° ;
 + AC

on a ainsi ABC
B + C
AB = 180°
◦
55
 + 55°+45°= 180°
D’où ABC
 + 100°= 180°
d’où ABC
?
◦
45
 = 180°−100°= 80°
et donc ABC
B
A
Visualisation de cette propriété
 , BC
A et C
On colorie chacun des angles ABC
AB d’une couleur différente, puis on découpe selon les
pointillés (comme indiqué ci-dessous) avant de "recoller" les trois angles pour former un angle plat (qui
mesure donc 180°...)
C
C
B
B
A
A
Compétence G8 : Angles et triangles particuliers
Le cas du triangle isocèle
– Si un triangle est isocèle, alors ses deux angles à la base sont de même mesure.
– Si, dans un triangle, deux angles ont même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Le cas du triangle équilatéral
– Si un triangle est équilatéral, alors tous ses angles mesurent 60°.
– Si, dans un triangle, les trois angles mesurent 60°, alors ce triangle est équilatéral.
◦
60
◦
60
◦
60
Le cas du triangle rectangle
– Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires
(c’est-à-dire que la somme de leurs mesures vaut 90°).
– Si, dans un triangle, deux angles sont complémentaires, alors ce triangle est rectangle.
5ème
Cours CH 4
Page 15
Compétence G9 : Utiliser l’inégalité triangulaire
Inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres
côtés.
C
Plus communément, cette propriété revient à
dire que, pour aller du point A au point B, il
est plus court d’aller directement de A à B (en
suivant le segment [AB]) que de passer par C
(si celui-ci n’est pas sur le trajet direct, c’est-àdire le segment [AB])
Dans
le triangle ABC, on a :



AB<AC+CB



AC<AB+BC




 BC<BA+AC
A
B
Vérifier qu’un triangle est constructible
Pour vérifier s’il est possible de construire un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés, il
suffit de vérifier que la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs des deux
autres.
A
B
6 m
A
2.5 m
3.5 m
4 m
C
Exemple 2
On veut savoir si le triangle ABC, avec
AB=7cm, AC=4cm et BC=2,5 cm est constructible ou pas.
On prend la longueur du plus long côté :
AB=7 cm
et on compare avec la somme des longueurs
des deux autres côtés :
AC+BC=4+2,5=6,5 cm.
Comme AB>AC+BC, le triangle n’est pas
constructible.
4 m
Exemple 1
On veut savoir si le triangle ABC, avec
AB=6cm, AC=4cm et BC=3,5 cm est constructible ou pas.
On prend la longueur du plus long côté :
AB=6 cm
et on compare avec la somme des longueurs
des deux autres côtés :
AC+BC=4+3,5=7,5 cm.
Comme AB<AC+BC, le triangle est constructible.
6 m
B
Cas d’égalité
• Si un point M appartient au segment [AB], alors on a AB=AM+MB
• Si trois points A, B et M sont tels que AB=AM+MB, alors M appartient au segment [AB].
5
4.
m
2.
5
C
A
5ème
7 m
m
B
Par exemple, ici on a AB=7 cm, AC=4.5 cm et CB=2.5 cm.
On a donc AB=AC+BC, donc C est sur [AB].
(On peut voir ABC comme un "triangle aplati")
Cours CH 4
Page 16
Compétence G10 : construction de triangles
Ï Connaissant les longueurs des trois côtés
On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=4,5cm , BC=5,5cm et AC=3cm.
.5
4
5,5 m
C
B
C
5,5 m
B
m
m
m
B
5
4,
3
3
m
A
C
5,5 m
① Traçons le côté le plus long ;
② Traçons deux arcs de cercle :
③ Le point A est à l’intersection
ici, il s’agit de [BC] qui a pour
longueur 5,5 cm.
le premier de centre B et de
rayon 4,5 , le second de centre
C de rayon 3
des deux arcs de cercle ; terminons en traçant le triangle ABC
Ï Connaissant les longueurs de deux côtés et la mesure de l’angle compris entre ces côtés
 = 40°.
On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=4,5cm , AC=6cm et BAC
B
m
.5
4
◦
◦
40
A
6 m
C
40
A
C
A
C
① Traçons un des côtés dont
② Traçons une demi-droite
③ Mesurons 4,5 cm sur cette
la longueur est connue ; ici par
exemple [AC], qui a pour longueur 6 cm.
d’origine A formant un angle de
40°avec la demi-droite [AC)
demi-droite à partir de A pour
placer le point B ; terminons en
traçant le triangle
Ï Connaissant la longueur d’un côté et les mesures des deux angles qui lui sont adjacents
 = 30°et ABC
 = 55°.
On cherche à tracer le triangle ABC tel que AB=6cm , BAC
C
◦
55
◦
30
A
6 m
B
① Traçons l’unique côté dont
la longueur est connue ; ici c’est
[AB], qui a pour longueur 6 cm.
5ème
A
6 m
B
② Traçons une demi-droite
d’origine A formant un angle
de 30°avec la demi-droite [AB),
puis une demi-droite d’origine
B formant un angle de 55°avec
la demi-droite [BA)
Cours CH 4
◦
55
◦
30
A
6 m
B
③ Le point C est à l’intersection
de ces deux demi-droites ; terminons en traçant le triangle
Page 17
Compétence G11 : médiatrice d’un segment
Définition
La médiatrice d’un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son
milieu.
Propriété d’équidistance
– Si un point M est situé sur la médiatrice du segment [AB],
alors on est sûr que ce point M est à égale distance des extrémités A et B.
– Si un point M est situé à égale distance des extrémités A et B,
alors on est sûr que ce point M est sur la médiatrice du segment [AB].
Compétence G12 : comment construire la médiatrice d’un segment ?
Ï Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :
B
A
B
I
A
Pour tracer la médiatrice du
segment [AB] :
B
A
I
① on place le point I milieu du
② on trace la perpendiculaire à
segment [AB]
(AB) passant par I
Ï Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :
B
A
Pour tracer la médiatrice du
segment [AB] :
5ème
B
A
B
A
① on trace deux cercles de
② on trace la droite qui joint
centres A et B de même rayon,
assez grand
les points d’intersection de ces
deux cercles
Cours CH 4
Page 18
Compétence G13 : cercle circonscrit à un triangle
Propriété et définition
Etant donné un triangle quelconque (non aplati), les médiatrices des trois côtés du triangle passent par
un même point ; on dit qu’elles sont concourantes.
Le point commun à ces trois médiatrices est le centre d’un cercle passant par les trois sommets du
triangle. Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle
Ï Construction du cercle circonscrit à un triangle
C
C
C
O
B
B
A
A
Pour tracer le cercle circonscrit
à un triangle :
B
A
① on trace les médiatrices de
② on trace le cercle en pla-
deux côtés (la troisième n’est
pas nécessaire)
çant la pointe du compas sur
le point d’intersection des médiatrices, et la mine sur l’un des
trois sommets
Compétence G14 : médiane, hauteur dans un triangle
Définitions
• Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet du triangle et par le milieu
du côté opposé à ce sommet.
• Dans un triangle, on appelle hauteur une droite passant par un sommet du triangle et perpendiculaire
au côté opposé à ce sommet.
Exemples :
C
C
H
A
H
B
I
A
Dans ce triangle, (AI) est la
médiane issue de A
5ème
B
A
B
Dans ce triangle, (AH) est la
hauteur issue de A ; on dit que
H est le pied de cette hauteur.
Cours CH 4
C
Dans ce triangle, (AH) est la
hauteur issue de A (il a fallu
prolonger le côté [BC] pour
tracer cette hauteur)
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M ÉDIATRICE D ’ UN SEGMENT
B
A
1. Dans le cadre ci-dessus, placer le point I milieu de [AB].
2. Il existe d’autres points qui sont situés à égale distance des points A et B ; placer trois de ces points à
l’aide d’un compas, et les nommer J, K, L.
3. Que peut-on dire de ces quatre points ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Trace la droite perpendiculaire à (AB) passant par I ;
a) Comment s’appelle une telle droite ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Que constatez-vous quant aux points J, K, L ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c) Placer un point M au hasard sur cette droite, et mesurer les distances AM et BM. Qu’en pensezvous ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Compléter :
La . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’un segment est la droite qui est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . à ce segment et qui passe par son . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– Si un point M est situé sur la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du segment [AB],
alors on est sûr que ce point M est situé à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . des points A et B.
– Si un point M est situé à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . des points A et B,
alors on est sûr que ce point M est sur la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du segment [AB].
