Trigonométrie et fonctions trigonométriques I - 2nde Cercle trigonométrique - Mesure des angles orientés Définition Dans le plan muni d’un repère O;~i, ~j , le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur lequel on a choisi : – un sens direct, ou sens positif, sens inverse des aiguilles d’une montre – un sens indirect, ou sens négatif, sens des aiguilles d’une montre. + ~j O ~i Définition Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians d’un angle orienté est égale à la mesure algébrique (avec un signe) de l’arc intercepté. Exemple : Un tour complet, soit 360◦ , mesure 2π radians. π 2π = radians (1/4 de tour). L’angle orienté ~i, ~j mesure 4 2 π ~ ~ L’angle orienté j, i mesure − radians. 2 On parle d’une mesure de l’angle orienté car il en possède une infinité : π 5π 5π 9π π 3π π rad, + 2π = rad,. . ., − 2π = − rad,. . . l’angle orienté ~i, ~j mesure rad, + 2π = 2 2 2 2 2 2 2 Exercice 1 Compléter : Degrés ×... 0 30 45 60 90 135 180 360 ×... Radians 0 Degrés Radians 1 −15 1 20 270 167π 4 7π 3 Définition La mesure principale d’un angle orienté est la mesur de cet angle appartenant à l’intervalle ] − π; π]. π 3π 7π 3π ,− , + 2π = ,. . . Exemple : L’angle orienté ~j,~i a plusieurs mesures : 2 2 2 2 π Sa mesure principale est − . 2 Exercice 2 Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : 9π 7π 11π 9π 15π 26π a) 17π b) c) d) − e) f) g) 2 3 6 8 2 4 Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/2nde/ h) − 13π 5 Trigonométrie et fonctions trigonométriques - 2nde - 1/4 II - Cosinus et sinus d’un angle orienté Exercice 3 1. ABCD est un carré de côté 1. Calculer la longueur AC, puis en déduire les valeurs exactes de π π cos et sin . 4 4 2. RST est un triangle équilatéral de côté 1. π Calculer la longueur T I, en déduire les valeurs exates de cos , 6 π π π sin , cos et sin . 6 3 3 A B D C T R I S −−→ ~ Définition Soit M un point du cercle trigonométrique, et x une mesure de l’angle orienté i, OM . – Le cosinus de x, noté cos x, est l’abscisse de M. – Le sinus de x, noté sin x, est l’ordonnée de M. ~j • M sin x x O x 0 rad sin x 0 cos x 1 Propriété 30◦ π rad 6 1 2 √ 3 2 cos x (sin) 1 √ Angles remarquables 0◦ ~i 45◦ π rad 4 √ 2 2 √ 2 2 60◦ π rad 3 √ 3 2 1 2 90◦ π rad 2 3 2 √ 2 2 • π 3 π • 4 1 2 • 1 0 O 1 2 √ 2 2 √ 3 2 π 6 1 (cos) Pour tout réel x : • −1 6 cos x 6 1 • −1 6 sin x 6 1 • cos2 x + sin2 x = 1 (en notant cos2 x = (cos x)2 et sin2 x = (sin x)2 ) Exercice 4 En plaçant les angles sur le cercle trigonométrique et en s’aidant de donner les symétries, π π 3π 5π valeurs exactes de : a) cos(3π) b) cos − c) cos d) cos e) cos − 4 3 2 4 2π 5π 3π 4π f) cos g) cos h) cos − i) sin 3 6 4 3 Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/2nde/ Trigonométrie et fonctions trigonométriques - 2nde - 2/4 III - Équations trigonométriques Exercice 5 En s’aidant du cercle trigonométrique, résoudre sur ] − π; π] les équations suivantes √ : π 2π 1 2 b) sin x = sin c) cos x = − a) cos x = cos d) cos x = − 6 3 2 2 √ √ 3 π 2 1 1 e) sin(2x) = = f) cos 3x + g) cos2 x = h) sin2 x = 2 4 2 4 2 IV - Fonctions sinus et cosinus Définition La fonction cosinus est la fonction, notée cos, qui à toutt nombre réel x associe le nombre cos x. De même, la fonction sinus est la fonction x 7→ sin x, pout x ∈ IR. Exercice 6 En s’aidant du cercle trigonométrique, compléter les tableaux de variation des fonctions sinus et cosinus : x −π − π 2 π 2 0 x π cos x −π − π 2 π 2 0 π sin x Exercice 7 Tracer les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus à l’aide des tableaux de variation précédents, des valeurs remarquables des sinus et cosinus, et éventuellement de la calculatrice. Exercice 8 En utilisant compléter : π π a) Si 6x6 , 6 3 π π b) Si − 6 x 6 , 6 3 π 2π c) Si 6x6 , 6 3 Propriété les courbes tracées dans l’exercice précédent et/ou le cercle trigonométrique, alors ... 6 cos x 6 ... et ... 6 sin x 6 ... alors ... 6 cos x 6 ... et ... 6 sin x 6 ... alors ... 6 cos x 6 ... et ... 6 sin x 6 ... Pour tout réel x, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x. Les fonctions x 7→ cos x et x 7→ sin x sont périodiques de période 2π. Les courbes représentatives des fonctions sinus (sinusoı̈de) et cosinus (cosinusoı̈de) sont inchangées par translation de vecteur 2π~i. y = sin x −2π − 3π 2 −π − π2 Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/2nde/ O π 2 π 3π 2 2π Trigonométrie et fonctions trigonométriques - 2nde - 3/4 y = cos x −2π − 3π 2 −π − π2 O π 2 π 3π 2 2π Exercice 9 Soit f la fonction périodique de période 1 définie par f (t) = −2t + 1 si t ∈ [0; 1]. Tracer la représentation graphique de f sur [−2; 4]. Exercice 10 Soit f la fonction périodique de période 2 définie par f (t) = t2 si t ∈ [−1; 1]. Tracer la représentation graphique de f sur [−3; 5]. Exercice 11 Soit f la fonction périodique, de période 2, définie par f (t) = −2t2 + 2 si t ∈ [−1; 1]. Dresser le tableau de variations de f sur [−1; 1]. Tracer alors la représentation graphique de f sur [−3; 5]. Exercice 12 L”évolution de la population P d’animaux dans une forêt est modélisée par : π P (t) = 500 + 50 sin 2πt − , 2 où t est exprimé en années. 1 et P (1). 1. Calculer P (0), P 2 2. Quelle est la période de la fonction P ? 3. Pour quelle valeur de t, la population est-elle à son maximum dans la première année ? Quelle est la population maximum ? Y. Morel - xymaths.free.fr/Lycee/2nde/ Trigonométrie et fonctions trigonométriques - 2nde - 4/4