Master de Mathématiques, Première Année Calcul Formel Feuille d

Université de Limoges
Faculté des Sciences
Année Universitaire 2008-2009
Master de Mathématiques, Première Année
Calcul Formel
Feuille d’exercices 1
Euclide
Exercice 1
1) Montrer que Q[X] est un anneau euclidien.
2) On considère des polynômes A, B ∈ Q[X]. Décrire un algorithme déterminant les quotients et les
restes de la division euclidienne de A par B. Écrire l’algorithme d’Euclide qui calcule le PGCD, et
montrer que cet algorithme est correct
3) Division équilibrée dans Z. Soit a, b ∈ Z. Montrer qu’il existe un unique couple (q 0 , r0 ) tel que
a = bq 0 + r0 avec 0 ≤ r0 < |b|/2.
√
√
4) Montrer que Z[i 2] est un anneau euclidien, en prenant φ(a + b.i 2) = a2 + 2b2 comme stathme
d’Euclide.
Exercice 2
1) Déterminer la représentation de 115 en base 3; déterminer sa représentation en base 4, puis en base
2.
2) Décomposition en base b: soit n ∈ N et b ∈ N avec b > 1. Montrer qu’il existe un unique entier m
m
X
et un unique (m + 1)-uplet d’entiers (rm , · · · , r0 ) avec 0 ≤ ri < b tels que n =
ri bi .
i=1
3) Proposer un algorithme de calcul des ri et de m (donc de la décomposition de n en base b). Montrer
que cet algorithme est correct.
4)
Exercice 3
On étudie1 la complexité de l’algorithme d’Euclide dans le pire des cas. On considère la suite de Fibonacci définie par
F0 = 0, F1 = 1,
Fn+2 = Fn+1 + Fn , n ≥ 0.
On considère deux entiers n > k > 0 premiers entre eux. On veut évaluer la complexité de l’algorithme
d’Euclide de calcul du pgcd de nombres entiers naturels. On effectue la suite des divisions n = kq1 +r2 ,
k = r2 q2 +r3 , . . . ,ri−1 = ri qi+1 +ri+1 . Elle se termine par rm+2 = 0. Majorer le nombre m d’additions
à effectuer.
1. Le pire des cas se présente lorsque les quotients sont tous égaux à 1. Montrer que ri est alors le
(m + 2 − i)-ième nombre de Fibonacci Fi défini ci-dessus.
2. Dans le cas général, on se donne n, k√et l’algorithme se termine par rm+2 = 0. Montrer que
n ≥ Fm+2 = (φm+2 − (1 − φ)m+2 )/ 5.
3. En déduire que m + 2 ≤ logφ (n) (donc que l’algorithme d’Euclide est, dans le pire des cas,
polynomial en le nombre de chiffres de n).
1
Cette étude est basée sur celle publiée en 1845 par Gabriel Lamé, dit Lamé de la Droitière (1795-1870).
1
Exercice 4
On considère des polynômes A, B ∈ Q[X]. On sait, d’après la relation de Bézout, qu’il existe S, T ∈
Q[X] tels que AS + BT = D, où D est le pgcd de A et B. On se propose de revoir dans cet exercice
l’algorithme d’Euclide étendu, qui détermine S et T .
On suppose, quite à permuter, que deg(A) ≥ deg(B).
1) Montrer que les polynômes S et T ne sont pas uniques. Quelle condition supplémentaire peut-on
ajouter pour imposer l’unicité ?
2) Comment choisir S et T si B est nul? on suppose que ce n’est pas le cas dans la suite
3) On note (Rn ) la suite des restes dans l’algorithme d’Euclide. Montrer qu’il existe une suite de
matrices 2 × 2 telles que
Rn
0
1
Rn−1
=
Rn+1
1 −Qn
Rn
où n parcourt un ensemble d’entiers à déterminer.
a) En déduire l’existence de deux suites de polynômes Sn et Tn tels que Rn = Sn A + Tn B.
b) Montrer que les Sn et Tn satisfont une relation de récurrence qu’on déterminera
c) Ecrire l’algorithme d’Euclide étendu permettant de calculer S, T , et D.
4)
a) Étudier les degrés des Qn , Sn , Tn
b) Montrer que deg(S) < deg(B/D). Que peut-on dire de deg(T )?
5) Algorithme d’Euclide semi-étendu:
a) Montrer comment déterminer T quand on connait S et D.
b) Écrire une modification de l’algorithme d’Euclide étendu qui calcule seulement S et D
Exercice 5
1) Déterminer l’inverse de 12 modulo 47, de 13 modulo 24, et de 12 modulo 18.
2) On sait calculer l’inverse d’un élément de Q[i] (en utilisant le conjugué, avec i2 +1 = 0). Déterminer
une méthode de calcul de l’inverse d’un élément de Q[i] utilisant l’algorithme d’Euclide étendu. Est-ce
la même que la méthode classique utilisant le conjugué ?
3) On pose P = X 3 + X + 1 et Q[x] := Q[X]/(P ). Donner une méthode de calcul de l’inverse d’un
élément non nul de Q[x].
4) Soit P ∈ Q[X] un polynôme irréductible. Démontrer, en utilisant la question précédente, que
Q[X]/(P ) est bien un corps.
Exercice 6
Soit A, B, C ∈ Q[X]. On veut résoudre dans Q[X] l’équation (D) : AP + BQ = C
1) Montrer que (D) admet une solution si et seulement si C est divisible par le pgcd de A et B.
2) Donner une méthode de résolution de (D).
3) On se donne des polynômes B1 , B2 , . . . , Bn premiers entre eux deux à deux (mais pas nécessaireA
ment irréductibles). Montrer comment calculer une décomposition de la fraction
.
B1 B2 . . . Bn
Exercice 7
On appelle fonction algébrique une fonction y(x) vérifiant une relation (∗) : Q(x, y(x)) = 0 (identiquement, sur un ensemble convenable) où Q ∈ C[X, Y ] est un polynome en deux variables.
1) Quelle est la structure de l’ensemble des polynomes Q vérifiant Q(x, y(x)) = 0. Montrer qu’il existe
un polynôme de degré minimal vérifiant cette propriété. Comment le rendre unique ? On notera P ce
polynôme minimal.
2) Montrer que y 0 (x) peut s’exprimer comme une fraction rationnelle en x et y ; en déduire que y 0 (x)
s’exprime en fait comme un polynôme en x, y. Montrer que cette propriété reste vraie pour toutes les
dérivées de y(x).
3) On note n le degré de P en la variable Y . Déduire des questions précédentes que y(x) satisfait alors
une équation différentielle linéaire d’ordre au plus n.
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