5ème
Activité CH 4
Page 1
C ERCLE CIRCONSCRIT À UN TRIANGLE
1. Deux amis, Alain et Bernard, habitent dans une plaine déserte ; ils décident de se retrouver pour
discuter un peu. Sur un plan, le point A représente la maison d’Alain, et le point B représente la
maison de Bernard. Ces deux points sont distants de 10 cm. Bien sûr, Alain et Bernard veulent se
retrouver à un endroit qui soit situé à égale distance de leurs maisons.
a) Tracer un segment [AB] de longueur 10 cm.
b) Placer deux points de rendez-vous possibles sur le dessin.
c) Tracer la droite (d 1 ) qui représente l’ensemble des positions possibles de ce point de rendez-vous.
2. C’est alors qu’Alain se dit que ce serait bien sympa d’inviter aussi Christophe a leur rendez-vous.
Alain téléphone donc à Christophe pour lui donner endez-vous. La maison de Christophe, sur le
plan, est située à 9,5 cm de celle d’alain, et à 6 cm de celle de Bernard.
a) Placer le point C sur le plan, représentant la maison de Christophe.
b) Alain et Christophe décident eux aussi qu’il serait bien que le lieu de rendez-vous soit situé à égale
distance de leurs deux maisons. Tracer la droite (d 2) qui représente l’ensemble des positions possibles
de ce point de rendez-vous.
3. On note O le point d’intersection des droites d 1 et d 2 .
Alain affirme que le point O est l’endroit idéal pour que les trois amis se retrouvent, parce qu’il est
situé à égale distance de leurs trois maisons. Mais Bernard, lui, qui soupçonne de se faire avoir, ne
l’entend pas de cette oreille : pour lui, ce point de rendez-vous se situe plus près de chez Christophe
que de chez lui. Pour savoir qui a raison, répondre aux questions suivantes :
a) On est certain que OA=OB ; pourquoi ?
b) On est également certain que OA=OC ; pourquoi ?
c) Est-il également vrai que OB=OC ? pourquoi ? Qui, de Bernard ou d’Alain, avait raison ?
d) Tracer la droite (d 3 ), médiatrice du segment [BC]. Cette droite passe par le point O ; pourquoi ?
4. Tracer le cercle de centre O et passant par A. Pourquoi ce cercle passe-t-il aussi par B et par C ?
5. Compléter :
A retenir : Etant donné un triangle ABC quelconque et non aplati, les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
des trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . du triangle passent par un même point ; on dit qu’elles sont
.............................. .
Le point commun à ces trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . est le centre d’un . . . . . . . . . . . . . . . . . . passant
par les trois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . du triangle. Ce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . est appelé . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
5ème
Activité CH 4
Page 1
A CTIVITÉ G EO G EBRA : CERCLE CIRCONSCRIT À UN TRIANGLE
O BJECTIFS : Tracer le cercle circonscrit à un triangle en utilisant le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra ;
étudier la position du centre de ce cercle circonscrit selon les cas.
Voici les boutons GeoGebra dont vous aurez besoin :
Sélectionner ou
déplacer un objet
Marquer un
point
d’intersection
Tracer un
polygone
Tracer la
médiatrice d’un
segment
Tracer un cercle
passant par un
point
Marquer un
angle
1. Dans votre navigateur internet, pointez vers l’adresse http ://www.geogebra.org . Cliquez sur "Démarrer GeoGebra", puis sur le bouton "GeoGebra Webstart".
2. Une fois le logiciel lancé, ouvrez le fichier CercleCirconscrit.ggb situé dans l’espace d’échange de votre classe ;
ce n’est pour l’instant qu’une page blanche (Fichier>Ouvrir. . . )
3. Tracez un triangle ABC sur la feuille.
4. Tracez les médiatrices des trois côtés du triangle ABC (Faites-les en rouge et pointillés : faire un clic droit sur
l’objet à modifier, choisir "Propriétés", puis "Couleur" ou "Style"...). Vérifiez que les trois médiatrices restent
concourantes, quelles que soient les positions des points A, B et C (Faites bouger ces points à la souris).
5. Marquez le point d’intersection des médiatrices (à ce stade, il devrait s’appeler D). Tracez le cercle de centre D
et passant par A. Vérifiez bien que ce cercle passe par les trois sommets du triangle (C’est le cercle circonscrit au
triangle ABC), et ceci quelle que soit la position des points A, B et C.
b
6. Marquez l’angle A.
7. Faites bouger (si c’est nécessaire) les points A, B et C jusqu’à obtenir un triangle ayant tous ses angles aigus. Où
se situe le centre du cercle circonscrit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Faites bouger les points A, B et C jusqu’à obtenir un triangle rectangle en A. Où se situe le centre du cercle
circonscrit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Faites bouger les points A, B et C jusqu’à obtenir un triangle ayant un angle obtus. Où se situe le centre du
cercle circonscrit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5ème
Activité CH 4
Page 1
S OMME DES ANGLES DANS UN TRIANGLE
Activité 1 : formuler une conjecture
1. Prenez les trois premières lettres de votre nom de famille, et reliez les points correspondants sur la
figure ci-dessous de façon à former un triangle :
U
V
P
K
W
Q
L
F
A
X
R
M
G
B
Y
S
N
H
C
T
O
I
D
J
E
2. A l’aide de votre rapporteur, mesurez les trois angles de "votre" triangle, et reportez les résutats dans
le tableau ci-dessous :
Nom du
triangle
5ème
Mesure
angle 1
Mesure
angle 2
Mesure
angle 3
Somme des mesures
des trois angles
Activité CH 4
Particularité
Page 1
S OMME DES ANGLES DANS UN TRIANGLE
Activité 2 : démontrer la conjecture
1. • Tracez un triangle ABC quelconque.
• Placez les points I et J, milieux respectifs des côtés [AB] et [AC].
• Placez avec soin le point E, symétrique du point C par rapport au point I.
• Placez le point F, symétrique du point B par rapport au point J.
Rappels :
Ï L’image d’un angle par une symétrie centrale est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ï L’image d’une droite par une symétrie centrale est une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Justifiez succinctement chacune des affirmations suivantes :
d et ABC
 ont la même mesure.
a) Les angles EAB
.......................................................................................................
 ont la même mesure.
b) Les angles 
CAF et ACB
.......................................................................................................
c) Les droites (BC) et (AE) sont parallèles.
.......................................................................................................
d) Les angles (BC) et (AF) sont parallèles.
.......................................................................................................
e) Les points E, A et F sont alignés.
.......................................................................................................
d + BAC
+
f) EAB
CAF = 180°
.......................................................................................................

 + ACB
 = 180°
g) ABC + BAC
.......................................................................................................
A retenir : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°
5ème
Activité CH 4
Page 1
C OMPÉTENCE G10 : CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES (1)
E XERCICE 1
Construire aux instruments les triangles suivants en vraie grandeur :
B
B
4 m
6 m
C
②
5
7.
m
m
③
35◦
m
7
5
8 m
①
5 m
B
A
A
9 m
C
A
C
B
B
6 m
A
85◦
5.5
110
B
8 m
C
A
25
125◦
⑥
⑤
8 m
m
④◦
C
◦
40◦
C
A
E XERCICE 2
Après avoir dessiné une petite figure à main levée (indiquant les mesures d’angles et longueurs de côtés
connues), construire aux instruments les triangles suivants en vraie grandeur (L’unité est le cm) :
①
Construire le triangle
ABC tel que AB=5, AC=9 et
BC=5,5.
②
Construire le triangle
FGH tel que FG=11, FH=9 et
GH=4,5.
③
④
⑤ Construire le triangle TRV
⑥ Construire le triangle XYZ
d = 45°et
tel que TR=9, RTV
d = 60°.
TRV
d = 30°et
tel que XZ=5, YXZ
d = 130°.
XZY
Construire le triangle
MNP tel que MN=8, NP=4,5
 = 105°.
et PNM
5ème
Exercices CH 4
Construire le triangle
LKU tel que LK=5, LU=7,5 et
 = 50°.
