de rappels sur les polynômes

Polynômes à une indéterminée à coefficients dans IK
Rappels de Première année
Table des matières
1
L’algèbre IK[X]
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lois internes dans IK[X] . . . . . .
1.2.1 Addition de polynômes . . .
1.2.2 Multiplication de polynôme .
1.2.3 Multiplication d’un polynôme
1.3 Composition dans IK[X] . . . . . .
1.4 Degré d’un polynôme . . . . . . . .
1.5 Dérivation dans IK[X] . . . . . . . .
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2
2
2
2
2
3
3
4
4
2
Divisibilité dans IK[X]
2.1 Division euclidienne dans IK[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
3
Racines d’un polynôme
3.1 Fonction polynômiale . . . . . .
3.2 Racine d’un polynôme . . . . . .
3.3 Polynômes scindés sur IK . . . .
3.4 Polynômes irréductibles de C
I [X]
3.5 Polynômes irréductibles de IR[X]
6
6
6
7
8
9
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par un
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1
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scalaire
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L’algèbre IK[X]
1
1.1
Définition
Définition 1 : On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans IK, toute
suite (an )n∈IN d’éléments de IK presque nulle, c’est à dire nulle à partir d’un certain rang :
∃N ∈ IN, ∀n > N, an = 0IK
Pour n fixé, an est appelé le nième coefficient du polynôme.
Par définition donc, un polynôme P est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. De
même, deux polynômes P = (an )n∈IN et Q = (bn )n∈IN sont égaux ssi (an )n∈IN = (bn )n∈IN c’est à
dire plus simplement ∀n ∈ IN, an = bn .
Notation : L’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dans IK est noté IK[X].
On note par X le polynôme (0, 1, 0, 0, 0, · · ·) ie défini par la suite :
a0 = 0, a1 = 1, ∀n ≥ 2, an = 0
1.2
1.2.1
Lois internes dans IK[X]
Addition de polynômes
Définition 2 : Soient P = (an )n∈IN et Q = (bn )n∈IN deux polynômes de IK[X].
On définit par P + Q, le polynôme (an + bn )n∈IN .
On définit ainsi une loi de composition interne de IK[X].
Propriété 1 : (IK[X], +) est un groupe abélien.
1.2.2
Multiplication de polynôme
Attention, cette multiplication n’est pas du tout celle des suites.
Définition 3 : Soient P = (an )n∈IN et Q = (bn )n∈IN deux polynômes de IK[X].
On pose P · Q = (cn )n∈IN où
n
X
cn =
ai bn−i
i=0
On démontre que P · Q est un polynôme dont les coeffs sont :
n
X
(a0 b0 , a0 b1 + a1 b0 , a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 , · · · ,
ai bn−i , · · ·)
i=0
Ainsi, on a défini une deuxième loi interne appelée multiplication des polynômes.
Propriété 2 : (IK[X], +, ·) est un anneau commutatif.
Remarques :
1) L’élément neutre pour · est le polynôme (1, 0, 0, · · ·) plus communément noté 1.
2) On montre que l’application :
Θ : IK −→
IK[X]
λ 7−→ (λ, 0, 0, · · ·)
est un morphisme d’anneau injectif.
Ainsi Θ(IK) est isomorphe à IK : c’est pourquoi, on fait souvent la confusion entre le scalaire
λ et le polynôme (λ, 0, 0, · · ·) appelé plus communément le polynôme constant λ.
2
1.2.3
Multiplication d’un polynôme par un scalaire
Définition 4 : Soit λ ∈ IK et P = (an )n∈IN ∈ IK[X].
On définit λ · P = (λ an )n∈IN .
λ · P est un polynôme.
On définit ainsi une loi externe appelée multiplication par un scalaire.
Propriété 3 : (IK[X], +, ·, ·) est une IK-algèbre commutative, c’est à dire un IK espace vectoriel et un anneau commutatif.
