ARITHMÉTIQUE

ARITHMÉTIQUE
Divisibilité - Théorèmes généraux
Exemples
B
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, n3 − 8 est multiple de n − 2.
C
Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.
D
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 5 2 n − 7 n est divisible par 18.
E
Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 2n + 3 et 3n + 4, cet entier ne peut
qu’être égal à 1.
F
n désigne un entier relatif. Démontrer que si un entier relatif a divise les entiers n2 + 3n + 13 et
n + 2, alors a divise 11.
G
Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 1 divise n + 17, en remarquant que :
n + 17 = (n − 1) + 18.
Exercices à préparer à la maison
H
En utilisant la définition, démontrer que : si a divise b, alors a 2 divise b 2.
I
VRAI OU FAUX ? Si a|b et c|b alors ac|b.
J
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7 n − 3 n est divisible par 4.
1)
Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4.
1!
Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 5n + 9 et 2n + 3, il ne peut prendre que
deux valeurs que l’on précisera.
1@
Comment choisir l’entier naturel n pour que n divise n + 8 ?
1#
Déterminer les entiers relatifs n tels que n – 4 divise n + 2.
1$
Quelles sont les valeurs que peut prendre un diviseur relatif commun à 5n – 3 et 2n – 3, où n
désigne un entier relatif ?
1%
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 2n2 +7n + 3 est divisible par 2n + 1.
ARITHMÉTIQUE
1
P.G. 2007/2008
ARITHMÉTIQUE
Types de raisonnement
Exemples
1^
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, le nombre n(n + 3) est divisible par 2.
1&
Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que (x − 1)2y = 18.
1*
n désignant un entier relatif quelconque, montrer que 7 ne divise pas 6 + 14n.
1(
Montrer que, si a 2 + b 2 est impair, alors a et b ne sont pas de même parité.
2)
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7 divise 32n+1 + 2n+2.
2!
Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre 22n + 6n − 1 est divisible
par 9.
Exercices à préparer à la maison
2@
Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, le nombre n(n + 1)(n + 5) est divisible par 6.
2#
x et y désignent des entiers naturels avec x > y.
a. Démontrer que si x 2 y − xy 2 = 6, alors xy et x − y divisent 6.
b. Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que x 2 y − xy 2 = 6.
2$
Montrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, le nombre 3 n+3 – 4 4n+2 est divisible par 11.
2%
1. Établir, par récurrence que :
a. pour tout entier naturel n, n 3 – n est un multiple de 3.
b. pour tout entier naturel n, n 7 – n est un multiple de 7.
2. Est-ce que, pour tout entier naturel n, n 4 – n est un multiple de 4 ?
2^
On se propose de démontrer que
2 est irrationnel.
Pour cela, on raisonne par l'absurde en supposant que
2=
p
p
avec
fraction irréductible.
q
q
a. Montrer que p2 = 2q2 ; en déduire que p est pair.
b. En déduire alors que q est pair, puis conclure.
ARITHMÉTIQUE
2
P.G. 2007/2008
ARITHMÉTIQUE
Division euclidienne
Exemples
2&
Déterminer le reste et le quotient de la division euclidienne de a par b dans les cas suivants :
a. a = 54 et b = 16 ;
b. a = 187 et b = 26 ;
c. a = 2 814 et b = 158.
2*
Déterminer les entiers n compris entre 0 et 100 tels que le reste de la division euclidienne de n par
41 soit 5.
2(
La division euclidienne de l'entier naturel a par l'entier naturel b donne pour quotient q et pour
reste r. La division euclidienne de (a + 15) par (b + 5) donne q pour quotient et r pour reste.
Déterminer q.
3)
La somme de deux entiers naturels a et b (a > b) est 444.
La division euclidienne de a par b donne 4 pour quotient et 24 pour reste.
Déterminer a et b.
3!
Soit deux entiers naturels a et b (a > b). La division euclidienne de a par b donne q = 6 pour
quotient et r = 47 pour reste. Par ailleurs, a + b + r = 591. Déterminer a et b.
3@
Le reste de la division euclidienne de 321 par le naturel b est 75. Déterminer les valeurs possibles
de b et du quotient.
3#
Déterminer un entier a qui, divisé par 23, donne pour reste 1, et qui, divisé par 17, donne le même
quotient et 13 pour reste.
