Fonction sinus et fonction cosinus

Fonction sinus et fonction cosinus
 
Dans tout ce chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé direct  O; i , j 
1. Repérer un point M sur le cercle trigonométrique.
Le cercle trigonométrique
B
Repérage d'un point sur le cercle trigonométrique
+

j
O

i
A
 La méthode de l'enroulement de la droite
autour du cercle permet d'associer à chaque
nombre réel t un unique point M du cercle.
t
 La donnée du nombre t permet donc de
repérer le point M.
Le cercle trigonométrique est le
cercle de centre O, de rayon 1
orienté positivement dans le sens
inverse des aiguilles d’une
montre.
(la flèche représente ce sens
appelé sens direct ou sens positif
ou sens trigonométrique)
M
 En revanche, chaque point M du cercle est
l’image de plusieurs nombres réels t.
La différence entre deux de ces réels est un
multiple de 2 .
Donc les réels t associés au point M sont les
nombres de la forme t + k2 où k   .
1

j

i
O
A
0
2. radian et degré :
Le radian est une unité de mesure des angles choisie de façon que
l’angle plat (180°) mesure  radians.
La mesure en radians est proportionnelle à la mesure en degrés.
t  2
Par exemple un angle qui mesure 60° mesure

3
radians car 60 représente le tiers de 180.
3. fonction sinus et cosinus :
sin x
j
Pour tout réel x , il existe un point M unique du cercle trigonométrique
 
tel que x soit une mesure de (OA , OM) .
• l'abscisse du point M est appelé le cosinus de x ( noté cos x )
• l'ordonnée du point M est appelé le sinus de x ( noté sin x )
Autrement dit Le point M a pour couple de coordonnées (cos x ; sin x)



c'est-à-dire OM  cos x i  sin x j
O
M
x
A

cos
x
i
On a ainsi définies de fonctions sur  telles que :
pour tout réel x ,
–1  cos x  1
et
–1  sin x  1
cos² x + sin² x = 1
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2.
sin(x + 2k) = sin x
et
cos(x + 2k) = cos x
Valeurs particulières
Il faut savoir donner, sans hésitation, les valeurs particulières suivantes, et savoir les faire apparaître sur un
cercle trigonométrique.

2
x
0
cos x
1
sin x
0

6

4

3

2
3
2
1
2
2
2
1
2
0
2
2
3
2
1

3 
4

6

0
3
2
Propriétés
La fonction sinus est impaire : pour tout réel x, on a sin (– x) = – sin x
(Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour centre de symétrie l'origine du repère).
La fonction cosinus est paire : pour tout réel x, on a cos (– x) = cos x
(Sa courbe représentative dans un repère orthogonal a pour axe de symétrie l'axe des ordonnées).
Courbes
Courbe de la fonction sinus :
y
2
1
-3
-5/2
-2
-3/2
-
-/2
0
/2

3/2
2
5/2
3 x
/2

3/2
2
5/2
3 x
-1
-2
Courbe de la fonction cosinus :
y
2
1
-3
-5/2
-2
-3/2
-
-/2
0
-1
-2