Propriété 4 :
Θ : IK −→
IK[X]
λ 7−→ (λ, 0, 0, · · ·)
est un morphisme de IK-algèbres injectif.
Notation définitive pour un polynôme :
On note X = (0, 1, 0, · · ·) appelée l’indéterminée.
On pose X 0 = (1, 0, 0, · · ·) = 1 et pour tout n ∈ IN, X n+1 = X n · X.
Une récurrence immédiate montre que :
∀n ∈ IN ∗ , X n = (0, 0, 0, · · · ,
1
(n+1)ième
coeff
, 0, 0, 0, · · ·)
Soit P = (an )n∈IN un polynôme.
Il existe N ∈ IN, ∀n > N, an = 0.
Alors
P = (a0 , a1 , a2 , · · · , ai , · · · , aN , 0, 0, · · ·)
= a0 (1, 0, 0, · · ·) + a1 (0, 1, 0, · · ·) + · · · + ai (0, 0, 0, 0, · · · ,
+aN (0, 0, 0, 0, · · · ,
= a0 X 0 + a1 X +
N
P
=
ai X i
1
1
(i+1)ième
coeff
, 0, · · ·) + · · ·
, 0, · · ·)
(N +1)ième coeff
a2 X 2 + · · · +
ai X i + · · · + aN X N
i=0
Nous adopterons désormais cette notation pour un polynôme.
1.3
Composition dans IK[X]
Définition 5 : Soient P =
N
P
ai X i ∈ IK[X] et un autre polynôme de IK[X].
i=0
On définit le polynôme composé noté P ◦ Q ou P (Q) par :
P (Q) = a0 + a1 Q + a2 Q2 + · · · + aN QN
Applications courantes :
1) On prend Q = X + a, a ∈ IK. Ainsi P (Q) = P (X + a) =
2) On prend Q = −X. Ainsi P (Q) = P (−X) =
N
P
i=0
3
N
P
ai (X + a)i .
i=0
N
P
ai (−X)i =
i=0
ai (−1)i X i .
1.4
Degré d’un polynôme
Définition 6 : Soit P ∈ IK[X], (an )n∈IN la suite de ses coefficients.
1) Si P 6= 0, on appelle degré de P , qu’on note deg P le plus grand entier n tel que an 6= 0.
L’élément adegP est appelé coefficient dominant de P .
On dit que P est unitaire (ou normalisé) lorsque P 6= 0 et adegP = 1.
2) Si P = 0, on pose deg(0) = −∞.
Propriété 5 : Soient (P, Q) ∈ IK[X]2 et λ ∈ IK ∗ .
1) deg(P + Q)≤ Sup(degP ,degQ). (on convient que ∀n ∈ IN, −∞ ≤ n).
Si degP 6=degQ, alors deg(P + Q)=Sup(degP ,degQ).
2) deg(P Q)=degP +degQ.
3) deg(λ P )=degP .
Corollaire 1 :
1) Les polynômes inversibles (pour la multiplication interne) dans IK[X] sont les polynômes de
degré 0 ie les éléments de IK ∗ .
2) (P Q = 0 ⇐⇒ P = 0 ou Q = 0) : On dit que IK[X] est intègre.
Corollaire 2 : Soit n ∈ IN .
On note IKn [X] = {P ∈ IK[X]/deqP ≤ n}.
IKn [X] est un IK-e.v.
1.5
Dérivation dans IK[X]
degP
P
Définition 7 : Pour tout polynôme P =
ai X i ∈ IK[X], on appelle polynôme dérivé de
i=0
P , qu’on note P 0 le polynôme défini par :
degP
0
P =
X
i ai X i−1
i=0
0
On note P (0) = P, P (1) = P 0 , ∀k ≥ 1, P (k) = P (k−1) .
Propriété 6 :
1) ∀P ∈ IK[X],
degP − 1 si degP ≥ 1
0
degP =
−∞ si degP ≤ 0
2) ∀n ∈ IN, degP ≤ n ⇐⇒ P (n+1) = 0.
3)
D : IK[X] −→ IK[X]
est un endomorphisme.
P
7−→
P0
4) ∀(P, Q) ∈ IK[X]2 , (P Q)0 = P 0 Q + P Q0 .
5) ∀(P, Q) ∈ IK[X]2 , (P ◦ Q)0 = Q0 (P 0 ◦ Q).
6) Formule de Leibniz :
2
(k)
∀(P, Q) ∈ IK[X] , ∀k ∈ IN, (P Q)
k
X
=
Cki P (i) Q(k−i)
i=0
En bref, il semble que les calculs sur les dérivées des polynômes sont identiques à ceux des
fonctions dérivables, alors que la dérivée a été définie différemment.
4
Divisibilité dans IK[X]
2
Définition 8 : Soient (A, P ) ∈ IK[X]2 .
1) On dit que A est un diviseur de P ou que A divise P ou que P est un multiple de A si :
∃Q ∈ IK[X], P = A Q
On note A\P .
2) On dit que A et P sont associés si : ∃λ ∈ IK, P = λA.
Propriété 7 :
1) ∀A ∈ IK[X], A\A, A\0, (0\A ⇐⇒ A = 0).
2) ∀(A, B) ∈ IK[X]2 , (A\B et B\A) ⇐⇒ (A et B sont des polynômes associés).
3) ∀(A, B, C) ∈ IK[X]3 ,
A\B et B\C =⇒ A\C
A\B =⇒ A\BC
A\B et A\C =⇒ A\B + C