ULK
Page 1
Corrigé des exercices
E XERCICE 1
B
+
B
①
+
②
+
C
+
C
+
A
+
A
A+
④
③
+
+
B
A
B+
+
C
+C
+
C
+
⑥
B
+
A
⑤
A+
+C
+
5ème
Exercices CH 4
B
Page 2
E XERCICE 2
+
+
F
A
+
B
+
+
C
+
+
+
H
+
K
G
P
L
N+
+
U
+
+
+
+
M
Y
V
T
+
+
Z
R
X+
5ème
Exercices CH 4
Page 3
C OMPÉTENCE G10 : CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES (2)
E XERCICE 1
Après avoir dessiné une petite figure à main levée (indiquant les mesures d’angles et longueurs de côtés
connues), construire aux instruments les triangles suivants en vraie grandeur (L’unité est le cm) :
① Construire le triangle ABC rectangle
② Construire le triangle FGH rectangle
en A tel que AB=5 et AC=9.
 = 65°.
en H tel que GH=5 et FGH
③ Construire le triangle REZ isocèle en
④ Construire le triangle MQU isocèle en
d = 100°.
E tel que RE=8 et ZER
ƒ = 65°.
U tel que MQ=8 et UQM
E XERCICE 2
Après avoir dessiné une petite figure à main levée (indiquant les mesures d’angles et longueurs de côtés
connues), construire aux instruments les triangles suivants en vraie grandeur (L’unité est le cm) :
① Construire le triangle ABC
② Construire le triangle ETV
③ Construire le triangle FRH
=
tel que AB=8, AC=6 et ABC
45°.
d = 55°et
tel que EV=7, TEV
d = 80°.
ETV
rectangle en R tel que RH=7
 = 50°.
et FH=9,5 et ULK
④ Construire le triangle XOK
⑤ Construire le triangle VJY
⑥
rectangle en X tel que XK=5
 = 32°.
et XOK
isocèle en Y tel que VY=9 et
d = 70°.
VJY
5ème
Exercices CH 4
Construire le triangle
LNU isocèle en U tel que
 = 50°.
LN=5 et LUN
Page 1
Corrigé des exercices
E XERCICE 1
5ème
Exercices CH 4
Page 2
C OMPÉTENCE G12 : CONSTRUCTION DE LA MÉDIATRICE D ’ UN SEGMENT
E XERCICE 1 Tracer la médiatrice du segment [AB] à l’aide de la règle graduée et de l’équerre :
Ab
A
b
b
B
B
b
b
B
b
A
E XERCICE 2 Tracer la médiatrice du segment [AB] à l’aide de la règle non graduée et du compas :
Ab
A
b
b
B
B
b
b
B
b
A
E XERCICE 3
b
A
Déterminer l’emplacement de
tous les points de cette courbe qui
sont à égale distance de A et de B :
B
b
5ème
Exercices CH 4
Page 1
C OMPÉTENCE G13 : CONSTRUCTION DU CERCLE CIRCONSCRIT À UN TRIANGLE
E XERCICE 1
Dans chaque cas, tracer le cercle circonscrit au triangle donné :
A
bE
b
b
G
b
B
b
Hb
F
C
K
b
bI
bJ
b
L
E XERCICE 2
5ème
bM
Comment faire pour retrouver la position exacte du centre de ce cercle ?
Exercices CH 4
Page 1
C OMPÉTENCE G14 : DROITES REMARQUABLES D ’ UN TRIANGLE
E XERCICE 1
Dans chaque cas, indiquer si la droite tracée est une médiatrice, une hauteur ou une
médiane du triangle :
B
B
B
(d)
B
(d)
(d)
(d)
C
A
C
C
A
La droite (d) est la
........................
........................
A
C
B
La droite (d) est la
........................
........................
B
A
A
A
La droite (d) est la
........................
........................
(d)
A
La droite (d) est la
........................
........................
A
(d)
(d)
(d)
C
B
C
C
La droite (d) est la
........................
........................
La droite (d) est la
........................
........................
La droite (d) est la
........................
........................
C
B
La droite (d) est la
........................
........................
E XERCICE 2
A
Observez attentivement la figure codée cicontre, réalisée à main levée.
Ci-dessous, écrivez le maximum de phrases décrivant cette figure en utilisant les mots médiatrice, médiane, hauteur.
K
I
B
H
C
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
5ème
Exercices CH 4
Page 1
E XERCICE 3
Tracé de hauteurs
B
B
A
B
C
A
C
A
Tracer en rouge la hauteur
issue de A
A
C
Tracer en rouge la hauteur
issue de C
A
B
Tracer en rouge la hauteur
issue de B
A
C
B
C
Tracer en rouge la hauteur
issue de C
E XERCICE 4
C
B
Tracer en rouge la hauteur
issue de B
Tracer en rouge la hauteur
issue de A
Tracé de médianes
B
A
A
B
C
C
A
C
Tracer en rouge la médiane
issue de A
Tracer en rouge la médiane
issue de C
B
Tracer en rouge la médiane
issue de B
E XERCICE 5
Sur la figure ci-dessous, tracez en rouge les trois
hauteurs du triangle. Que constatez-vous ?
Sur la figure ci-dessous, tracez en vert les trois
médianes du triangle. Que constatez-vous ?
B
B
A
A
C
5ème
C
Exercices CH 4
Page 2
C HAPITRE V
F RACTIONS
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
T1
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T2
Résoudre un problème et rédiger sa solution
N11
Reconnaître si un nombre entier est un multiple ou un diviseur d’un
autre nombre (∗ )
N12
Utiliser des écritures fractionnaires différentes d’un même nombre
N13
Comparer des nombres en écriture fractionnaire ayant le même dénominateur, ou dont le dénominateur de l’un est multiple du dénominateur de l’autre
N14
Additionner et soustraire des nombres en écriture fractionnaire ayant
le même dénominateur (∗ ), ou dont le dénominateur de l’un est multiple du dénominateur de l’autre
N15
Multiplier des nombres en écriture decimale ou fractionnaire
N16
Effectuer à la main des calculs enchaînés avec des fractions
N17
Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs avec des fractions
N18
Utiliser l’écriture fractionnaire comme expression d’une proportion
Eval.1 Eval.2 Eval.3
Taux de réussite :
............ %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗
: cette compétence fait partie du socle commun.
Légende du tableau de compétences :
5ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 5
Page 20
Ecriture fractionnaire d’un quotient
Soient a et b deux nombres, b étant différent de 0.
Le quotient de a par b peut s’écrire sous forme fractionnaire : a ÷ b = ab , et on a b × ba = a.
Si les deux nombres a et b sont entiers, le quotient
a
b
est appelé "fraction", a est appelé numérateur de
cette fraction, alors que b est appelé dénominateur de cette fraction.
Par exemple,
• l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 5 est 85 ; de plus, ce quotient est exact, et vaut 1,6.
• l’écriture fractionnaire du quotient de 8 par 3 est 83 ; mais ce quotient ne peut pas s’écrire sous la forme
d’un nombre décimal (la division "ne s’arrête pas") : on ne peut en donner qu’une valeur décimale
approchée (par exemple, son arrondi au centième est 2,67). Comme tous les autres nombres, on peut
placer le nombre
8
3
sur une droite graduée :
0
1
2
3
8
3
Compétence N11 : Multiples et diviseurs
Définitions : multiple, diviseur, divisible
Soient a et b deux nombres entiers positifs.
Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro,
on dit que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a, ou encore que a est divisible par b.
Exemples :
• 15 est un multiple de 3, car 15 = 3 × 5
Autrement dit, 3 est un diviseur de 15, ou encore 15 est divisible par 3.
• 17 n’est pas un multiple de 3, car 17 = 3 × 5 + 2
Critères de divisibilité
Pour savoir si un nombre donné est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10, on utilise les critères suivants :
• Un nombre sera divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8
• Un nombre sera divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
• Un nombre sera divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4
• Un nombre sera divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
• Un nombre sera divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
Exemple : Le nombre 1380
– est divisible par 2, car il se termine par le chiffre 2.
– est divisible par 3, car 1 + 3 + 8 + 0 = 12 qui est un multiple de 3.
– est divisible par 4, car ses deux derniers chiffres forment le nombre 80, qui est un multiple de 4
– est divisible par 5, car il se termine par le chiffre 0.
– n’est pas divisible par 9, car 1 + 3 + 8 + 0 = 12 qui n’est pas un multiple de 9.
5ème
Cours CH 5
Page 21
Compétence N12 : Différentes écritures fractionnaires pour un même
nombre
Propriété
On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0) :
a a ×k
a a ÷k
=
et
=
b b ×k
b b ÷k
Ï Application n°1 : transformer l’écriture d’une fraction
•
6
3 3×2
=
=
5 5 × 2 10
•
4 4 × 5 20
=
=
9 9 × 5 45
•
36
36 ÷ 4
9
=
=
100 100 × 4 25
•
12 12 ÷ 3 4
=
=
21 21 ÷ 3 7
Ï Application n°2 : simplifier une fraction
Définition : simplifier une fraction
Simplifier une fraction signifie trouver une fraction qui lui est égale, mais avec un numérateur et un
dénominateur plus petits.