Exercices à préparer à la maison
3$
On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. Déterminer q sachant
que q et r ne changent pas lorsqu'on augmente a de 52 et b de 4
3%
Déterminer les entiers a et b dont la différence est 538, et tels que le quotient et le reste de la
division euclidienne de a par b sont respectivement 13 et 22.
3^
Montrer que, si l'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division euclidienne par un même
naturel k non nul, le quotient est inchangé et le reste est multiplié par k.
3&
On désigne par a un entier naturel non nul.
Montrer que le reste de la division euclidienne de [a2 + (a – 1)2]2 par 4a2 est (2a – 1)2.
3*
On sait que 5n + 7 = 5(n + 1) + 2.
Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par 5 ?
Peut-on en déduire que 2 est le reste de la division euclidienne de 5n + 7 par n + 1 ?
3(
a et b sont deux entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient n’est pas nul.
Montrer que a est supérieur au double du reste.
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3
P.G. 2007/2008
ARITHMÉTIQUE
Congruences
Exemples
4)
Les nombres a et b sont-ils congrus modulo c ?
a. a = 48, b = 7, c = 11 ;
b. a = 153, b = 84, c = 23.
4!
Déterminer les entiers compris entre 153 et 187 qui sont congrus à 7 modulo 18.
4@
Démontrer que pour tout entier naturel n, 3n+2 + 11×8n est divisible par 5.
4#
n désigne un entier naturel quelconque.
a. Déterminer, suivant les valeurs de n, les restes dans la division euclidienne par 5 des entiers 2n et 3n.
b. En déduire pour quelles valeurs de n le nombre entier A=1188 n +2257 n est divisible par 5.
4$
Montrez que pour tout couple d'entiers relatifs (a, b), si a et b ne sont pas divisibles par 7 alors
a 2 + b 2 n'est pas divisible par 7.
4%
n désigne un entier naturel quelconque.
a. Trouver, suivant les valeurs de n, le reste de la division de 5 n par 7 ainsi que le reste de la
division de 5 n par 11.
b. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que 5n ≡ 4 [77].
c. Quel est le reste de la division de 5160 par 77 ?
4^
n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
a. Déterminer, suivant la valeur de n, le reste de n 4 − 1 par 5.
b. En déduire que n (n 4 − 1) est un multiple de 5 pour toute valeur de n.
c. En déduire que les nombres n p et n p + 4 se terminent par le même chiffre à droite.
Exercices à préparer à la maison
4&
Soit n un entier naturel.
a. Trouver suivant les valeurs de n, les restes de la division de 5n par 13.
b. En déduire que 19811981 − 5 est divisible par 13.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N=314n+1+184n−1 est
divisible par 13.
4*
a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division de 3n par 7.
b. Déterminer le reste de la division par 7 du nombre A = 2243325 + 1179154.
4(
a. Déterminer les restes de la division par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers
naturels.
b. Déterminer les entiers naturels n tels que An = 3n + 32n + 33n soit divisible par 13.
5)
Soit x un entier relatif.
a. Déterminer le reste de la division euclidienne de x3 par 9, en discutant suivant les valeurs de x.
En déduire que, pour tout entier relatif x, on a :
x3 ≡ 0 [9] ⇔ x ≡ 0 [3], x3 ≡ 1 [9] ⇔ x ≡ 1 [3] et x3 ≡ 8 [9] ⇔ x ≡ 2 [3].
b. On considère trois entiers relatifs x, y et z tels que x3 + y3 + z3 soit divisible par 9. Démontrer que
l’un des nombres x, y et z est divisible par 3.
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4
P.G. 2007/2008
ARITHMÉTIQUE
Nombres premiers
Exemples
5!
Le nombre 73 est-il premier ? Même question pour 259.
5@
Décomposer 3528 en facteurs premiers. Même question avec 7425.
5#
Déterminer le nombre de diviseurs positifs du nombre 72.
Déterminer, de même, le nombre de diviseurs positifs de 80.
5$
1. Le nombre 211 – 1 est-il premier ?
2. p et q étant deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, quel est le reste de la division
euclidienne de 2 p q par 2 p – 1 ?
En déduire que 2 p q – 1 est divisible par 2 p – 1 et par 2 q – 1.
3. Démontrer que, si 2 n – 1 est premier, alors n est premier. La réciproque est-elle vraie ?
Exercices à préparer à la maison
5%
Le nombre 257 est-il premier ? Même question pour 319.