A\B =⇒ ∀n ∈ IN ∗ , An \B n
2.1
Division euclidienne dans IK[X]
Théorème : Soient (A, B) ∈ IK[X]2 tels que B 6= 0.
Il existe un unique couple (Q, P ) ∈ IK[X]2 tel que :
A=BQ+R
degR < degB
Le polynôme Q (resp : R) est appelé quotient (resp : reste) de la division euclidienne de A par
B.
Algorithme de la division euclidienne :
Soient (A, B) ∈ IK[X]2 tels que B 6= 0.
Si degA < degB alors Q = 0, R = A.
Sinon, on diminue le degré de A en faisant l’opération A − Q0 B avec Q0 =
n = degA, p = degB.
- si deg(A − Q0 B) < degB alors Q = Q0 et R = A − Q0 B.
- sinon on recommence l’opération avec (A − Q0 B, B).
2.2
an
X n−p
bp
où
Polynômes irréductibles
Définition 9 : Un polynôme P de IK[X] est dit irréductible sur IK si :
– degP ≥ 1
– Et P n’admet comme diviseur dans IK[X] que les polynômes constants non nuls et les
polynômes associés à P .
Remarques :
1) Les polynômes irréductibles de IK[X] ont un rôle analogue aux nombres premiers dans Z.
Z
2) La notion d’irréductibilité dépend de IK :
Exemple : X 2 + 1 est irréductible sur IR mais pas sur C
I.
3) Par contre, P irréductible sur C
I =⇒ P irréductible sur IR.
5
Propriété 8
Tout polynôme P de degré ≥ 1 de IK[X] admet dans IK[X] un diviseur irréductible sur IK[X].
Théorème de décomposition en produit de facteurs irréductibles :
Tout polynôme P de degré ≥ 1 de IK[X] s’écrit de manière unique à l’ordre près des facteurs
comme produit de facteurs irréductibles :
r
P = λ Π Piαi
i=1
où : λ est le coefficient dominant de P
r ∈ IN ∗
(Pi )1≤i≤r sont des polynômes irréductibles unitaires
αi ∈ IN ∗
i 6= j =⇒ Pi 6= Pj .
3
Racines d’un polynôme
3.1
Fonction polynômiale
N
P
Définition 10 : A un polynôme P = ai X i ∈ IK[X], on associe une application de IK
i=
dans IK définie par :
P̃ : IK
x
−→
IK
N
P
7−→ ai xi
i=
P̃ est appelée fonction polynômiale associée à P .
Théorème de Taylor pour les polynômes :
Soit P ∈ IK[X], a ∈ IK, N = degP.
On a
∼
N P (k)
X
(X − a)k
P (X) =
k!
k=0
c’est à dire aussi
∼
N
X
P (X + a) =
k=0
3.2
P (k)
k!
Xk
Racine d’un polynôme
Définition 11 : Soit P ∈ IK[X], a ∈ IK.
∼
On dit que a est une racine (ou un zéro) de P si P (a) = 0.
Propriété 9 :
1) a est racine de P ⇐⇒ (X − a)\P .
2) Soient n ∈ IN ∗ , (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ IK n deux à deux distincts.
n
Si (x1 , x2 , · · · , xn ) sont racines de P alors Π (X − xi )/P
i=1
6
Corollaire
1) Soit P ∈ IK[X], n ∈ IN ∗ .
Si degP < n et si P admet n racines deux à deux distinctes alors P = 0.
2) L’application
Ψ IK[X] −→ F(IR, IR)
∼
7−→
P
P
est un morphisme de IK-algèbres injectif
Ψ nous permet de dire que Im(Ψ) est isomorphe à IK[X]. Or, Im(Ψ) est l’algèbre des fonctons polynômiales. Cet isomorphisme justifie qu’on confonde dans la pratique un polynôme et
∼
sa fonction polynômiale. Ainsi, au lieu d’écrire P (x) où x ∈ IK, on voit écrit P (x).
Définition 12 : Soit P ∈ IK[X] et a une racine de P dans IK.
On appelle ordre de multiplicité de a le plus grand entier naturel m tel que
(X − a)m divise P .
L’ordre de multiplicité de a dans P est donc l’entier naturel m tel que :
∃Q ∈ IK[X], P = (X − a)m Q, avec Q̃(a) 6= 0.
Si m = 1, on parle de racine simple.
Si m = 2, on parle de racine double.
Si m = 3, on parle de racine triple.
Remarque : On a m ≤ degP.
Propriété 10 : Caractérisation de l’ordre de multiplicité d’un zéro.
a est un zéro d’ordre de multiplicité m dans P ssi