Par exemple :
•
8
2 × 4 2
=
=
12 3 × 4 3
•
20 4 × 5 4
=
=
35 5 × 7 7
•
24 12 × 2 12
=
=
30 2 × 15 15
•
135 45 × 3 45
=
=
75
25 × 3 25
Définition : fraction irréductible
Lorsque l’on ne peut plus simplifier la fraction, on dit que celle-ci est irréductible
Par exemple : ci-dessus, les fractions
2
3
et
4
7
sont irréductibles, alors que les fractions
12
15
et
45
25
peuvent
encore être simplifiées (par 3 pour la première, par 5 pour la deuxième).
Ï Application n°3 : division par un nombre décimal
Pour diviser par un nombre décimal,
– on commence par rendre le diviseur entier en le multipliant par 10, 100, 1000,. . .
– on multiplie alors le dividende par le même nombre (10, 100, 1000 . . . )
– on effectue la division obtenue en la posant.
Par exemple, si on veut calculer le quotient de 6,24 par 4,8 :
6, 24 6, 24 × 10 62, 4
=
=
= 1, 3
4, 8
3, 2 × 10
32
Opération posée :
−
−
5ème
Cours CH 5
6,2,4
48
144
144
0
4 ,8
1,3
Page 22
Compétence N13 : Comparer des fractions
Définition
Comparer deux nombres signifie dire lequel est le plus grand, lequel est le plus petit, ou s’ils sont égaux.
On utilise les symboles < ("est inférieur à", "est plus petit que"), > ("est supérieur à", "est plus grand
que") et = ("est égal à")
Ï Comparer deux fractions ayant le même dénominateur
Règle de comparaison n°1
Si deux nombres en écriture fractionnaire ont le même dénominateur,
alors ils sont rangés dans le même ordre que leurs numérateurs.
Exemples :
•
5 8
< car 5 < 8
7 7
•
13
8
>
car 13 > 8
11 11
Ï Comparer deux fractions ayant le même numérateur
Règle de comparaison n°2
Si deux nombres en écriture fractionnaires ont le même numérateur,
alors ils sont rangés dans l’ordre inverse leurs dénominateurs.
Exemples :
•
5 5
> car 7 < 9
7 9
•
13 13
>
car 11 < 15
11 15
Ï Comparer deux fractions, le dénominateur de l’une étant un multiple du dénominateur de l’autre
On commence par réduire les deux fractions au même dénominateur, avant d’appliquer la règle n°1.
5
9
5 5 × 2 10
10
9
5
9
Exemple : • Comparons et
; on a =
=
; or
>
donc >
7
14
7 7 × 2 14
14 14
7 14
Ï Comparer deux fractions en les comparant à un même nombre entier
Règle de comparaison n°3
• Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est inférieur à son dénominateur,
alors ce nombre est inférieur à 1.
• Si le numérateur d’un nombre en écriture fractionnaire est supérieur à son dénominateur,
alors ce nombre est supérieur à 1.
Exemple :
• Comparons
9
5
5
et ; on a < 1 car 5 < 7 ;
7
8
7
de plus
9
> 1 car 9 > 8
8
donc
5 9
<
7 8
Ï Comparer deux fractions dans les autres cas
Bien que réduire au même dénominateur soit toujours possible, il est parfois utile de comparer des
nombres en écriture fractionnaire en effectuant les quotients, et en comparant leurs valeurs (exactes ou
23
5
23
5
; on a = 1, 25 ; de plus
≈ 1, 21 Comme
approchées). Par Exemple : • Comparons et
4
19
4
19
5 23
1, 25 > 1, 21, on en conclut que >
4 19
5ème
Cours CH 5
Page 23
Compétence N14 : Ajouter, soustraire des nombres en écriture fractionnaire
Losque les dénominateurs sont les mêmes...
Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, il suffit de conserver le
dénominateur commun, et d’additionner (ou soustraire) les numérateurs entre eux.
a c a +c
a c a −c
Si a, b et c sont des nombres (b non nul), on a
+ =
et
− =
.
b b
b
b b
b
Exemples :
•
3 21 3 + 21 24
+
=
=
=6
4 4
4
4
•
4 13 4 + 13 16
+
=
=
3 3
3
3
•
25 4
25 − 4 21 3
−
=
=
=
14 14
14
14 2
Losque les dénominateurs sont différents...
Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence par
les réduire au même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.
Exemples :
•
21 3 21 3 × 2 21 6 21 + 6 27
+ =
+
=
+ =
=
8 4
8 4×2
8 8
8
8
• 3−
7
3 7
3 × 12 7
36 7
36 − 7 29
= −
=
−
=
−
=
=
12 1 12 1 × 12 12 12 12
12
12
Compétence N15 : Multiplier des nombres en écriture fractionnaire
Règle de multiplication de deux fractions
Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux, puis on
multiplie les dénominateurs entre eux.
Si a, b, c et d sont quatre nombres (avec b et d différents de 0) :
a ×c
a c
× =
b d b ×d
Exemples :
• 5×
•
4 5 4 5 × 4 20
= × =
=
9 1 9 1×9
9
7 4 7 × 4 28
× =
=
5 3 5 × 3 15
Il est parfois préférable de simplifier avant d’effectuer les produits :
•
24 14 24 × 14 (8 × 3) × (7 × 2) (8 × 3) × (7 × 2) 3
×
=
=
=
=
35 16 35 × 16 (5 × 7) × (8 × 2) (5 × 7) × (8 × 2) 5
5ème
Cours CH 5
Page 24
A CTIVITÉ : COMPARER DES FRACTIONS
A CTIVITÉ 1
Dans chaque cas, placer les points A et B d’abscisses données sur la droite graduée, puis compléter l’inégalité en utilisant l’un des symboles < , = ou >.
0
1
µ ¶ µ ¶
4
7
1. A
,B
5
5
0
1
µ ¶ µ ¶
10
8
2. A
,B
3
3
0
1
µ ¶ µ ¶
7
15
,B
3. A
4
4
0
1
µ ¶ µ ¶
11
17
4. A
,B
6
6
4
7
......
5
5
8
10
......
3
3
15
7
......
4
4
17
11
......
6
6
Règle : Lorsque les deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus
grand numérateur.
5.
6.
7.
8.
µ ¶ µ ¶
11
4
A
,B
3
6
µ ¶ µ ¶
5
15
A
,B
2
4
µ ¶ µ ¶
7
3
,B
A
4
8
µ ¶ µ ¶
13
17
A
,B
5
10
0
1
0
1
0
1
0
1
4
11
......
3
6
15
5
......
4
2
7
3
......
4
8
17
13
......
10
5
Règle : Lorsque les deux fractions n’ont pas le même dénominateur, il faut commencer par les
écrire avec le même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.
A CTIVITÉ 2
Dans chaque cas, associez à chacun des points repérés sur la droite graduée son nom et son abscisse, et
complétez l’inégalité en utilisant l’un des symboles < , = ou >.
0
1
µ ¶ µ ¶
4
9
1. A
,B
3
11
0
1
µ ¶ µ ¶
11
17
2. A
,B
13
15
4
9
......
3
11
11
17
......
13
15
Règle : Lorsque les deux fractions n’ont pas le même dénominateur, il peut être parfois judicieux
de comparer chacune de ces fractions avec un nombre donné (ici, les comparer à 1, par exemple)
5ème
Activité CH 5
Page 1
A CTIVITÉ : ÉGALITÉ DE FRACTIONS
1. Ces quatre figures représentent un même rectangle, divisé de différentes façons en parts égales.
Colorie les trois quarts de chacun de ces rectangles :
Pour les figures 2, 3 et 4 ; écris une autre fraction qui représente la partie du rectangle que tu as coloriée et complète le tableau :
Figure 1
3
4
Figure 2
Figure 3
Figure 4
Que peut-on dire de ces fractions ?
2. Colorie les deux cinquièmes de chacun de ces rectangles :
Complète les égalités suivantes :
...
2 ... ...
=
=
=
.
5 10 25 100
3. Colorie le tiers de chacun de ces disques :
Complète les égalités suivantes :
1 ... ... ...
.
