Fiche élève

Chapitre : Arithmétique
Classe de 3ème
Le coin du petit programmeur
TP : Algorithme d’Euclide
Partie 1 : Découvrir Scratch
1)
Ouvrir le logiciel Scratch.
2) a) Ouvre le fichier intitulé « magie_scratch.sb ».
b) Appui sur le drapeau vert pour exécuter le script, puis suit en entier les instructions d’Euclide.
d) Tu peux regarder le script pour te donner une idée de la construction d’un algorithme et du
langage Scratch.
3) Construire le script ci-dessous et déterminer ce qu’il permet de calculer:
Attention : vous avez besoin de créer 3 variables a, b et r.
N’oubliez pas d’enregistrer votre travail !
4) a) Afficher le reste de la division euclidienne de 135 par 24.
b) Afficher le reste de la division euclidienne de 12 524 et 584.
TP Algorithme d’Euclide _ 3ème – Mars 2015
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Partie 2 : A la découverte de l’algorithme d’Euclide (sans utiliser Scratch)
Un peu d’histoire :
Euclide est un mathématicien de la Grèce antique. Son ouvrage le
plus célèbre, les Éléments porte sur la géométrie et l’arithmétique.
L'ouvrage a connu des centaines d’éditions en toutes langues et ses
thèmes restent à la base de l’enseignement des mathématiques au
niveau secondaire dans de nombreux pays.
Du nom d’Euclide, dérivent en particulier l’algorithme d'Euclide, la
géométrie euclidienne, la division euclidienne.
1) a) Calculer le reste de la division de 128 par 36.
b) Calculer le reste de la division de 36 par le résultat trouvé précédemment.
c) Continuer à diviser chaque diviseur par son reste, que se passe-t-il au bout d’un certain
nombre de divisions effectués ?
d) Sachant que le PGCD est le dernier reste non nul, déterminer le PGCD(128 ; 36).
Principe de l’algorithme d’Euclide :
L'algorithme d'Euclide, consiste à effectuer
une suite de divisions euclidiennes :
- On effectue la division euclidienne de a par
b et on note r le reste.
- Ensuite, b devient a et r devient b;
_ Et on recommence: on effectue la division
euclidienne de a par b et on note r le reste.
- On continue ainsi de suite jusqu'à ce qu'une
division donne un reste égal à 0.
Dans cette méthode le PGCD est le dernier
reste non nul.
2) Par ce même procédé, calculer le PGCD de 406 et 119.
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Partie 3 : Programmation de l’algorithme d’Euclide avec Scratch
Remarque:
Un algorithme est un procédé de calcul qui se répète plusieurs fois de suite jusqu'au résultat.
Ecriture du script :
Demander à l’exécuteur des nombres 𝑎
et 𝑏 pour calculer le 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎 ; 𝑏).
𝑟 est le reste de la division euclidienne
de 𝑎 par 𝑏.
Boucle dans laquelle on calcule le reste
de la division de 𝑎 par 𝑏, puis de 𝑏 par
le résultat obtenu, …, jusqu’à ce que le
reste soit nul.
Afficher le dernier reste non nul.
Question :
1. Reprendre le programme de la partie A et le compléter pour obtenir le PGCD de 2 nombres a et
b, choisis par l’exécuteur du programme.
2. Vérifie que ton programme marche en calculant : PGCD(128 ; 36) puis PGCD(406 ; 119) . Contrôle
avec les résultats de la partie 2.
Remarques :
Si tu as fini ton travail et qu’il te reste un peu de temps :
_ Tu peux changer l’apparence du lutin.
_Tu peux lui faire faire une pirouette à la fin du programme car il est heureux d’avoir réussi !
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Partie 4 : Applications pour tester le programme
Exercice 1 :
Trouver le PGCD (396 ; 108), le PGCD(2277, 1149) puis le PGCD(357 ; 125). Que peut-on dire de ces
deux derniers nombres ?
Exercice 2 :
Un chocolatier vient de fabriquer 2 622 œufs de Pâques et 2 530 poissons
en chocolat.
Il souhaite vendre des assortiments d’œufs et de poissons de façon que :
• tous les paquets aient la même composition.
• après mise en paquet, il reste ni œufs, ni poissons.
1) Quel est le plus grand nombre de paquets qu’il peut réaliser ?
2) Aide ce chocolatier à choisir la composition de chaque paquet.
Exercice 3 :
1) Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
2) Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352.
3) Rendre irréductible la fraction
en indiquant clairement la méthode utilisée.
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