5^
Décomposer 300 en facteurs premiers. Même question avec 2007.
5&
Déterminer le nombre de diviseurs positifs du nombre 675.
5*
Deux nombres premiers n et p (avec n > p) sont dits jumeaux lorsque n – p = 2.
Par exemple, 3 et 5 sont des nombres premiers jumeaux, tout comme 41 et 43.
1. Démontrer que si p et p + 2 sont des nombres premiers jumeaux, avec p ≠ 3, alors la somme de
ces deux nombres est divisible par 12.
2. Démontrer que tout couple de nombres premiers jumeaux, à l’exception du couple (3 ; 5) est
de la forme (6n – 1 ; 6n + 1).
5(
n désigne un entier naturel dont l’écriture, dans le système décimal, est 800…00.
Déterminer le nombre de zéros pour que n ait exactement 130 diviseurs positifs.
6)
Existe-t-il des entiers naturels n tels que le nombre de diviseurs positfs de 213n soit quatre fois le
nombre de diviseurs positifs de 21 ?
ARITHMÉTIQUE
5
P.G. 2007/2008
ARITHMÉTIQUE
PGCD - PPCM
Exemples
6!
Déterminer le PGCD de 360 et 9450 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs
premiers.
6@
n désigne un entier naturel non nul. Si le PGCD de n et de 8 est 4, déterminer le PGCD de n2 et
8n, puis celui de 5n et 40.
6#
Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour
7x + 4y et 5x + 3y.
6$
n désigne un entier naturel.
a. Montrer que PGCD(n2 + 4n + 5 ; n + 3) = PGCD(n + 3 ; 2).
b. En déduire les entiers n pour lesquels n2 + 4n + 5 et n + 3 sont premiers entre eux.
6%
Déterminer, par la méthode des divisions successives, le PGCD de 126 et 238.
6^
Résoudre dans Z×Z les équations :
a. 5x – 3y = 1.
b. 12x + 18y = 6
c. 4x – 8y = 3
Exercices à préparer à la maison
6&
Déterminer le PGCD de 1750 et 1960 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs
premiers.
6*
n désigne un entier naturel non nul. Si le PGCD de n et de 5 est 3, déterminer le PGCD de 2n2 et
10n.
6(
Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour
5x + y et 9x + 2y.
7)
n désigne un entier naturel.
a. Montrer que PGCD(n2 + 5n + 7 ; n + 1) = PGCD(n + 1 ; 3).
b. En déduire les entiers n pour lesquels n2 + 5n + 7 et n + 1 sont premiers entre eux.
7!
Déterminer, par la méthode des division successives, le PGCD de 213 et 522.
7@
Résoudre dans Z×Z les équations :
a. 8x – 5y = 1.
b. 14x + 10y = 6
c. 6x + 9y = 4
ARITHMÉTIQUE
6
P.G. 2007/2008
ARITHMÉTIQUE
PGCD - PPCM
Exemples
7#
Déterminer le PPCM de 4410 et 1540 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs
premiers.
7$
n désigne un entier naturel non nul.
Si le PPCM de n et de 4 est 12, déterminer le PPCM de 5n2 et −20n.
7%
Déterminer le PGCD puis le PPCM de 783 et 273.
7^
Trouver deux entiers naturels a et b connaissant leur somme a + b = 651 et sachant que le
quotient de leur PPCM m par leur PGCD d est égal à 108.
7&
1. Décomposer 319 en facteurs premiers.
2. Démontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de même pour
3x + 5y et x + 2y.
 ( 3a + 5b)( a + 2b) = 1276
3. Résoudre dans N2 le système : 
où m désigne le PPCM de a et b.
 ab = 2m
Exercices à préparer à la maison
7*
Déterminer le PPCM de 275 et 143 après avoir décomposé ces deux nombres en facteurs
premiers.
7(
n désigne un entier naturel non nul.
Si le PPCM de n et de 6 est 12, déterminer le PPCM de −3n2 et 18n.
8)
Déterminer le PGCD puis le PPCM de 2120 et 312.
8!
1. Trouver l'ensemble des entiers naturels qui divisent 276.
 m + 3d = 276
2. Trouver les paires d'entiers naturels dont le PGCD d et le PPCM m vérifient : 
.