=
=
=
3
6
12 15
4. Ces quatre figures représentent un même carré, divisé de différentes façons en parts égales. Indique,
dans chaque cas, quelle fraction du carré a été coloriée (il y a plusieurs réponses possibles...) :
5ème
Activite CH 5
Page 1
C OMPÉTENCE N11 : MULTIPLES ET DIVISEURS
Rappel n°1 : Soient a et b deux nombres entiers positifs.
Lorsque le reste de la division de a par b est égal à zéro,
on dit que a est un multiple de b, ou que b est un diviseur de a, ou encore que a est divisible par b.
Par exemple :
• 15 est un multiple de 3, car 15 = 3 × 5
Autrement dit, 3 est un diviseur de 15, ou encore 15 est divisible par 3.
• 17 n’est pas un multiple de 3, car 17 = 3 × 5 + 2
E XERCICE 1
1. 12 est-il un diviseur de 6 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. 124 est-il divisible par 4 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. 38 est-il un multiple de 5 ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Citer cinq multiples du nombre 12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Citer cinq diviseurs du nombre 12.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Déterminer tous les diviseurs du nombre 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Déterminer un nombre qui soit à la fois multiple de 2, de 5 et de 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rappel n°2 : Critères de divisibilité
• Un nombre sera divisible par 2 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Un nombre sera divisible par 3 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................................................
• Un nombre sera divisible par 4 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................................................
• Un nombre sera divisible par 5 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• Un nombre sera divisible par 9 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...........................................................................................................
• Un nombre sera divisible par 10 si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 2
Parmi les nombres suivants :
1 125
6 354
préciser :
8 940
917
1 308
51 225
111 111
– lesquels sont divisibles par 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– lesquels sont divisibles par 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– lesquels sont divisibles par 4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– lesquels sont divisibles par 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– lesquels sont divisibles par 9 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Montrer que le nombre qui reste est divisible par 7 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................................................
5ème
Exercices CH 5
Page 1
C OMPÉTENCE N12 : UTILISER DES ÉCRITURES FRACTIONNAIRES DIFFÉRENTES D ’ UN
MÊME NOMBRE
Rappel : On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur
et son dénominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres
relatifs (avec b et k différents de 0) :
a a ×k
=
b b ×k
a a ÷k
=
b b ÷k
et
E XERCICE 1
Compléter les égalités suivantes :
3=
...... ......
=
1
5
7=
28
......
=
1
......
5=
15
......
=
8
......
2, 14 =
...... ......
=
100
50
35
......
5
=
=
8 ......
24
4
......
20
=
=
15 . . . . . .
18
35
......
7
=
=
3 ......
18
5
......
25
=
=
55 . . . . . .
88
2 ......
−8
=
=
9
27
......
14
2
......
=
=
21 . . . . . . −15
12
2
......
=
=
30 . . . . . .
45
36
6
......
=
=
24 . . . . . .
2
E XERCICE 2
2
9
3
2. Trouve une fraction égale à
5
1
3. Trouve une fraction égale à
6
3
4. Trouve une fraction égale à
8
1. Trouve une fraction égale à
dont le numérateur est égal à 8 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dont le dénominateur est égal à 45 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dont le numérateur est égal à 7 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dont le dénominateur est égal à 24 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 3
Entourer les fractions égales dans la liste suivante :
5
3
40
12
30
18
15
9
10
8
25
15
E XERCICE 4
Simplifier les fractions suivantes :
18 2 × 9 9
=
=
14 2 × 7 7
25
=. . . . . . . . . . . . . .
15
35
=. . . . . . . . . . . . . .
28
18
=. . . . . . . . . . . . . .
27
30
=. . . . . . . . . . . . . .
54
27
=. . . . . . . . . . . . . .
63
42
=. . . . . . . . . . . . . .
24
9
=. . . . . . . . . . . . . .
36
3
=. . . . . . . . . . . . . .
12
45
=. . . . . . . . . . . . . .
15
49
=. . . . . . . . . . . . . .
14
36
=. . . . . . . . . . . . . .
28
120
= ............
480
63
= ............
175
340
= ............
102
5ème
Exercices CH 5
Page 1
C OMPÉTENCE N12 : UTILISER DES ÉCRITURES FRACTIONNAIRES DIFFÉRENTES D ’ UN
MÊME NOMBRE (2)
Division par un nombre décimal : Pour diviser par un nombre décimal,
– on commence par rendre le diviseur entier en le multipliant par 10, 100, 1000,. . .
– on multiplie alors le dividende par le même nombre (10, 100, 1000 . . . )
– on effectue la division obtenue en la posant.
Par exemple, on veut calculer le quotient de 25,3 par 2,4 :
8, 52 8, 52×10 85, 2
=
=
2, 4
2, 4×10
24
8
7
1
−
1
−
On pose la division : (voir ci-contre)
On obtient donc
8, 52 85, 2
=
= 3, 55
2, 4
24
5, 2
2
3 2
2 0
1 2 0
−
1 2 0
0
2 4
3 ,5 5
E XERCICE 1
Calculer les quotients suivants sans calculatrice, en reprenant la méthode donnée dans l’encadré ci-dessus
14, 4
35
0, 54
5, 6
0, 42 ÷ 0, 6
5 ÷ 0, 125
0, 7
0, 12
0, 25
0, 036
E XERCICE 2
Compléter comme dans l’exemple donné ci-dessous, où a représente un nombre quelconque :
•
a
a × 10
a × 10
=
=
= a × 10
0, 1 0, 1 × 10
1
Diviser un nombre par 0,1 revient à multiplier ce nombre par 10.
•
a ×......
a ×......
a
=
=
= a ×......
0, 01 0, 01 × . . .. . .
......
Diviser un nombre par 0,01 revient à multiplier ce nombre par . . . . . . .
•
a
........................ ..................
=
=
= ............
0, 001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
......
Diviser un nombre par . . . . . . revient à multiplier ce nombre par . . . . . . .
Application : Calculer mentalement les quotients suivants :
3, 1
54
= ........................
= ........................
0, 1
0, 01
0, 72
= ........................
0, 001
E XERCICE 3 Résoudre les problèmes suivants (en faisant bien attention aux unités !) :
1. Combien de bouteilles de 0,75L peut-on remplir avec un bidon de 6L d’eau ?
2. J’achète 850 g de viande de boeuf pour 13,77 ¤. Quel est le prix au kg de cette viande ?
3. Une feuille de papier fait environ 0,1 mm d’épaisseur. Combien y a-t-il de feuilles de papier dans une
pile de 3,2 cm de haut ?
5ème
Exercices CH 5
Page 1
C OMPÉTENCE N13 : COMPARER DES FRACTIONS
E XERCICE 1 Dans chacun des cas suivants, comparer les deux nombres donnés :
Quand les deux fractions ont le même dénominateur
7
9
et
5
5
9
11
et
5
5
8
5
et
3
3
22
17
et
9
9
7 9
<
5 5
...........................
...........................
...........................
Quand les deux fractions ont le même numérateur
7
7
et
5
3
1
1
et
5
9
8
8
et
3
11
10
10
et
7
9
7 7
<
5 3
...........................
...........................
...........................
Quand le dénominateur de l’une des fractions est un multiple du dénominateur de l’autre
Or
13
7
et
4
8
4
2
et
5
10
16
3
et
7
35
37
et 4
9
7 7 × 2 14
=
=
4 4×2
8
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
14 13
7 13
>
donc >
8
8
4
8
13
3
33
12
et
5
15
9
1
et
2
16
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
5 et
2
14
et
49
7
En comparant les deux fractions au nombre 1
13
7
et
4
15
Or
7
13
> 1 et
<1
4
15
Donc
7 13
>
4 15
9
7
et
8
7
6
5
et
3
7
19
17
et
19
18
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
En calculant les quotients (en valeur exacte ou approchée)
5
8
et
5
3
Or
5
8
= 1, 6 et ≈ 1, 67
5
3
Donc
5ème
8 5
<
5 3
10
7
et
4
7
5
3
et
8
9
21
17
et
4
5
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
...........................
Exercices CH 5
Page 1
E XERCICE 2
Dans chacun des cas suivants, ranger les nombres dans l’ordre croissant :
a.
2 11 5 16 10
;
; ;
;
.................................................................................................
7 7 7 7 7
b.
7 13 6 7 9
;
; ;
; ...................................................................................................
5 10 5 10 5
c.
4 11 3 13 13
;
; ;
;
.................................................................................................
3 6 2 12 6
d.
16 15 17
15
;
;
; 1;
.................................................................................................
