G.P. Questions de cours outils mathématiques Équations

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Questions de cours outils mathématiques
Équations différentielles:
Résoudre l'équation différentielle suivante en adoptant obligatoirement une méthode utilisant
les complexes:
F sin t − v t =m dv  t/dt
On définira un temps de relaxation  et on donnera la réponse à une constante près.
Indiquer le sens physique de chaque partie de la solution.
Réponse:
L'équation s'écrira:
dv v F
 = sin  t 
dt  m
dv
est une vitesse divisée par un temps,
dt
même dimension,  est bien un temps
au niveau des dimensions puisque
v
doit avoir la

donc:
=
m

1) Pour la solution de l'équation homogène (en lien avec le régime transitoire):
dv v
 =0
dt 
on essaye une solution de la forme:
v= A expr t 
d'où, en reportant:
v
r v =0

l'équation caractéristique est :
1
r  =0

On obtient :
t
v =A exp− 

2) Pour la solution particulière (traduisant le régime sinusoïdal forcé):
En régime forcé, v varie avec un certain déphasage en sin t . On travaille donc en
complexes avec v complexe associé à v . On pose que la solution particulière v est en
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exp  j t .
On décide que c'est la partie réelle qui a un sens, il faudra mettre un − j pour le second
membre ( puisque il s'agit ici d'un sinus et que la partie réelle de − j exp  j t  vaut bien
sin t ).
dv v F
 =
− j exp  j t 
dt  m
v est en exp  j t  donc:
dv
= jv
dt
On obtient :
1
F
v  j  =− j exp  j t 

m
v =− j 
F exp j t 

m 1
  j 

On a souvent intérêt en physique à traduire les complexes écrits sous forme algébrique en
complexes écrits sous forme exponentielle.

1
1
 j =  2 2 exp  j 


avec:
1
=arg   j 

soit ( il faut deux lignes trigonométriques pour définir un angle modulo 2  . Ici, je vous donne
les trois... penser à la représentation dans le plan complexe pour les obtenir )

sin=
1
 2 2


cos =
tan =
1


2

1
2


=
1

Le cosinus étant positif ( on vient d'utiliser une première ligne trigonométrique ) , on peut donc
écrire finalement ( en utilisant une deuxième ligne trigonométrique ) :
=arctan 
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v =− j
v =− j
F

m

exp  j t 
1
2  2 exp j 

F
 
m
exp j t−
1
 2

donc pour la partie réelle:

v=


2
F

m
1
 2

sin t−
2

v=

F

m
sin t −arctan  
1
 2

2
3).Solution complète:
On fait alors la somme des deux solutions:
t
v =A exp− 



F

m
1
 2

sin t−arctan 
2
C'est seulement à ce stade que l'on devrait porter la condition initiale afin d'obtenir la constante
inconnue A .