10 < d < 30
8@
a et b étant deux entiers naturels non nuls, soit d leur PGCD et m leur PPCM.
m = d 2

Trouver tous les couples (a, b) vérifiant le système : m + d = 156 .

a ≥ b
8#
1. Montrer que si deux nombres entiers naturels x et y sont premiers entre eux, il en est de même
pour les entiers 2x + y et 5x + 2y.
( 2a + b)(5a + 2b) = 1620
où M désigne le
2. Déterminer dans N* les entiers a et b vérifiant : 
ab = 3M
PPCM de a et b.
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7
P.G. 2007/2008
ARITHMÉTIQUE
L’ARITHMÉTIQUE AU BAC 2006
8$
Partie A – Question de cours
1.
Enoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
2.
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie B
n ≡ 13 (19)
Il s'agit de résoudre dans Z le système (S) 
.
n ≡ 6 (12)
1. Démontrer qu'il existe un couple (u ; v) d'entiers relatifs tel que : 19u + 12v = 1.
(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).
Vérifier que, pour un tel couple, le nombre N = 13×12v + 6×19u est une solution de (S).
n ≡ n0
2. a. Soit n0 une solution de (S). Vérifier que le système (S) équivaut à : 
n ≡ n0
n ≡ n0
b. Démontrer que le système 
n ≡ n0
(19)
(12)
(19)
(12)
.
équivaut à : n ≡ n0 (12 × 19) .
3. a. Trouver un couple (u ; v) solution de l'équation 19u + 12v = 1 et calculer la valeur de N
correspondante.
b. Déterminer l'ensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b.).
4. Un entier naturel n est tel que lorsqu'on le divise par 12, le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19,
le reste est 13.
On divise n par 228 = 12×19. Quel est le reste r de cette division ?
8%
Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une
démonstration de la réponse choisie.
Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Proposition 1 : "pour tout entier naturel n, 3 divise le nombre 22n – 1".
2. Proposition 2 : "si un entier relatif x est solution de l'équation x2 + x ∫ 0 (modulo 6) alors x ∫ 0
(modulo 3)".
3. Proposition 3 : "l'ensemble des couples d'entiers relatifs (x ; y) solutions de l'équation 12x – 5y = 3
est l'ensemble des couples (4 + 10k ; 9 + 24k) où k ŒZ".
4. Proposition 4 : "il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et
PPCM (a ; b) – PGCD (a ; b) = 1".
5. Deux entiers naturels M et N sont tels que M a pour écriture abc en base dix et N a pour écriture
bca en base dix.
Proposition 5 : "si l'entier M est divisible par 27 alors l'entier M – N est aussi divisible par 27".
ARITHMÉTIQUE
8
P.G. 2007/2008
ARITHMÉTIQUE
L’ARITHMÉTIQUE AU BAC
8^
1. a. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne
par 9 de 7 n.
b. Démontrer alors que (2005) 2005 ≡ 7
(9).
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : (10) n ≡ 1 (9).
b. On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres.
Démontrer la relation suivante : N ≡ S (9).
c. En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.
3. On suppose que A = (2005) 2005 ; on désigne par :
− B la somme des chiffres de A ;
− C la somme des chiffres de B ;
− D la somme des chiffres de C.
a. Démontrer la relation suivante : A ≡ D (9).
b. Sachant que 2005 < 10000, démontrer que A s’écrit en numération décimale avec au plus 8020
chiffres. En déduire que B ≤ 72180.
c. Démontrer que C ≤ 45.
d. En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
e. Démontrer que D = 7.
8&
On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7.
Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n = p 4 − 1 est divisible par 240, puis
d’appliquer ce résultat.
1. Montrer que p est congru à −1 ou à 1 modulo 3. En déduire que n est divisible par 3.
2. En remarquant que p est impair, prouver qu’il existe un entier naturel k tel que p 2 − 1 = 4k(k + 1),
puis que n est divisible par 16.
3. En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, démontrer que 5
divise n.
4. a. Soient a, b et c trois entiers naturels.
Démontrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c.
b. Déduire de ce qui précède que 240 divise n.
5. Existe-t-il quinze nombre premiers p 1, p 2, …, p 15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l’entier naturel
4
soit un nombre premier ?
A = p14 + p24 + … + p15
ARITHMÉTIQUE
9
P.G. 2007/2008