15 16 15
17
5ème
Exercices CH 5
Page 2
C OMPÉTENCE N14 : ADDITIONNER ET SOUSTRAIRE DES FRACTIONS
Rappel :
– Dans le cas où les fractions ont le même dénominateur :
a
b
+ bc =
a+c
b
et
a
b
− bc =
a−c
b
– Dans le cas où les fractions ont le même dénominateur : On commence par réduire les deux fractions au même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.
Consigne : Effectuer les additions et soustractions suivantes, et donner le résultat sous la forme d’une
fraction simplifiée :
E XERCICE 1 : dans le cas où les fractions ont le même dénominateur
2 6 ... +... ...
+ =
=
5 5
5
5
5 2
− = .........................
9 9
12 2
+ = ........................
7 7
11 5
− = ........................
6 6
15 8
−
=.......................
13 13
7 22
+
= ........................
5 5
10 4
− = ........................
9 9
35 13
+
=.......................
12 12
1 5
+ = .........................
9 9
17 6
−
=.......................
11 11
9 25
+
=.......................
17 17
7 19
+
=.......................
10 10
E XERCICE 2 : dans le cas où le dénominateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre
2 5
2×... 5
... 5
...
+
=
+
=
+
=
3 12 3 × . . . 12 . . . 12 . . .
19 3
− =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 2
3 5
+
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 21
11 2
− =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 3
15 5
− =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 4
7 11
+
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 10
23
3
−
= ........................................
100 20
10 11
−
= .........................................
13 26
23 5
−
= .........................................
44 11
2+
1−
7
= ............................................
4
5
= ............................................
3
22
−3 = ...........................................
7
En commençant par simplifier l’une des fractions :
27 5 3 × 9 5 . . . 5 . . .
+ =
+ =
+ =
12 4 3 × 4 4 . . . 4 . . .
56 2
− =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24 3
3 12
+
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 21
11 22
−
= .........................................
8 16
5ème
Exercices CH 5
Page 1
C OMPÉTENCE N15 : PRENDRE UNE FRACTION D ’ UNE QUANTITÉ
Prendre une fraction d’un nombre, cela revient à multiplier cette fraction par ce nombre.
Par exemple :
– Prendre les trois quarts de 16, c’est multiplier
3
4
par 16 :
– Prendre les deux tiers de trois cinquièmes, c’est multiplier
E XERCICE :
3
4
2
3
× 16 = 43 × 16
= 48
= 12
1
4
par
3
5
:
2
3
× 35 = 2×3 = 25
3×5
Traduis puis calcule les expressions suivantes, en donnant le résultat sous la forme d’un
nombre fractionnaire, décimal ou entier si possible :
– le quart de 28 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les deux tiers de 24 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les sept cinquièmes de 45 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les trois dixièmes de 12 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les cinq huitièmes de 56 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les sept sixièmes de 11,4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– la moitié de deux tiers :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les sept dixièmes de quatre septièmes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les deux neuvièmes de trois cinquièmes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les onze centièmes de dix septièmes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les deux tiers des trois quarts de 20 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les cinq quarts de la moitié de 12 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
– les deux cinquièmes des trois quarts de 100 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5ème
Exercices CH 5
Page 1
C OMPÉTENCES N16 ET N17 : CALCULS ENCHAÎNÉS AVEC FRACTIONS ,
À LA MAIN OU À LA CALCULATRICE
E XERCICE
1. Effectuer les calculs suivants à la main, en prenant soin de respecter les règles de priorité.
2. Vérifier les résultats à l’aide de la calculatrice, en ne faisant aucun calcul intermédiaire.
7 9 3
+ − =...............................................................................................
4 4 8
¶
µ
19
5 1
= ..........................................................................................
−
+
11
22 2
µ
¶ µ
¶
3 3
21 9
−
=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−
+
5 10
20 2
A=
7 9
+ ×3
4 4
B=
5
5 9
×
−
3 11 11
C=
9 5
3
×7+
×
2
10 3
A =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¶
µ
3 5
5
D= × +
4
2 8
µ
¶
3
4 7
+2
E= × −
5 2
10
D =................................................
E = ................................................
D =................................................
E = ................................................
D =................................................
E = ................................................
D =................................................
E = ................................................
D =................................................
E = ................................................
5ème
Exercices CH 5
Page 1
C OMPÉTENCES N18 : UTILISER L’ ÉCRITURE FRACTIONNAIRE COMME EXPRESSION
D ’ UNE PROPORTION
E XERCICE 1 Le jeu de cartes
On considère un jeu de 32 cartes. Dans chaque cas, on répondra en donnant la fraction la plus simple
possible.
1. Dans ce jeu, quelle est la proportion de piques ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Quelle est la proportion de valets ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Quelle est la proportion de figures ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E XERCICE 2 Le Scrabble
Le tableau ci-dessous donne le nombre de jetons correspondant à chacune des lettres de l’alphabet dans
un jeu de Scrabble. Dans chaque cas, on répondra en donnant la fraction la plus simple possible.
A
9
N
6
B
2
O
6
C
2
P
2
D
3
Q
1
E
15
R
6
F
2
S
6
G
2
T
6
H
2
U
6
I
8
V
2
J
1
W
1
K
1
X
1
Y
1
L
5
Z
1
M
3
Blancs
2
1. Combien y a-t-il de jetons dans ce jeu ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Quelle est la proportion de N ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Quelle est la proportion de E ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Quelle est la proportion de A ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Quelle est la proportion de voyelles ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5ème
Exercices CH 5
Page 1
C HAPITRE VI
PARALLÉLOGRAMMES
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
T1
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
T3
Réaliser une figure géométrique à partir d’un programme de
construction
G15
Reconnaître un parallélogramme grâce à sa définition
G16
Construire un parallélogramme
G17
Utiliser les propriétés d’un parallélogramme relatives à ses côtés, ses
diagonales ou ses angles
G18
Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
G19
Reconnaître un parallélogramme particulier (rectangle, losange,
carré) grâce à sa définition
G20
Construire un parallélogramme particulier
G21
Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers
G22
Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier
Eval.1 Eval.2 Eval.3
Taux de réussite :
............ %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗
: cette compétence fait partie du socle commun.
Légende du tableau de compétences :
5ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 6
Page 20
Compétence G15 : Reconnaître un parallélogramme
C
Définition : parallélogramme
D
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés
parallèles deux à deux
Ci-contre, le quadrilatère ABCD est un parallélogramme ; les côtés
(AB) et (CD) sont parallèles, tout comme les côtés (AD) et (BC).
B
A
Centre de symétrie d’un parallélogramme
Propriété
Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d’intersection de ses diagonales
C
On dit que ABCD est un parallélogramme de centre O.
Par la symétrie de centre O :
D
• C est le symétrique de A
O
• D est le symétrique de B
• [CD] est le symétrique de [AB]
• [AD] est le symétrique de [BC]
B
A
Compétence G17 : Utiliser les propriétés d’un parallélogramme
a) propriété relative à la longueur de ses côtés
C
Propriété 1
D
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses côtés opposés sont de la même longueur.
O
Les segments [CD] et [AB] sont symétriques par rapport au point O ;
or le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
Donc [CD] et [AB] ont même longueur, tout comme [AD] et [BC].
B
A
b) propriété relative aux diagonales
Propriété 2
C
D
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
O
Les points A et B sont les symétriques respectifs de C et D par rapport
au point O ; or dire que deux points sont symétriques par rapport au
point O revient à dire que O est le milieu du segment formé par ces
deux points. Donc O est le milieu de [AC], et aussi celui de [BD].
5ème
Cours CH 6
B
A
Page 21
c) propriétés relative aux angles
C
Propriété 3
D
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses angles opposés ont la même mesure.
O
 par rapport au point O est l’angle DCB
;
Le symétrique de l’angle BAD
ils sont donc de même mesure
B
A
C
Propriété 4
D
Si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses angles consécutifs sont supplémentaires (c’est-à-dire que la
Ab + Bb = 180◦
somme de leurs mesures vaut 180°).