∼

 ∀0 ≤ k ≤ m − 1, P (k) (a) = 0
∼


3.3
P (m) (a) 6= 0
Polynômes scindés sur IK
Définition 13 : Un polynôme P ∈ IK[X] est dit scindé sur IK si :
∃λ ∈ IK ∗ , ∃n ∈ IN ∗ , ∃(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ IK n ,
n
P (X) = λ Π (X − xi )
i=1
Remarsques :
1) Dans la définition,
- les xi ne sont pas forcément distincts et ce sont les racines de P
- λ est le coefficient dominant de P
- n = degP .
2) On peut aussi écrire
r
P (X) = λ Π (X − xi )mi
i=1
avec (x1 , x2 , · · · , xr ) deux à deux distincts, mi l’ordre de multiplicité de xi et
degP = m1 + m2 + m3 + · · · + mr .
Exemple : X 2 + 1 est scindé sur C
I mais pas sur IR.
7
Définition 14 : Soient n ∈ IN ∗ , (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ IK n
On appelle fonctions symétriques élémentaires de (x1 , x2 , · · · , xn ), les expressions suivantes :

σ1 =
x1 + x2 + · · · + xn


P


σ2 =
xi1 xi2 = (x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + · · · + x1 xn ) + (x2 x3 + x2 x4 + · · · + x2 xn )



1≤i1 <i2 ≤n




+ · · · + (xn−2 xn−1 + xn−2 xn ) + (xn−1 xn )
..
.



x
P



σ
=
xi2 xi3 · · · xik
k



1≤i1 <i2 <i3 <···<ik ≤ni

1

σn =
x1 x2 x3 · · · xn
Remarques : σk contient Cnk termes.
Exemples : Les fonctions symétriques élémentaires de :
1) (x1 , x2 ) :
2) (x1 , x2 , x3 ) :
3) (x1 , x2 , x3 , x4 ) :
Propriété 11 :Relations entre coefficients et racines d’un polynôme.
Soient n ∈ IN ∗ , (a0 , a1 , a2 , · · · , an ) ∈ IK n+1 tel que an 6= 0.
n
P
On suppose que le polynôme P = ai X i est scindé sur IK et on note (x1 , x2 , x3 , · · · , xn )
n
i=0
tels que : P (X) = an Π (X − xi ).
i=1
Alors : ∀1 ≤ k ≤ n,
an−k
an
fonction symétrique élémentaire de (x1 , x2 , · · · , xn ).
σk = (−1)k
où σk est la k ième
C’est à dire
P (X) = an (X n − σ1 X n−1 + σ2 X n−2 − σ3 X n−3 + · · · + (−1)k σk X n−k + · · · + (−1)n σn )
3.4
Polynômes irréductibles de C
I[X]
Théorème de D’Alembert Gauss :
Tout polynôme non constant de C
I [X] admet au moins un zéro dans C
I.
On dit que le corps C
I est algébriquement clos.
Corollaire 1 :
8
Tout polynôme non constant de C
I [X] est scindé sur C
I.
Corollaire 2 :
Les polynômes irréductibles de C
I [X] sont les polynômes de degré 1.
3.5
Polynômes irréductibles de IR[X]
Propriété 12 : Soit P ∈ C
I [X].
On a
P ∈ IR[X] ⇐⇒ ∀z ∈ C
I , P (z) = P (z)
Propriété 13 : Soient P ∈ IR[X], a ∈ C
I , m ∈ IN ∗ .
Pour que a soit zéro d’ordre m au moins (resp : exactement) de P , il faut et il suffit que a
soit zéro d’ordre m au moins (resp : exactement) de P .
Propriété 14 : Les polynômes irréductibles de IR[X] sont :
1) les polynômes de degré 1.
2) les polynômes de degré 2 à discriminant < 0.
Corollaire : La décomposition d’un polynôme P de IR[X] est donc de la forme :
N
N0
i=1
j=1
P = λ Π (X − xi )ri Π (X 2 + pj X + qj )sj
où :
λ ∈ IR∗ .
(N, N 0 ) ∈ IN 2 .
0
(r1 , r2 , · · · , rN , s1 , s2 , · · · , sN 0 ) ∈ (IN ∗ )N +N .
(x1 , x2 , · · · , xN ) ∈ IRN deux à deux distincts.
(p1 , q1 ), (p2 , q2 ), · · · , (pN 0 , qN 0 ) ∈ (IR2 )N deux à deux distincts.
∀j ∈ {1, · · · , N 0 }, p2j − 4qj < 0.
9