Preuve : voir par ailleurs (chapitre "angle et parallélisme")
B
A
Compétence G18 : Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
Pour cela, on utilise les réciproques des propriétés énoncées ci-dessus :
a) en utilisant la longueur de ses côtés
C
D
Propriété 5
Si un quadrilatère (non croisé) a ses côtés opposés de la même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme
B
A
ou une variante :
C
Propriété 6
D
Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de
même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme
B
A
b) en utilisant les diagonales
C
D
Propriété 7
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu,
O
alors ce quadrilatère est un parallélogramme
B
A
5ème
Cours CH 6
Page 22
Compétence G19 : Reconnaître un parallélogramme particulier grâce
à sa définition
a) Le rectangle
Définition : rectangle
D
C
A
B
Un rectangle est un quadrilatère qui a tous ses angles
droits
Ses côtés opposés sont donc parallèles deux à deux : c’est
un parallélogramme particulier.
b) Le losange
Définition : losange
D
Un losange est un quadrilatère qui a tous ses côtés de la
même longueur
A
C
Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux :
c’est donc un parallélogramme particulier.
B
c) Le carré
Définition : carré
C
D
Un carré est un quadrilatère qui a tous ses angles droits et
tous ses côtés de la même longueur
C’est à la fois un rectangle et un losange ; c’est donc un
parallélogramme particulier.
B
A
Compétence G21 : Utiliser les propriétés des parallélogrammes particuliers
Le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes particuliers ; ils en ont donc les propriétés :
– ils ont un centre de symétrie : le point d’intersection de leurs diagonales
– leurs côtés opposés sont de la même longueur deux à deux
– leurs diagonales se coupent en leur milieu.
a) Le rectangle
D
Propriété 8
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales
C
O
sont de la même longueur.
A
5ème
Cours CH 6
B
Page 23
b) Le losange
D
Propriété 9
Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales
sont perpendiculaires.
A
C
B
c) Le carré
D
C
Propriété 10
Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont
de la même longueur et perpendiculaires.
A
B
Compétence G22 : Déterminer la nature d’un parallélogramme particulier (rectangle, losange, carré)
a) Le rectangle
Propriété 11
Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle.
Propriété 12
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
b) Le losange
Propriété 13
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un losange.
Propriété 14
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c’est un losange.
c) Le carré
Propriété 15
Si un parallélogramme a un angle droit et deux côtés consécutifs de la même longueur, alors c’est un
carré.
Propriété 16
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur, alors c’est un carré.
5ème
Cours CH 6
Page 24
Pour résumer. . .
5ème
Cours CH 6
Page 25
C OMPÉTENCE G15 : RECONNAÎTRE UN PARALLÉLOGRAMME GRÂCE À SA DÉFINITION
Une définition du parallélogramme :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Exercice 1 Parmi les quadrilatères suivants, quels sont ceux qui répondent à cette définition, et que
l’on peut donc appeler "parallélogrammes" ?
Exercice 2
Les droites ayant le même style étant parallèles entre elles, nommer tous les parallélo-
grammes
D
A
I
B
K
J
E
C
5ème
Exercices CH 6
Page 1
C OMPÉTENCE G16 : C ONSTRUIRE UN PARALLÉLOGRAMME EN UTILISANT SA DÉFINITION
Méthode Pour construire un parallélogramme dont on connaît trois sommets :
1. Trace en rouge le segment[AB], et en bleu le segment [BC].
2. Construire la droite (d), parallèle à la droite (AB)
et passant par le point C ;
3. Construire la droite (d’), parallèle à la droite (BC)
C
et passant par le point A ;
4. On appelle D le point d’intersection des droites
A
(d) et (d’) ; repasser en rouge le côté [CD], et en
bleu le côté [AD]. Ses côtés opposés étant paral-
B
lèles deux à deux, ce quadrilatère est un parallélogramme, nommé ABCD.
Exercice 1 dans chaque cas, à l’aide de la règle et de l’équerre, place le point D tel que ABCD soit un
parallélogramme et trace ce parallélogramme :
C
A
B
B
C
A
A
C
B
C
B
5ème
A
Exercices CH 6
Page 1
C OMPÉTENCE G16 : C ONSTRUIRE UN PARALLÉLOGRAMME EN UTILISANT SES PROPRIÉTÉS
Méthode Pour construire un parallélogramme dont on connaît trois sommets (compas + règle) :
1. Trace les segment[AB] et [BC]. Repérer dans quelle
zone se situera (approximativement) le point D.
2. Prendre au compas l’écartement entre A et B
3. Mettre la pointe du compas sur C, et tracer un arc
C
de cercle dans la zone où doit se trouver le point D.
4. Prendre au compas l’écartement entre B et C
5. Mettre la pointe du compas sur A, et tracer un arc
A
de cercle dans la zone où doit se trouver le point D.
6. Appeler D le point d’intersection des deux arcs de
cercle ainsi tracés.
B
Exercice 1 dans chaque cas, à l’aide de la règle et du compas, place le point D tel que ABCD soit un
parallélogramme et trace ce parallélogramme :
C
A
B
B
C
A
A
C
B
C
B
5ème
A
Exercices CH 6
Page 1
Exercice 2
dans chaque cas, à l’aide de la règle et du compas, trace le parallélogramme ABCD de
centre O :
B
O
C
A
O
B
Exercice 3 Sur quadrillage
1. Construire le parallélogramme ABCD
2. Construire le parallélogramme ABCD
3. Construire le parallélogramme ABCD de
centre O
4. Construire le parallélogramme ABCD de
centre O
B
A
A
C
C
A
O
O
B
C
B
B
Exercice 4 Construction de parallélogrammes divers
Sur votre cahier, commencez par faire une rapide figure à main levée en reportant les mesures données
dans l’énoncé, puis tracez en vraie grandeur :
 = 120°
1. un parallélogramme ABCD tel que AB=5 cm, AD=4 cm et BAD
 = 45°
2. un parallélogramme ABCD tel que AB=6 cm, AD=3.5 cm et BCD
 = 34°
3. un parallélogramme ABCD tel que AB=5.5 cm, AC=8 cm et BAC
 = 75°
4. un parallélogramme ABCD tel que CD=4 cm, AC=8.5 cm et BAC
5. un parallélogramme ABCD de centre O tel que AB=6 cm, AO=3.5 cm et BO=4.5 cm.
 = 50°
6. un parallélogramme ABCD de centre O tel que AO=4.5 cm, DO=5.5 cm et AOD
5ème
Exercices CH 6
Page 2
C OMPÉTENCE G17 : U TILISER LES PROPRIÉTÉS DES PARALLÉLOGRAMMES
Rappels de cours :
– Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux.
– Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
• il a un centre de symétrie : l’intersection de ses diagonales
• ses diagonales se coupent en leur milieu
• ses côtés opposés sont de la même longueur
• ses angles opposés ont la même mesure
Exercice 1
C
ABCD est un parallélogramme de centre O, tel que AB=5cm, BC=3cm,
 = 115°.
BO=1.3cm, AC=7.2cm et ABC
D
O
Reportez ces mesures sur la figure ci-contre ; puis, en justifiant votre
réponse :
B
A
1. donner la longueur CD : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
2. donner la longueur AD : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
3. donner la longueur OD : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
4. donner la longueur OA : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........................................................................................................
 : ......................................................................
5. donner la mesure de l’angle CDA
..........................................................................................................
Exercice 2
C
D
ABCD et BCEF sont deux parallélogrammes, comme
E
ci-dessous. Prouver que AD=EF.
B
A
F
Exercice 3
A
B
ABCD est un parallélogramme de centre O, et COBE
O
E
est un parallélogramme. Prouver que OA=BE.
D
5ème
Exercices CH 6
C
Page 1
C OMPÉTENCE G18 : D ÉMONTRER QU ’ UN QUADRILATÈRE EST UN PARALLÉLOGRAMME
Rappels de cours :
• Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles deux à deux

• Si un quadrilatère a ses diagonales qui se



coupent en leur milieu,



• Si un quadrilatère a ses côtés opposés de
alors ce quadrilatère est un parallélogramme
même longueur,





• Si un quadrilatère a deux côtés opposés paral-


lèles et de même longueur,
Exercice 1
C
D
ABCD et BCEF sont deux parallélogrammes, comme
ci-contre. Prouver que ADEF est un parallélogramme.
E
B
A
F
Exercice 2
A
Soit ABO un triangle quelconque ; Soient C et D les
symétriques respectifs de A et de B par rapport au
point O.
O
1. Compléter la figure ci-contre.
2. Démontrer que ABCD est un parallélogramme.
B
Exercice 3
Soit ABCD un parallélogramme. La perpendiculaire
à la diagonale [AC] passant par B coupe le côté [CD]
en un point E. De plus, la perpendiculaire à la diagonale [AC] passant par D coupe le côté [AB] en un
point F.
A
B
1. Compléter la figure ci-contre
2. Justifier que BFDE est un parallélogramme.
C
Exercice 4
C4
C3
A et B sont deux points du plan tels que AB=3 cm.
Le cercle C 1 a pour centre A et pour rayon 1,5 cm, le
cercle C 2 a pour centre B et pour rayon 1,5 cm. Enfin le cercle C 3 a pour centre A et pour rayon 2,5 cm,
et le cercle C 4 a pour centre B et pour rayon 2,5 cm.
Justifier que le quadrilatère ACBD est un parallélogramme
5ème
Exercices CH 6
C
A
B
C2
C1
D
Page 1
C OMPÉTENCE G19 : R ECONNAÎTRE UN PARALLÉLOGRAMME PARTICULIER
( RECTANGLE , LOSANGE , CARRÉ ) GRÂCE À SA DÉFINITION
• Une définition du rectangle : Un rectangle est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................................................
• Une définition du losange : Un losange est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................................................
• Une définition du carré : Un carré est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..............................................................................................................
Exercice 1
1. Expliquer pourquoi un rectangle est un parallélogramme particulier :
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
2. Expliquer pourquoi un losange est un parallélogramme particulier :
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................
3. Expliquer pourquoi un carré est un parallélogramme particulier :
..........................................................................................................
..........................................................................................................
Exercice 2 Compléter le tableau ci-dessous en cochant les bonnes cases. . .
H
Carré
Jb
Losange
b
Rectangle
G
I
b
Kb
Parallélogramme
b
ABCD
BFEC
D
b
b
C
E
b
CEGI
CIHJ
CJKD
A
5ème
b
b
B
b
F
Exercices CH 6
Page 1
C OMPÉTENCE G20 : C ONSTRUIRE UN PARALLÉLOGRAMME PARTICULIER
Exercice Tracer les quadrilatères suivants, après avoir fait un dessin à main levée sur lequel vous aurez
reporté les mesures connues
1. des rectangles. . .
a) Tracer un rectangle ABCD tel que AB=7,5 cm et BC=4 cm.
b) Tracer un rectangle RECT tel que RE=7 cm et RC=8.5 cm.
d = 130°
c) Tracer un rectangle MNOP de centre I tel que MO=8,4 cm et OIP
d = 42°
d) Tracer un rectangle IJKL de centre O tel que IL=3,4 cm et IOL
2. des losanges. . .
a) Tracer un losange ANGE tel que AN=7 cm et AG=11 cm.
 = 35°
b) Tracer un losange EFGH tel que EF=6 cm et HEF
d = 120°
c) Tracer un losange LOSA tel que LS=8 cm et LOS
d) Tracer un losange RMNT tel que RN=4,2 cm et MT=9 cm.
3. des carrés. . .
a) Tracer un carré PQRS tel que PQ=5,2 cm.
b) Tracer un carré PQRS tel que PR=7 cm.
5ème
Exercices CH 6
Page 1
C HAPITRE VII
N OMBRES RELATIFS
C OMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de données et fonctions)
Intitulé des compétences
T1
Eval.1 Eval.2 Eval.3
Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
N19
Se repérer sur un axe gradué, dans le plan
N20
Comparer deux nombres relatifs
N21
Additionner deux nombres relatifs
N22
Soustraire un nombre relatif à un autre
N23
Simplifier l’écriture d’une somme de nombres relatifs
Taux de réussite :
............ %
Note du chapitre :
. . . . . . . . . . . . /20
Moyenne de la classe :
. . . . . . . . . . . . /20
∗
: cette compétence fait partie du socle commun.
Légende du tableau de compétences :
5ème
Deux points verts :
Je sais très bien faire
Un point vert :
Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :
Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :
Je sais pas faire du tout
Cours CH 7
Page 25
Nombres relatifs
Définition
L’ensemble des nombres relatifs est composé de deux types de nombres :
• les nombres positifs
• les nombres négatifs
On peut écrire ces nombres avec un signe "+",
On écrit toujours ces nombres avec un signe "−".
mais ce n’est pas obligatoire.
Par exemple, −4
Par exemple,
+7
, +1, 04
, 15, 6
et
2
3
, −5, 2
et
− 56
sont des
nombres négatifs.
sont des nombres positifs.
Il existe un seul nombre qui est à la fois positif et négatif : c’est zéro (0)
Compétence N19 : Se repérer sur un axe gradué, dans le plan
Ï Se repérer sur un axe gradué
On appelle axe gradué une droite sur laquelle on a choisi un sens, un point nommé origine et une unité
que l’on reporte régulièrement à partir de l’origine.
B
O
I
A
C
−6
0
1
+4
+6
Sur cet axe gradué :
• à chaque point de la droite est associé un unique nombre relatif, qui est appelé abscisse du point.
• à chaque nombre relatif est associé un unique point de la droite
Par exemple, l’abscisse du point A est +4, le point d’abscisse −6 est B.
Définition
La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre d’unités qui séparent ce point de l’origine.
Par exemple :
• la distance à zéro du nombre +4 est 4 (car le segment [OA] mesure 4 unités de long),
• la distance à zéro du nombre −6 est 6 (car le segment [OB] mesure 6 unités de long).
Définition
Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro, mais des signes différents, sont appelés
nombres opposés.
Par exemple :
• Les nombres +6 et −6 ont la même distance à zéro (6), mais pas le même signe : ce sont deux nombres
opposés. Sur l’axe gradué, cela se traduit par le fait que les deux points B et C sont symétriques par
rapport à l’origine.
• L’opposé de 7 est −7, l’opposé de −3 est 3.
5ème
Cours CH 7
Page 26
Ï Se repérer dans le plan
Deux axes gradués perpendiculaires (le premier horizontal, le second vertical) ayant la même origine
forment ce que l’on appelle un repère du plan. Dans un tel repère :
• à chaque point du plan est associé un unique couple de nombres relatifs, qui est appelé couple de
coordonnées du point.
• à chaque couple de nombres relatifs est associé un unique point du plan
La première coordonnée, appelée abscisse du point, se lit sur l’axe horizontal.
La seconde coordonnée, appelée ordonnée du point, se lit sur l’axe vertical.
A
+3
J
O
I
axe des absisses
axe des ordonnées
−6
Dans cet exemple, l’abscisse du point A est −6, et son ordonnée est +4.
On dit que les coordonnées du point A sont (−6; 4).
B Attention : on donne toujours l’abscisse en premier et l’ordonnée en second !
Compétence N20 : Comparer des nombres relatifs
B
D
O
I
A
C
−6
−1
0
1
+4
+6
Règle n°1
De deux nombres relatifs positifs, le plus grand est celui ayant la plus grande distance à zéro.
Par exemple, ici, on a
+4 < +6
car +6 a la plus grande distance à zéro.
Règle n°2
De deux nombres relatifs de signes contraires, le plus grand est le nombre positif.
Par exemple, ici, on a
5ème
+4 > −1
car +4 est positif (et −1 est négatif).
Cours CH 7
Page 27
Règle n°3
De deux nombres relatifs négatifs, le plus grand est celui ayant la plus petite distance à zéro.
Par exemple, ici, on a
−6 < −1
car −1 a la plus petite distance à zéro.
Compétence N21 : Additionner des nombres relatifs
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe
Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
• signe : on conserve le signe commun aux deux nombres,
• distance à zéro : on additionne les distances à zéro des deux nombres.
Exemples :
(+5) + (+8) = +13
(−7) + (−4) = −11
Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires
Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents :
• signe : on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro,
• distance à zéro : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande..
Exemples :
(+5) + (−13) = −8
(−7) + (+9) = +2
Compétence N22 : Soustraire un nombre relatif à un autre
Définition
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter l’opposé de ce nombre ;
Si a et b sont deux nombres relatifs, alors
a − b = a + (opposé de b)
Exemples :
• (+5) − (−7) = (+5) + ( opposé de − 7) = (+5) + (+7) = +12
• (−3) − (+8) = (−3) + ( opposé de + 8) = (−3) + (−8) = −11
Compétence N23 : Simplifier l’écriture d’une somme de relatifs
Règle
Afin d’alléger l’écriture d’une somme de nombres relatifs, on peut :
– supprimer les signes "+" d’addition,
– supprimer les parenthèses,
– supprimer le signe "+" du terme écrit au début, s’il est positif
Exemples :
• (+5) + (−3) + (+11) = 5 − 3 + 11 = 13
• (−3) − (+8) + (+7) − (−1) = (−3) + (−8) + (+7) + (+1) = −3 − 8 + 7 + 1 = −3
5ème
Cours CH 7
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